专题04 平行四边形几何辅助线(专题详解)(解析版)

专题04平行四边形几何辅助线专题详解TOC\o"1-5"\h\z\u专题04平行四边形几何辅助线专题详解 11平行四边形 3知识框架 3方法1分类讨论思想 3一、动态讨论 3（1）1个点的移动 3（2）2个点的移动 3二、高的位置的讨论 5（1）过点作下（上）侧边的高 5（2）过点右（左）侧边的高 5三、求平行四边形第4点坐标 7方法2平行四边形的面积 8一、利用面积解决问题 8二、方程思想 8方法3构造中位线 9一、连接法 9（1）连接两中点 9（2）知一中点，取另一中点 10（3）知两中点，构双中位线 11二、倍长法 12（1）倍长垂直于角平分线的线段 12（2）倍长线段 142特殊的平行四边形 16知识框架 16方法1矩形的折叠问题 16方法2构造斜边上的中线 17一、连中点 18二、取中点 20方法360°的菱形模型 21方法4利用菱形的对称性解题 23方法5正方形的典型模型 24一、a=2b型 24二、a=2b三、a±b=c型四、a±b=2c型方法6构造正方形 30一、利用45°角构造正方形 30二、利用四边形构造正方形 31三、利用直角三角形构造正方形 31方法7运用正方形的性质求坐标 32方法8动点问题的研究 33

1平行四边形知识框架&方法1分类讨论思想分类讨论思想一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果（1）1个点的移动如下图，1个点C在直线AB上移动，会出现3种情况：=1\*GB3①在线段AB左侧；=2\*GB3②在线段AB当中；=3\*GB3③在线段AB右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：=1\*GB3①点C在点D的左侧；=2\*GB3②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。【答案】10或22【解析】点E在射线AD上移动，有2种情况情况一：点E在AD中，如下图所示∵CE是∠BCD的角平分线∴∠BCE=∠ECD∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠DEC=∠BCE∴∠DEC=∠ECD∴CD=ED=4∵AE=3∴AD=7∴▱ABCD的周长为：2×（7+4）=22情况二：点E在点A的左侧，如下图所示同上，DC=DE=4DA=DE－AE=4－3=1∴▱ABCD的周长为：2×（1+4）=10综上得：∴▱ABCD的周长为：10或22例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。【答案】3或5【解析】两点E、F在BC之间，存在2中情况情况一：点E在点F的左侧，如下图所示：∵AE是∠BAD的角平分线∠BAE=∠EAD∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC∴∠AEB=∠DAE∴∠EAB=∠AEB∴△ABE为等腰三角形，AB=BE同理，△FCD为等腰三角形，DC=FC∵平行四边形中，AB=CD∴BE=FC∵AD=8，EF=2∴BE=FC=1∴AB=3情况二：点E在点F的右侧，如下图所示：同上得：AB=BE，FC=CD则BE=FC∵BE+FC－EF=BC∴BE=FC=1∴AB=5综上得：AB=3或5二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：=1\*GB3①在图形内；=2\*GB3②在图形外。（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。【答案】6-532【解析】此题作点下侧高的情形，存在两种情况情况一：如下图，平行四边形向左倾斜，高在图形内部∵平行四边形的面积为15，BC=6∴根据面积公式：15=6×AE解得：AE=5在Rt△ABE中，根据勾股定理：BE=AB∴EC=BC－BE=6-情况二：如下图，平行四边形向右侧倾斜，高在图形外部同上，可求得：BE=5∴EC=BC+BE=6+5综上得：EC=6-532或例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。【答案】43【解析】此题作点右侧高的情形，存在两种情况情况一：如下图，倾斜程度不大时，高在平行四边形的内部∵BD=4，∠DBE=30°，BE⊥AD∴△BDE是30°的直角三角形∴DE=2，BE=23∴S情况二：如下图，倾斜程度大时，高在平行四边形的外部同上，△BDE为30°的直角三角形∴ED=2，BE=23∴=S△综上得：S三、求平行四边形第4点坐标解题技巧：若四边形ABCD为平行四边形，已知点A、B、C的坐标，求点D的坐标，如图，过点A作BC的平行线，过点B作AC的平行线，过点C作AB的平行线，这三条直线相互交于3点。这3点即为点D可能的位置。例1.在平面直角坐标系中，有A（0,1），B（-1,0），C（1,0）三点，若点D与A，B，C构成平行四边形，求D的坐标。【答案】D点的坐标为：（0，－1）或（2，1）或（－2，1）【解析】存在3种情况，如下图所示方法2平行四边形的面积平行四边形的面积一、利用面积解决问题解题技巧：平行四边形的面积=底×高设d1为▱ABCD的底，h1为对应的高；d2为▱ABCD则：h需要注意，两条平行线之间的距离处处相等。例1.如图，点E是▱ABCD的一边AD上任意一点，若△EBC的面积为S1，▱ABCD的面积为S【答案】S【解析】过E作BC的垂线EF，交BC于点F则EF是△BEC的高，也是▱ABCD的高∵S1=又∵S2=∴S例2.平行四边形两邻边分别为20和16，若两较长边之间的距离为8，求较短边之间的距离。【答案】10【解析】设较短边之间的距离为h知平行四边形的面积为：底边×高∴20×8=16×h解得：h=10二、方程思想解题技巧：方程思想是数学中的一种重要思想，当存在不知的量，我们可以设为未知数，然后当做已知，结合题型特点列写方程。在平行四边形的面积问题中，主要考虑平行四边形的底和平行四边形的高，若这两个量中有不知的量，我们可以设为未知数。方程思想的优点在于可以正向推导求解题目，而不用逆向进行（逆向进行，往往较正向思路复杂一些）。例1.如图在中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，已知AE=4，AF=6，▱ABCD的周长为40，求▱ABCD的面积。【答案】48【解析】题目中涉及到了面积和周长，需要知道平行四边形各边的长度，而此题中各边的长度不知，我们用方程思想解决。设BC为x∵▱ABCD的周长为40∴CD=1根据平行四边形的面积得：BC×AE=CD×AF∴可得方程：4x=6（20－x）解得：x=12∴▱ABCD的面积=4×12=48方法3构造中位线构造中位线一、连接法连接法（1）连接两中点解题技巧：中位线具有平行的位置关系，还为底边长的一半的长度关系，非常特殊。因此，若图形中出现2个中点，连接这两个中点，便可构造出中位线。例1.如图，△ABC的中线BD，CE相交于点O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG且EF=DG。【答案】见解析【解析】2个线索指导我们的辅助线连接。线索1：要求求证EF∥DG且EF=DG，即只需要四边形EFDG为平行四边形即可；线索2：点E、D、F、G分别都是中点，连接可构成中位线故辅助线为：连接ED，FG，如下图所示∵点E，D分别是AB，AC的中点∴ED是△ABC的中位线，ED∥BC且ED=BD∵点F，G分别是OB，OC的中点∴FG是△OBC的中位线，FG∥BC且FG=BC∴ED∥FG且ED=FG∴四边形EFGD为平行四边形∴EF∥DG且EF=DG（2）知一中点，取另一中点解题技巧：若题干中已知1个中点，我们可以取另一个中点，连接后就可构造出中位线。例1.如图，在▱ABCD中，E是CD中点，F是AE的中点，FC交BE于点G。（1）求证：GF=GC；（2）求证：BG=3EG【答案】见解析【解析】∵点F为AE的中点∴我们只需在EB上另取一中点，即可构造出中位线如下图，取EB的中点H，连接FH，HC。（1）∵在▱ABCD中，点E是DC的中点∴EC=1∵点F、H分别是AE、EB的中点∴FH为△ABE的中位线∴FH∥AB且FH=1∴FH∥EC且FH=EC∴四边形EFHC为平行四边形∴FG=GC（2）∵四边形EFHC为平行四边形∴EG=GH∵点H为EB中点∴EH=HB∴GB=3EG（3）知两中点，构双中位线解题技巧：若已知2个中点，但这两个中点的连线无法构成中位线时，我们可以再另取一中点，将这个中点与这2个中点分别构造出一个中位线。例1.如图，在四边形ABCD中，BC，AD不平行，且∠BAD+∠ADC=270°，AD2+CD2=64，点E，F分别是【答案】EF=4【解析】∵E、F两个中点组成的直线EF无法构成中位线∴我们需要另寻一个中点，与E、F构成2个中位线。连接BD，这样就构成了△ABD和△BDC，其中BD为两个三角形的公共边∴取BD的中点H，连接EH并延长交BC于点G，连接HF∵点E、F、H分别是AD、BC、BD的中点∴EH是△ABD的中位线，HF是△BCD的中位线∴EH∥AB且EH=12AB，FH∥DC且∴∠ABC=∠EGC，∠DCB=∠HFB∵∠BAD+∠ADC=270°∴∠ABC+∠DCB=90°∴∠EGF+∠HFG=90°∴∠FHG=∠FHE=90°在Rt△EFH中：EF=EH二、倍长法倍长法（1）倍长垂直于角平分线的线段解题技巧：如下图，若AC是∠DAB的角平分线，BC⊥AC，则延长BC交AD于点D，则△ACB与△ACD是关于角平分线AC对称的两个三角形，则点C为BD的中点。我们将构造出的中点C与题干中已知的中点连接，则可构造出中位线。例1.如图，AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°，D，B，C在一条直线上，F为AE的中点。（1）求证：BF∥CE；（2）若AB=2，DE=5，求BF的长。【答案】（1）见解析（2）BF=3【解析】∵AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°∴△ABC和△DCE都是等腰直角三角形∴∠BCA=∠DCE=45°∴CD是∠ACE的角平分线如下图，延长AB交CE于点G则点B是AG的中点∵点F是AE的中点∴BF是△AGE的中位线∴BF∥EG且BF=1∴BF∥CE（2）∵AB=2∴CG=AC=22∵DE=5∴CE=52∴EG=32∴BF=3（2）倍长线段解题技巧：若题干中仅有1个中点，我们还可以倍长一个线段，从而构造出一个中点出来，进而构造出中位线。例1.如图，∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，CD=DE，M为BE的中点，求证：AE=2DM。【答案】见解析【解析】∵点M是EB的中点，要求证DM的2倍关系∴要构造出DM为中位线∴辅助线为倍长ED如下图，延长ED至点N，使得DN=ED，连接CN，BN∵点D、M分别是EN、EB的中点∴DM是△ENB的中位线∴DM∥NB且DM=1∵∠ACB=∠ADE=90°，CA=CB，CD=DE∴△ACB，△CDE为等腰直角三角形∵倍长ED，易知△CDN≌△CDE∴∠NCD=∠NCE=45°，∠NCB=90°∴∠ACE=∠BCN∴△ACE≌△BCN∴AE=BN∴2DM=AE

2特殊的平行四边形知识框架&方法1矩形的折叠问题解题技巧：图形的折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。例1.如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，使BC'与AD交于点E.若AD=8cm，AB=4cm，求△BDE的面积【答案】10【解析】∵△C/BD是△∴△C/BD≌∴C/B=∵∠AEB=∠EC∴△C/ED设AE=x，则ED=BE=8－x，AB=4在△AEB中，根据勾股定理得：x解得：x=3S例2.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3.E点在线段BC上，连接DE,将△CDE沿DE折叠，使得点C的对应点C'落在AB上.求△DEC'【答案】13【解析】设CE=x=C/E，则EB=3C/B=AC13-6x=16-S=12∙例3.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8.将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是：A．AF=AEB.△ABE≌△AGFC.EF=25D.AF=EF【答案】D【解析】易证△ABE≌△AGF∴AF=AE=EC∴A、B正确设FD=x，则AF=8－x，FG=x，AG=4在Rt△AGF中：16+x2=64+解得：x=3CF=32-EF=22+42方法2构造斜边上的中线构造斜边上的中线解题技巧：已知△ABD和△ABC都是直角三角形，∠ADB=∠ACB=90°，如下图，有3种情况：图=1\*GB3①中，若点O是AB的中点，那么：OA=OB=OD；图=2\*GB3②中，若点O是AB的中点，那么：OA=OB=OD=OC；图=3\*GB3③中，若点O是AB的中点，那么OA=OB=OC=OD若图形中出现直角三角形，且存在中点时，可以考虑构造斜边上的中线。方法有2中：=1\*GB3①有中点，直接连接直角的顶点和斜边的中点；=2\*GB3②无中点，先选取斜边的中点，在连接构造斜边上的中线。一、连中点例1.如图，△BCD和△BCE中，∠BDC=∠BEC=90°，O为BC的中点，BD，CE交于点A，∠BAC=120°，求证：DE=OE。【答案】见解析【解析】连接OD∵∠BEC=∠BDC=90°，点O是BC的中点∴EO、ED是Rt△BEC、Rt△BDC斜边上的中线∴EO=OB=OC=OD∴△BOD、△EOC、△EOD是等腰三角形设∠DBO=x，∠OCE=y，则∠BDO=x，∠OEC=y∠EOB=2y，∠DOC=2x∵∠BAC=120°∴在△BAC中，x+y+120°=180°，x+y=60°∴∠EOB+∠DOC=120°∴∠EOD=60°∴等腰三角形EOD是等边三角形∴ED=EO例2.如图，四边形ACBD中，AC=BC，∠ACB=∠ADB=90°，∠DBC=60°，E是AB的中点，EM⊥CD于点M。（1）求证：DM=CM；（2）求CDAB【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）如下图，连接DE、EC∵∠BCA=∠ADB=90°，点E是AB的中点∴DE=AE=EB=EC∴△EDC是等腰三角形∵EM⊥DC∴点M是DC的中点（2）∵AC=BC∴△ACB是等腰直角三角形，∠ABC=45°∵∠DBC=60°∴∠DBE=15°∵DE=AE=EB=EC∴△DEB、△BEC是等腰三角形∴∠BDE=∠DBE=15°，∠BCE=∠EBC=45°∴∠DEB=30°，∠BEC=90°∴∠DEC=120°∴∠ECD=∠EDC=30°∴△EMC为30°的直角三角形∴CM∵CD=2CM，AB=2BE=2CE∴CD二、取中点例1.已知，在如图所示的平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF⊥AC，点O是垂足，EF分别交AB，CD于点E，F，且BE=OE=12AE。求证平行四边形ABCD是矩形【答案】见解析【解析】如下图，取AE中点G，连接OG∵OG是Rt△AOE斜边上的中线∴OG=AG=GE=EB=OE∴△AGO≌△BEO∴OA=OB∴平行四边形ABCD为矩形例2.如图，D为等边△ABC的边BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF。求EFAD的值【答案】3【解析】取AD的中点G，连接EG，FG，设AD与EF交于点O∵∠AED=∠AFD=90°，点G是AD的中点∴EG=AG=GD=GF∴△AED、△AFG是等腰三角形∴∠EAG=∠AEG，∠GAF=∠GFA∵△ABC是等边三角形∴∠BAC=60°∴∠EAG+∠GAF=60°∴∠EAG+∠AEG+∠GAF+∠GFA=120°∴∠AGE+∠AGF=180°×2－120°=240°∴∠FGE=120°∴∠GFE=∠GEF=30°∴OF∵EF=2OF，AD=2AG=2FG∴EF方法360°的菱形模型解题技巧：连接60°菱形的对角线，可以构造出2个全等的等边三角形。再利用等边三角形的性质进行求解。例1.如图，菱形ABCD中，点E为AC上一点，且DE⊥BE。（1）求证：△ADE≌△ABE；（2）若∠DAB=60°，AD=23，求DE的长。【答案】（1）见解析（2）6【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形∴AD=AB，∠DAE=∠BAE∵AE=AE∴△DAE≌△BAE（2）如下图，连接BD∵∠BAD=60°∴△ABD为等边三角形∵AD=23∴BD=23∵△ADE≌△ABE∴DE=BE∵DE⊥BE∴△DEB为等腰直角三角形∴DE=DB例2.已知在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E，F为射线BC和CD上一点，∠EAF=60°。（1）如下图，若点E，F分别为边BC，CD上任一点，探究BE、DF、AB之间的关系。【答案】AB=BE+DF【解析】如图，连接AC∵四边形ABCD是菱形，且∠B=60°∴△ABC、△ACD是等边三角形∴AC=AD，∠ACE=∠ADF，∠BAC=∠CAD=60°，∠CAF+∠FAD=60°∵∠EAF=60°∴∠EAC+∠CAF=60°∴∠EAC=∠FAD∴△EAC≌△FAD∴EC=DF∴AB=BE+DF（2）如下图，若点E，F分别在BC，CD的延长线上，探究BE，DF，AB之间的数量关系【答案】AB=BE－DF【解析】如图，连接AC同上可得：△CAE≌△DAF∴AB=BE=DF方法4利用菱形的对称性解题解题技巧：菱形就是轴对称图形，又是中心对称图形。运用其轴对称性可解决最小值类的问题。例1.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M，N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值为？【答案】5【解析】作点M关于AC的对称点M/，则PM+PN的最小值为：MM/NM/例2.如图，在平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F除，折痕交CD边于点E。求证：（1）四边形BCEF是菱形（2）若点P是直线l上的一个动点，请计算PF+PB的最小值。【答案】（1）见解析（2）7【解析】（1）∵DE∥AD∴∠DEA=∠EAD/=∠DAE=∠AE∴∠DAD∴四边形DED/∴DE=AD∵AB=DC，AB∥DC∴CE=D/B，CE∥∵BD/=E∴平行四边形BCED/（2）点D于点D/关于AE对称，即DB=方法5正方形的典型模型正方形典型模型一、a=2b型解题技巧：证a=2b型问题，常取中点或倍长构造三角形中位线解决问题。例1.如图，点O是正方形ABCD的对角线交点，AE平分∠BAC交BC于点E，交OB于点F，求证：CE=2OF。【答案】见解析【解析】求证的是“a=2b型”，且在正方形中，常见的方法有2种：取中点构造中位线；倍长线段构造中位线方法一：取中点构造中位线，如下图，取AE的中点M，连接OM∵点O是AC的中点，点M是AE的中点∴OM是△ACE的中位线∴2OM=CE，OM∥CE∵四边形ABCD是正方形，AE是∠CAB的角平分线∴∠CAE=∠EAB=22.5°，∠ABC=90°，∠ACE=45°，∠DBC=45°∴∠CEA=180°－22.5°－45°=112.5°，∠AEB=180°－90°－22.5°=67.5°∴∠OMF=180°－112.5°=67.5°，∠OFM=∠EFB=180°－67.5°－45°=67.5°∴∠OMF=∠OFM∴OM=OF∴OE=2OF方法二：倍长线段构造中位线，如下图，延长AE至M处，使FM=AF∵点O是AC的中点，点F是AM的中点∴OF∥CM，2OF=CM角度推导同上知：∠AOF=90°，∠CME=66.5°∵CM∥OF∴∠MCA=∠AOF=90°∴∠MCE=45°∴∠CEM=66.5°∴△CEM为等腰三角形∴CE=CM∴CE=2OF二、a=2b型解题技巧：处理a=2b型问题，通常将a，b例1.如图，正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE=CF。求证：EF=2DE。【答案】见解析【解析】∵要证“a=2b”∴需要想办法把a、b转化到等腰直角三角形中去如下图，连接DF，构造出等腰直角三角形DEF∵四边形ABCD是正方形∴∠A=∠DCF=∠ADC=90°，AD=CD∵AE=CF∴△AED≌△CFD∴DE=DF，∠ADE=∠CDF∵∠ADC=90°∴∠EDF=90°∴△EDF是等腰直角三角形∴EF=2DE例2.如图，在正方形ABCD中，E为AC上一点，F为CD上一点，ED=EF，求证：DF=2AE。【答案】见解析【解析】分析同上，需要将DF、AE构造到等腰直角三角形中去如下图，过点E作DC，AD的垂线，交DC，AD于点M，N∵四边形ABCD是正方形∴∠ADC=90°，∠DAC=45°∵ED=EF∴△EDF为等腰三角形∴DM=MF∵∠ADC=∠DNE=∠DME=90°∴四边形NEMD是矩形∴DM=NE∵∠DAC=45°∴△ANE是等腰直角三角形∴2NE=AE∴DF=2NE=2AE三、a±b=c解题技巧：结合45°角，利用截长补短（或作垂线）构全等。例1.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在CD，DA上，∠EBF=45°，求证：EF=CE+AF。【答案】见解析【解析】求证：a+b=c型，在正方形中，结合45°角，利用截长补短，易构造出全等三角形如下图，延长DA至点G，使GA=CE∵四边形ABCD是正方形∴∠ECB=∠GAB=90°，BC=AB∵AG=CE∴△GAB≌△ECB∴∠GBA=∠EBC，GB=BE∵四边形ABCD是正方形，∠FBE=45°∴∠ABF+∠EBC=45°∴∠GBF=∠GBA+∠ABF=45°=∠FBE∵BF=BF∴△GBF≌△EBF∴GF=EF∴AF+CE=EF例2.如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，E，F分别在AD，AB上，且∠EOF=45°，求证：BF－AE=EF。【答案】见解析【解析】分析思路同上连接OB、OA，在AB上取一点G，使得BG=AE∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线的交点∴∠AOB=90°，AO=OB，∠DAO=∠ABO=45°∵AE=BG∴△AEO≌△BGO∴∠GOB=∠AOE，OG=OE∠FOG=∠AOB－∠AOF－∠BOG=∠AOB－∠AOF－∠AOE=90°－45°=45°=∠EOF∵OF=OF∴△GOF≌△EOF∴EF=FB－AE四、a±b=2c型解题技巧：通过截长补短法，转化为“a=2b型”来解决。例1.如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是正方形外一点，且AE⊥BE。求证：EA+EB=2OE。【答案】见解析【解析】先通过补短法，将“a+b”转化为一条直线a，则该题型转化为“a=2b型”如下图，延长EB至点M，使得BM=AE，连接OA，OB∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线的交点∴AO=OB，∠AOB=90°∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°∴在四边形AEBD中，∠EAO+∠EBO=180°∵∠EBO+∠OBM=180°∴∠OBM=∠OAE∵BM=AE∴△OBM≌△OAE∴OM=OE，∠MOB=∠AOE∴∠EOM=90°∴△EOM是等腰直角三角形∴2OE=EM∴EA+EB=2OE例2.如图，点O是正方形ABCD对角线的交点，点E是正方形内一点，且AE⊥BE。求证：EB－EA=2OE。【答案】见解析【解析】先通过截长法，将“a+b”转化为一条直线a，则该题型转化为“a=2b型”如下图，在BE上取一点M，使得BM=AE，连接OA，OB∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线的交点∴OA=OB，∠AOB=90°，∠ABO=∠OAD=45°∵AE⊥BE∴∠AEB=90°∴∠EAB+∠ABE=90°∵∠BAE+∠EAD=90°∴∠EAD=∠ABE∵∠ABE+∠EBO=45°，∠DAE+∠EAO=45°∴∠EAO=∠MBO∵AE=MB∴△AEO≌△BMO∴EO=MO，∠MOB=∠EOA∴∠EOM=90°∴△EOM是等腰直角三角形∴2EO=EM∴EB－EA=2EO方法6构造正方形解题技巧：正方形是一种非常特殊的图形，图形性质比较丰富，根据题中条件与正方形的共同之处构造正方形，再利用正方形的特性可使得解题间接。通常有以下3种构造正方形的方法：构造正方形一、利用45°角构造正方形例1.如图，RA⊥AB，QB⊥AB，点P是AB上一点，RP=PQ=a，RA=h，QB=k，∠RPA=75°，∠QPB=45°，求AB的长。【答案】h【解析】构造正方形：过R作BQ的垂线交BQ的延长线于点C，如下图则AB=RC∵∠RPA=75°，∠QPB=45°∴∠RPQ=180°－（75°+45°）=60°∠PQB=90°－45°=45°∵RP=PQ∴△PRQ是等边三角形∴RP=RQ∵∠RQC=180°－（60°+45°）=75°∴∠RQC=∠RPA∴△APR≌△CQR∴AB=RC=AR=h二、利用四边形构造正方形例1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AE⊥CD于点E。若AE=10，求四边形ABCD