2023年高考数学第41讲 横空出世解析法

第41讲横空出世解析法，剑指两界谁争锋

一、知识聚焦

数与形是现实世界中客观事物的抽象和反映,是数学的两大基石,数形结合的思想方法，

即通过数形间的对应与互助来研究问题并解决问题的思想方法，笛卡尔通过建立点与有序数

组的对称实现了“位置的量化”，这是数形结合的一个根本点，解析几何的建立是数与形的

“战略性”结合的标志，其实质就是用代数的方法研究几何问题，以数辅形，以形助数表现

得相当完美，数形结合不但使几何学由于代数化而获得了新的面貌和新的发展，而且给代数

提供了几何模型，并借助于几何的成果得到进一步的发展.这便是“横空出世解析法（坐标法）,

剑指两界（代数、几何）谁争锋”.

解析法证题或解题的核心步骤是选择恰当的坐标系，采用便于推导的图形（直线或圆锥

曲线）方程式，并密切注意几何关系与代数关系的转换.

二、精讲与训练

核心例题1

在正方形力8。〃中，过一个顶点。作对角线口的平行线。£若日=|明，且GF交边

力。于点F,则|44与|/18有可能相等吗?为什么？

解题策略本例的证明方法是解析法，其关键在于恰当地选取坐标系，坐标系不同，证明

的过程当然也不尽相同，最大的差别是计算或推导有难易之分，下面介绍两种解法.

解法一以力为原点，对角线，。所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图41-1所

示，设正方形的4个顶点和点£的坐标分别为40,0）,a8-句，Q2a,0）,a）,

RXE,a).

".'\CE\-\AC\,(xE-2aJ=(2。)？，解得/=(2-

:x-2a_y

又CE=(-\[3a,a\,故直线8的方程为即x+Gy-2〃=0.

-百。a

设点尸的坐标为(号,力)，AD=AAF,

••.(。,<7)=>1(号,%)

于是有号=力，又点尸在亘线CF上，

故—2a-0,xF—(A/3-l)a,

即F((6-l)a,(6-l)a),

:.\AE'c=[(2-+cr=(8-4拘〃，

|”/=[(73-l)a]2+[(73_1)1=(8一4百)〃.

.■.IAEHAFI.IAE|和|AF|有可能相等.

解法二以。为原点，。。所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

如图41-2所示，设正方形的4个项点和点E的坐标分别为

D(O,O),C(a0),B(a,d),A(0,a),E(x£,—x£)

由|CEIHAC|得(左一a?+)=(缶彳.

x-ay

故直线的方土自为=

1+6-6-1

a

即(G—l)x+(若+l)y—(6—1)4=0,令x=0,WJ(V3+l)yF=(V3-l>.

.•.|AE|=|AF|,|AE|和|AF|有可能相等.

变式训练

给定任一锐角及高力”在/〃上任取一点2连接8。并延长交力。于点£连

接。。并延长交46于点石证明:乙

核心例题2

如图41-3所示，已知等腰梯形力8。。中，AB//CD,|/5|=\/

2|。4，点E分有向线段元所成的比为九双曲线过CD,E

三点，且以48为焦点.当g狗比;时，求e的取值范闱=J\

图41一3

解题策略解析法又称坐标法，其本质是用代数方法解决几何问题，

首先把几何问题转化为代数问题，然后用代数方法求得结果，最后把代数的结论转化为几何

的结论，从而使问题得到解决.

运用解析法的具体解题步骤总结如下：

⑴选择适当的坐标系（是使问题解决简单化的关键）；

⑵设有关点的坐标和曲线的方程；

（3）通过代数运算求得结果，转化为几何结论.

解:如图41—4所示，以直线48为x轴，线段力8的垂直平分线为y轴建立平面直角坐

标系，则轴.

双曲线经过GD,且以48为焦点，

・・.C,。两点关于y轴对称，设4C,£的坐标分别为（—c,O）,（］,/z）（Xo，%）,其中

c=g|AB|为双曲线的半焦距，6是梯形的高.

由线段定比分点坐标公式，得用=

设双曲线方程为‘表■=1

3T扇

点C£在双曲线上，・•・3—T=I，

a~7b

川2

整理得上=邑e一1，①

C2(A-2)2Vh2

4(4+1)2(4+1)2

1.②

将①代入②，整理后得彳(4-44=1+2人

.-.2=1—^—,由题设2教以3,得2效1一1_3,解得J7效必M.

e2+2343e2+24

双曲线离心率e的取值范围为[近,J16].

变式训练在八43。中，如果a=10,c—Z>=6,证明:tanOcot^=’.

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核心例题3

已知sina+sin〃=—,cosa+cos/?=-,求tan(a+£)的值.

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解题策略本题是三角函数求值，常规解法当然可以通过对条件的三角恒等变形来实现.

a+/7_3

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如果把三角函数的求值问题置于平面直角坐标系中，运用坐标法并结合解析几何知识来

处理，则别具一格，也充分说明解析法解题的广泛性.

解:如图41-5所示，不妨设0WaW£W2〃，且点48的坐标

分别是/(cosa,sina),

acos£,sin⑶，则点46在f+4=l的圆上，连接力民若。

是的中点，由题设知点C的坐标是(」」).连接OC,于是OC

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1AB,再连接。4,OB,则有4004=。，

图41-5

乙。乙。。C=g(a+〃)-乃，

从而tan，土夕=tan/.DOC=—.

24

2tan…

24

故tan(a+0=；房［

T

1-tan.......-

2

变式训练1

已知sin