角平分线 省赛获奖

§13.5.3角平分线探究角平分线的性质

(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分线的定义）∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO=900∵OP=OP（公共边）

∴

△PDO≌△PEO（A.A.S.）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE(3)验证猜想教师点拨

符号语言题设：∵∠1=∠2,PD⊥OA，PE⊥OB结论：∴PD=PEPAOBCED12(4)角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。教师点拨

判断题（）∵如图，AD平分∠BAC（已知）

∴BD=DC

()角的平分线上的点到角的两边的距离相等。×如图，在Rt△ABC中，做完本题后，你对角平分线,又增加了什么认识?

思考角平分线的性质，为我们证明两条线段相等又提供了新的方法与途径。ABCBD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，EDE与DC相等吗？D答：DE=DC。∵BD是∠ABC的平分线

且DE⊥BA，∴DE=DC。为什么？DC⊥BC，已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足，PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．OCB1A2PDE证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，在Rt

△PDO与Rt△PEO中∴∠PDO=∠PEO=900∵PD=PE（已知）OP=OP（公共边）∴Rt△PDO≌Rt

△PDO(H.L.)∴∠1=∠2即点P在∠AOB的平分线上角平分线上的点到角两边的距离相等。逆命题到角两边的距离相等的点在角的平分线上.

几何语言∵PD⊥OA，PE⊥OB

且PD=PE∴

OC平分

∠AOBACBEDPMHK例题：如图，在△ABC的顶点B的外角的平分线BD与顶点C的外角的平分线CE相交于点P．求证：点Ｐ到三边AB、BC、AC的距离相等．证明：过点P作PM⊥AB、PK⊥BC、PH⊥AC，垂足分别为M、K、H。∵BD平分∠CBM

PM⊥AB、PK⊥BC∴PK＝PM同理PK＝PH∴PK＝PM＝PH即点P到三边AB、BC、AC的距离相等

若求证点P在∠BAC的平分线上，又该如何证明呢？1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等．提示：作∠AOB的平分线，交直线l于P就是所求的点练习1练习2：

如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABOP1、如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,

求证：点P也在∠BAC的平分线上.∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB，PE⊥BCABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PF.证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∴点P在∠BAC的平分线上.试一试通过本题的证明，你能得到一个关于三角形角平分线的什么结论？三角形的三条角平分线交于一点，并且交点到三角形三边的距离相等。想一想利用结论，解决问题练一练

1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想

在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?P拓展与延伸2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址