2022年高考数学一轮复习 36 向量法做立体几何知识点与典型例题（解析版）

专题36向量法做立体几何知识点与典型例题(解析版)

1、直线的方向向量和平面的法向量

(1).直线的方向向量：若A、B是直线/上的任意两点，则而为直线/的一个方向向量;

与平行的任意非零向量也是直线I的方向向量.

(2).平面的法向量：若向量"所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作

l'a,如果l'a,那么向量［叫做平面a的法向量.

⑶.平面的法向量的求法(待定系数法)：

①建立适当的坐标系.

②设平面a的法向量为〃=(x,y,z).

③求出平面内两个不共线向量的坐标a=(q,4,4),4=(々也也).

n-a-0

{n-h-0

⑤解方程组，取其中一组解，即得平面a的法向量.

例1：在空间直角坐标系中，已知A(3,0,0),8(0,4,0),C(0,0,2),试求平面ABC的一个法

向量,

解：设平面ABC的一个法向量为7=(x,y,z)

贝iJzijL而,••丽=(-3,4,0),AC=(-3,0,2)

严必江(一3,4,0)=0即厂3%+4尸0

(x,z)•(-3,0,2)=01-3x+2z=0

3

y=—x_

.・・<4取x=4,则蔡=(4,3,6)

3

z=­x

I2

・•・n=(4,3,6)是平面ABC的一个法向量.

2、用向量方法判定空间中的平行关系

⑴线线平行。设直线4,/‘的方向向量分别是a.b,则要证明4〃，2，只需证明a〃B,即

a-kb{keR).

例2：四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PDL底面ABCD,PD=DC=6,E是PB

的中点,DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE//FG.

例2：证：如图所示，建立空间直角坐标系.

A(6,0,0),F(2,2,0),G(0,4,2)

AE=(-3,3,3),FG=(-2,2,2)

AE=-FGAE//FG

2

AE与FG不共线，AE//FG.

⑵线面平行,设直线/的方向向量是平面a的法向量是则要证明/〃。，只需证明

a_L〃，即。•〃二().

例3：如图，四边形ABCD为正方形，平面ABC。，PD//QA,QA=AB=^PD.

证明：PC〃平面BAQ.

【答案】证明见解析.

判断而为平面B4Q的一个法向量，山砺.定=0,且PCZ平面BAQ,利用线面平行

的判定定理即可证出.

【详解】

如图，以。为坐标原点，线段ZM的长为单位长度，

以D4,DP-。。所在直线为x轴、N轴、z轴建立空间直角坐标系。-孙z.

根据题意，=(1,0,0),通=(0,0,1),而=(0,1,0),

故有况月=0，DAAQ=0,所以而为平面氏4。的一个法向量.

又因为定=(0,-2,1),且方•定=0，

即D4J_PC,且PCU平面84。，故有尸C〃平面BAQ.

【点睛】

本题考查了空间向量法证明线面垂直、线面平行，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.

⑶面面平行。若平面a的法向量为1,平面夕的法向量为5,要证a〃£,只需证

即证£=

例4：在长方体A5CZ)-AiBiGZ)i中，DA=2,DC=3,DDt=4,M,N,E,尸分别为棱4£>i,

AiBt,DiCi,51G的中点.求证：平面AMN〃平面EFBD

【答案】证明见解析

【分析】

首先建立空间宜角坐标系，利用坐标法证明MN〃平面EF8D,4M〃平面EF8D,最后根据

面面平行判定定理得证.

【详解】

证明：建立如图所示的空间直角坐标系，贝1」42,0,0),8(2,3,0),M(l,0,4),可(2,|,4

...丽=[1,|,0),而=[1,|,o],砌=(-1,0,4),BF=(-l,0,4),

MN=EF,AM=BFMN〃EF,AM//BF.

：.MN//平面EFBD,AM//平面EFBD.又MNCAM=M,，平面AMN//平面EFBD.

【点睛】

本题考查面面平行的判定，关键是通过建立空间直角坐标系来证明线面平行，属于基础题.

3、用向量方法判定空间的垂直关系

⑴线线垂直。设直线4,4的方向向量分别是则要证明4_L4,只需证明即

ab=Q.

例4.如图，空间四边形。钻。中，求证：OCJ_/W.

【答案】证明见解析

【详解】

试题分析：利用三个不共面的向量砺砺元作为基底，利用空间向量的数量积为0,证

明向量垂直，即线线垂直.

试题解析：：Q4_L6C，；.OAJ.OB

,•,04-05=0.：.OA（OC-OB）=0.

■,-OAOC-OAOB=Q（1）

同理：由O5LAC得反•砺一砺.砺=0（2）

由(1)-(2)得方.无一花•历=0

：.OC(OA-OB)=Q,

OCBA=0<

UUUUL1U

•••OC1BA<

：.OC±AB.

例5：如图，已知正三棱柱ABC-A/C的底面边长为2,侧棱长为3«,

点E在侧棱AL上，点F在侧棱W上，且AE=2后,3E=0.

求证：CF±qE；

证明：建立如图所示的空间直角坐标系,

则由已知可得

A(0,0,0),3(8,1,0),C(0,2,0),G(0,2,3扬,£(0,0,2扬,厂(百,1,扬

(I)qE=(0,-2,-V2),CF=(73,-l,V2)

QE-CF=0+2-2=0

：.CF!CtE.

⑵线面垂直

①（法一）设直线/的方向向量是3,平面a的法向量是£,则要证明只需证明公

//u,即a=4”.

②（法二）设直线/的方向向量是平面a内的两个相交向量分别为记、下，若

am=0

，则/la.

a-n=0

7.在立方体ABC。一中，。为AC与8D的交点，G为CG的中点，求证：\0L

平面GBD.

【答案】证明见解析

【分析】

以点。为坐标原点，DA.DC、所在直线分别为x、＞、z轴建立空间直角坐标系

D-xyz,设立方体ABC。-44GA的棱长为2,计算出平面GB。的一个法向量［,证

明出京/加，由此可证明出平面GBD.

【详解】

以点。为坐标原点，DA.DC、。。所在直线分别为x、N、z轴建立空间直角坐标系

D-xyz,设立方体ABCD-4旦G2的棱长为2，

则A(2,0,2)、0(1,1,0)、3(220)、0(0,0,0)、G(0,2,l),

AO=(-1,1,-2),丽=(2,2,0),DG=(O,2,l).

设平面GBO的一个法向量为1=(x,y,z),

ft-DB=02x+2y=0

由，-八，得令y=­i,可得3=(1,-1,2),

n-DG=02y+z=0

:.Ap^-n,则因此，A0,平面G8D

【点睛】

本题考查利用空间向量法证明线面垂直，解答的关键就是求出平面的法向量，考查推理能力

与计算能力，属于中等题.

⑶而何垂了|二若平面a的法向量为“，平面夕的法向量为u,要证a_L/?,只需证“-Ly,

即证鼠。=0.

例7.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，是以Z4PB为直角的

等腰直角三角形，平面力18,平面ABCD.证明：平面平面P3C.

【答案】证明见解析.

【分析】

首先取A5的中点O，CD的中点用，连接OM,得到0M_LA5,根据平面PABJL平

面A3C£）=AB,得到Q0_L平面BAB，根据得到POLAB,再以点。为

原点，OP,OB,OM分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面皿）和

平面P8C的法向量加，忌，根据五i2=0,即可证明平面R4£>_L平面P8C.

【详解】

取AB的中点。，C£）的中点M，连接OM,则OM_LA8,

又平面248_1_平面ABC。，平面B4Bc平面ABC£>=AB，

所以OM_L平面

又PA=PB,所以POLAS，

以点。为原点，OP，OB,OM分别为X,y,Z轴建立空间直角坐标系,

如图所示：

设AP=0a,AD=b,则A（0,—a,0）,B（0,«,0）,P（a,0,0）,

C（0,a,。），D@-a,b）,

所以A£）=（0,0,6）,AP—^a,a,0）,BC=（0,0,/?）,BP=（a,—a,0）

设“i=（X],y,zJ是平面PAD的法向量，〃2=（9,必"2）是平面PBC的法向量,

则由元力=0，又户=0,得〈八

ax]+ay]=()

令斗二1,则1力八,即〃1=(1,一1,0),

[4=0

bz2-0%=1—/、

同理，｛•八，令々=1，可得〈八，即〃2=(1/,0).

ax2-ay2-0[z2=0

因为属不2=1-1=0，所以平面巳4£＞，平面PBC.

【点睛】

本题主要考查利用向量法证明面面垂直，同时考查学生的计算能力，属于简单题.

⑴求异面直线所成的角

已知为两异面直线，A,C与B,D分别是a/上的任意两点，a/所成的角为氏

ACBD

则cos0=狗阿

1.已知棱长为2的正方体A88—A5G2,点M、N分别是4片和8月的中点，建立

如图所示的空间直角坐标系.

(1)写出图中M、N的坐标；

⑵求直线AM与NC所成角的余弦值.

2

【答案】(DM(2,1,2),N(2,2,1).(2)y.

【分析】

(1)根据正方体的棱长，直接写出坐标；

(2)利用向量夹角公式能求出直线AM与CN所成的角的余弦值.

【详解】

⑴由于正方体ABC。—44aA的楼长为2.

由题意知A(2,0,0),B(2,2,0),：.M(2,1,2),

C(0,2,0),:.N(2,2,1).

⑵由⑴可知加=(0,1,2),丽=(2,0,1),

设直线4M与CN所成的角为0,

________________22

则cos0=|cos<AM,CN>I=II=--

2

直线4W与CN所成的角的余弦值是二.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题.

2.如图,三棱柱OAB-QAB|中，平面OBBR工平面OAB,且

ZOtOB=60°,ZAOB=90。,OB=OO]=2,04=G,求异面直线A]与。A所成角的

余弦值.

【答案】；

【分析】

以。为坐标原点，所在直线分别为X轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

利用向量法求异面宜线与。①所成角的余弦值.

【详解】

以0为坐标原点，所在直线分别为X轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(G,0,0),5(0,2,0),4(百,1,73),0,(0,1,73),

所以乖=（-6」,-后型=（6-1,-我.

设所求的角为a,

,OjA||—3—1+3|

则cosa

|率|第|一币X币7

即异面直线A8与01A所成角的余弦值为

【点睛】

（1）本题主要考查求两异面直线所成的角，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计

算能力.（2）异面直线所成的角的求法方法一：（几何法）找分作（平移法、补形法）证

\fh-rA

（定义）一指一求（解三角形），方法二：（向量法）cosa=*舟，其中a是异面直线机〃

所成的角，沅,5分别是直线”?，〃的方向向量.

⑵求直线和平面所成的角

求法：设直线/的方向向量为平面a的法向量为「，直线与平面所成的角为6,［与£

的夹角为0，则。为0的余角或0的补角

a-u

的余角.即有：sin6=|cos同尸.

a\\u

3.如图，正方体ABCO-AqGA中，E是CC|的中点，求成与平面所成角的正

弦值.

G

【答案】

5

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.

【详解】

如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,则

D(0,0,0),8(2,2,0),旦(2,2,2),E(0,2,1),BD=(-2,-2,0),函=(0,0,2),BE=(-2,0,1).

设平面48。的法向量为3=(x,y,z),：.n±BD,n±BBt.

n-BD=-2x-2y=0,x=_y,

z=0.

n-BB}=22=0,

令y=l,则〃=(一1,1,0),

n-BE_V10

/.COS(H,BE)足|诙「可

故的与平面片B。所成角的正弦值为平

【点睛】

本题考查了利用空间向量线面夹角公式的应用，考查了数学运算能力.

4.如图，在三棱锥A—BCD中，AABC是等边三角形，/BAD=ZBCD=90°,点P是

AC的中点，连接8P,OP.

A

(1)证明:平面ACDJ•平面

⑵若BD=«,且二面角A-BD-C为120。,求直线AD与平面BCD所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析(2)"

2

【分析】

(1)由AABC是等边三角形，N84D=N88=90°,得AD=C£>.再证明

PD1AC,PBA.AC,从而和证明AC_L平面PBD,故平面ACD_L平面BDP得证.

(2)作CE_L8D,垂足为E连接AE.由Rt^ABD=RtKBD,证得

AE±BD,AE=CE,结合二面角A—BD—C为)120°,可得

AB=2,A£=—,。=上.建立空间直角坐标系，求出点的坐标则

33

//7A(也、_(也r、

D0,——,0,A—1,0,1,向量A£)=1，即平面5c。的一个法向量

</\?

,_“fTl-AD।------I

成=(0,0,1),运用公式COS〈九AD)=同网和sin0=|cos</n,AD)\，即可得出直线AD

与平面BCD所成角的正弦值.

【详解】

解：(I)证明：因为△⑷?。是等边三角形，NBAD=NBCD=90。,

所以RUABD三RtACBD，可得AD=CD.

因为点P是AC的中点,则PDJ_AC,PBA.AC,

因为=PDu平面PBD,PBu平面PBD,

所以AC_L平面P3Z),因为ACu平面ACD,

所以平面ACD_L平面BDP.

(2)如图，作CELBO,垂足为七连接A£.

因为RIAABDgRtACBD.

所以AEJ_B£>,AE=CE,ZAEC为二面角A-BD-C的平面角.

由已知二面角A—BD—C为120°,知ZAEC=120°.

在等腰三角形4空中，由余弦定理可得AC=JJAE.

因为AABC是等边三角形,则AC=AB,所以AB=0AE.

在Rt^ABD中，有工AE-8。=,-4。，得BD=MAD,

22

因为80=指，所以A。=0.

又8。2=AB?+AT)2,所以AB=2-

皿］2石^6

则AE=----,ED=——.

33

以E为坐标原点，以向量前，丽的方向分别为％轴，>轴的正方向，

以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴,建立空间直角坐标系E-xyz,

・°，半，°,/-与0,11向量祝佟1,

<37k)V33)

平面的一个法向量为沅=(0,0,1),

设直线AD与平面BCD所成的角为夕

一E沅・诟-1V2_.、万

则cos〈〃z,AD)=网珂=因=_彳sine=1cos〈沅,4。〉|=飞

所以直线AO与平面8。所成角的正弦值为也.

2

【点睛】

本题考查面面垂直的证明和线面所成角的大小，考查空间想象力和是数形结合的能力，属于

基础题.

⑶求二面角

二面角的平面角是指在二面角£-/-6的棱上任取一点0,分别在两个半平面内作射

线久则NA08为二面角。一/一£的平面角.

如图：/\

求法：设二面角a-/-/7的两个半平面的法向量分别为机、/7,再设机、”的夹角为0,

二面角a-/—△的平面角为。，则二面角。为他、〃的夹角。或其补角不一Q.

根据具体图形确定。是锐角或是钝角：

如果。是锐角，则cos6=|cos同即6=arccos

如果。是钝角，则cose=—|cosd即6=arccos

5.如图所示，平面A5CD,四边形AE尸5为矩形，BC//AD,BA±AD,

AE=AD=2AB=2BC=4.

(1)求证：CF〃平面AOE；

(2)求平面。尸与平面AE尸8所成锐二面角的余弦值.

2

【答案】(I)见解析(2)-

【分析】

(1)根据3fV/AE,BC//AD,从而证明平面BCF//平面ADE,从而CF〃平面ADE。

(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-盯z,写出点的空间坐标，根据向量法求

解即可。

【详解】

(1):四边形ABEF为矩形

BF//AE

又BRU平面ADE,AEU平面ADE

.♦.8///平面人口£

又8C〃AD,

同理可得：3C//平面ADE

又BFcBC=B，BF,BC平面BCF

平面BC/7//平面ADE

又CF平面BCF

：.CF//平面ADE

(2)如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-盯z,则

C(2,2,0),£>(0,4,0),尸(2,0,4)

而=(0,4,0),前=(-2,2,0),CF=(0,-2,4)

设”=(x,y,z)是平面CDF的一个法向量，则

〃.①=0x-y=0

n-CF=Qy-2z=0

x=2

令y=2,解得《

z=1

n=(2,2,1)

又A/5是平面AEFB的一个法向量，

/~Tri\〃*AZ)2

\/\n[\AD\3

2

・•・平面CDF与平面AEFB所成锐二面角的余弦值为一.

3

【点睛】

此题考查立体几何线面平行证明和二面角求法，线面平行可先证面面平行得到，属于简单题

目。

6.如图AA3C和均为等腰直角三角形，ADLBD,ACLBC,平面48。，平

面AB。，EC_L平面ABC,EC=1,AD=2^

（1）证明：£>E±AB；

（2）求二面角。—BE—A的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）好

5

【解析】

试题分析：（1）本问证明。石_LA5,可以通过线面垂直证明线线垂直，根据题意，取AB

中点F,连接DF,CF,然后证明AB,平面DFCE,易证明AB^CF,AB1DF,于是问题

得证明；（2）根据第（1）问，以F为原点，FB,FC,FD所在直线分别为x,y,z轴建立空间

直角坐标系，则8（2,0,0）,E（0,2,l）,D（0,0,2）,A（-2,0,0）,AB=（4,0,0）,

丽=（-2,2,1）,=（-2,0,2）,再求平面ABE的法向量，再求平面OBE的法向量，求

两个法向量的夹角余弦值，在由图形观察确定二面角与法向量夹角余弦之间的关系.

试题解析：（1）证明：设的中点为口，连结

因为AABC、△A8D为等腰直角三角形，AC=BC,AD=BD,

所以ABLOf

又DFcCF=F，

所以AB_L平面CFD，

因为平面A8CJ_平面AB。，平面ABCc平面ABD=A3，

£）Fu平面ABC,DF±AB,

所以。尸，平面ABC

又EC,平面ABC,所以DF//EC.

所以0GEC可确定唯•确定的平面ECFO.

又DEu平面ECFD,DE1.AB.

（2）以户为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则8（2,0,0）,£（0,2,1）,£>（0,0,2）,A（-2,0,0）,通=（4,0,0）,

BE=（-2,2,1）,BD=（-2,0,2）.

设平面ABE的法向量〃2=（石，X,zJ,

n-AB=04x.=0,、

则｛一，即｛ccC，令x=l,得加=（0,1,-2）,

n-BE=0-2x[+2yi+zi=0

设平面D6E的法向量〃=（X2，%，Z2），

m-BE=0-2x,+2y,+z,=0（1A

则[一，即｛c一cn，令々=1，得〃=1,不,1，

m-BD=0—2X2+2Z2=0y2J

设二面角。一A平面角为氏则|cos6|=|cos（w,砌=昂/=9,

所以：面角£>—BE—A的余弦值为或.

5

（1）空间两点之间的距离

1.已知直三棱柱A8C-4gG中，ZBAC=9（y,AB=AC=AtA=4,M为BQ中点,

N为44中点，求|MN|

【答案】272

【分析】

根据题意建立空间直角坐标系，利用空间中两点间的距离公式计算出|MN|.

【详解】

建立空间直角坐标系如图所示：

根据条件可知:M（2,2,2）,N（2,0,4）,

所以|MN|=^/（2-2）2+（2-0）2+（2-4）2=2>/2.

【点睛】

本题考查空间线段长度计算，建立空间直角坐标系，将长度计算转化为坐标计算，难度较易.

已如A（X],X，Z]）,6（%2，乂，z2）'所以|+（7-%）+（Z]-Z2）-

2.已知正方体的棱长为2,如图建立空间直角坐标系,

(1)求正方体各顶点的坐标；

(2)求4c的长度.

【答案】(1)见解析；(2)2百

【分析】

(1)根据空间坐标系的定义，易得各点的坐标;

(2)利用空间中两点间距离公式直接求解即可.

【详解】

(1)如图，•.•正方体的棱长为2,

：.A(0,0,2),B(0,2,2),6?(2,2,2),D(2,0,2),

4(0,0,0),By(0,2,0),G(2,2,0),。(2,0,0).

(2)4c的长度5。=后百万=2石.

【点睛】

本题主要考查了空间点的坐标及两点间距离公式的求解，属于基础题.

(2)点Q到直线/距离

若Q为直线/外的一点，P在直线/上，2为直线/的方向向量，b^PQ,则点Q到直线/

距离为h=-J(\a\\b\)2-(a-b)2

\a\

3.设尸为矩形ABC。所在平面外的一点，直线24,平面ABC。，AB=3,BC=4,

Q4=1.求点P到直线BD的距离.

【分析】

四.西|(SA+AP)-(SC+SA)|

由于所在加上的射影长为~WT=R,结合已知条件可求出其

9

值为1,然后利用勾股定理可求出点尸到宜线80的距离

【详解】

解：因为尸AJ_平面4BCO,所以B4LAB，

所以BP=再工F=「5司=，

因为四边形ABCD为矩形，所以ZBAD=90°,AD=BC=4,

所以BO=y/AB2+AD2=732+42=5-

因为|丽・丽|=|（而+而）・（1+丽）卜|丽『=9,|那卜5,

所以加在丽卜一的射影长为:，又向卜布，

所以点P到宜线5。的距离d=J10—《）2=11.

13

故答案为：—

4.已知直三棱柱ABC-A181G中，AAi=l,4B=4,5C=3,Z4BC=90°,求点B到直线4G

的距离.

13

【答案】y

【分析】

根据题设建立空间直角坐标系，写出4,a的坐标得到4G的方向向量，然后根据空间点

到宜线的距离公式直接求解.

【详解】

解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A|(4,0,1),C|(O,3,1).

直线4G的方向向量而=(-4,3,0),需=(0,3,1),所以点B到直线4a的距离

4西T甯卜,

【点睛】

本题考查空间中点到直线的距离，重点是利用向量法求解，属于基础题.

⑵点A到平面a的距离

若点尸为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面a的法向量为则P到平面a

的距离就等于MP在法向量n方向上的投影的绝对值.

即日研"西卜|研需

5.如图所示，正方形ABCD的边长为4,6。，平面43。。，且GC=2,E,尸分别

为AB,AO的中点，求点A到平面GEE的距离.

G

【分析】

解法1：由于ABCD为正方形且E，尸为中点，所以，点A到平面GE尸的距离等于点。到

平面GE尸的距离，故作图，并利用锐角三角函数进行求解.

解法2：建立空间直角坐标系，然后，利用点到平面的距离公式求解即可.

【详解】

解法1：A5C0为正方形且E，F为中点,所以，点A到平面GE厂的距离等于点。到

平面GEF的距离.过点。作a/_LGM交于点，，易证EEL平面GMC.

/.EFLOH.又。二。”，平面GEE.

在用AGQVZ中，如图所示，

G

M0C

GC2及

加-?立，・

OM=V2»tanZGMC-0•sinZGMC=-万.

：.OH=OM-sinNGMC=

11

解法2建立如图所示的空间直角坐标系，则点A，E，F，G的坐标分别为(4,4,0),

(2,4,0),(4,2,0),(0,0,2),则屈=(2,4,-2),GF=(4,2,-2),AE=(-2,0,0).

设无=(x,y,l)为平面GEF的一个法向量,

n-GE=Q[2x+4y-2=0

由〈一，即《.

n-GF=O4x+2y—2=0

所以点A到平面GEF的距离

【点睛】

本题考查点到面的距离，常用直接作出垂线段、转移点的位置或利用体积求解，当然还有向

量工具，本题也可以利用体积法求解，属于基础题.

6.如图所示的多面体是由底面为ABCO的长方体被截面AEG尸所截面而得到的，其中

AB=4,BC=2,CC]=3,BE-=1.求点C到平面AEGb的距离.

a1

AB

【答案】见详解

【分析】

用空间向量的方法先求出平面AEGF的法向量，即可由距离公式求解.

【详解】

设成为平面AEG口的法向量，显然神不垂直与平面ADF,故可设）=（x,y,l）

1

%❷AE=00xx+4xy+l=04y+l=0

由2一得｛则；c八，所以《

-2xx+0xy+2=0—2x+2=0

riy^AF=0X-1

所以4=(1,-;,1

又区'=（0,0,3）.设无与）的夹角为a,则

eq❷%4屈

cosa-

RR33

r.C到平面AEG/的距离为

33、逗45

d

33II

【点睛】

本题主要考查空间距离问题，属与常考题型.

⑶直线a与平面a之间的距离

当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。由此可知，直线到平面

\n-MP\

的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。即d=\_13

7.如图，四棱锥P-ABC。中，△PAD是以AO为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,

CD±AD,PC=AD=2DC=2CB,E为尸。的中点.

(1)证明：CE〃平面PAB；

(2)求直线CE与平面Q45间的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)好.

5

【分析】

(1)取24的中点M，连接、EA/，易证四边形BCEM为平行四边形，故CE//BM，

再由线面平行的判定定理即可得证；

(2)由CE〃平面P45,知点E到平面的距离即为所求.设BC=1,取AD的中点N,

连接BN、PN,可证两人AD,BN1AD,进而推出平面/WB；于是以B为原

点，BC、BN分别为X、＞轴，在平面NVB内，作&_L平面A5CO，建立空间直角坐标

系，可证从而求得PB=G，NPNB=120。,写出点P、E的坐标，根据法向

\n-BE\

量的性质求得平面Q46的法向量］,由点E到平面P钻的距离d即可得解.

同

【详解】

(1)证明：取R4的中点〃，连接8W、EM，

•.•石为2。的中点，，£717〃4。，EM^-AD=BC,

2

四边形BCEM为平行四边形，

CEHBM.

•••CE<Z平面％6,平面B46，

.•.CE〃平面Q46.

(2)•.•(?£〃平面P43，二点E到平面Q45的距离即为所求.

设PC=A£>=2OC=2CB=2,

取AO的中点N,连接BN、PN，则四边形BCDN为矩形，BN=CD=T

••・△240是以AD为斜边的等腰直角三角形，.•.PNJ_AT>,PN=-AD=1,

2

\-BNlAD,PN?BNN,PN、BNu平面PNB,

.•.AZ)_L平面尸NB，

QBC〃AD，;.BC工平面PNB,

•.•8Cu平面ABC。，平面ABCO_L平面PNB,

以3为原点，8C、BN分别为无、>轴，在平面RV3内，作Bz_L平面ABC。，建立如图

所示的空间直角坐标系，

则6(0,0,0),A(-l,l,0),£>(1,1,0)

;BC上平面PNB,:.BC工PB,

在Rt/Bc中,PB=>IPC2-BC2=722-12=73，

BN=PN=l,;.NPNB=120°，

・•.尸[。]，45百)

222447

丽=„],丽=(-1,1,0),而昭祥

nBP-0Ja_n

设平面B46的法向量为7=(x,y,z),贝以“一=，即行"5-②二

n-BA=0八

、[—x+y=()

令x=l,则y=l,z=-G，，〃=(LL-G)，

点E到平面PAB的距离d=।।=244="L=9，

|n|Jl+1+3加5

故直线CE与平面PABI,HJ的距离为好.

5

【点睛】

方法点睛：求空间中点P到平面。的距离,

向量方法:先在平面a内选一点A，确定向的坐标，在确定平面a的法向量最后代入

\n-pA

公式d=Lpp1求解.也通常采用三棱锥等体积求解.

8.如图，在直三棱柱ABC—A^Ci中，ZABC=|TT,。是棱AC的中点，且

(1)求证：A与〃平面BCQ：

(2)求直线力用到平面BG。的距离.

【答案】(1)证明见解析；(2)昱.

3

【分析】

(1)以8为原点，以8C，BA，所在的直线分别为x,y,z轴，求出平面BQ。的

法向量，通过数量积推出函J■万，得到AB//平面BG。.

(2)通过直线上任一点到平面的距离都相等，