2023年高考数学大招7“片段和”秒解前n项和

大招7"片段和"秒解前〃项和

大招总结

5„,S2„-S„,S3,,-%我们暂且称之为“片段和”.

2

当｛4｝是等差数列时，s„,S2„-Sn,S3,,-邑,,也构成等差数列，公差为nd.

当｛4｝是等比数列时，S„,S2„-Sn,53“-S?”也构成等比数列，公比为二.（当n为偶数

）

时，"T,不然S八S2„-Sn.S3„-52„每一项为0

证明：等差数列，=4+出++%,

S

2„-S„=a„+l+an+2++a2„,

S+a

S3"-2n=”2，，+1+%+2+3n•

6”-S“）-S,、=（4+|+all+2++a2il）-（at+a2++a“）

=nd+nd++nd=nd•

（S3"一邑/一⑸〃-5〃）=（4〃+1+。2〃+2++々3〃）一（％+1+。〃+2++々2〃）

=nd+nd++nd=ivd

明显可以看出公差为n2d.

同理：等比数列的公比为qn.

典型例题

例1.（2021•甲卷文科）记S"为等比数列｛见｝的前n项和.若52=4,S4=6,则

56=（）

A.7B.8C.9D.10

解：因为S,,为等比数列｛%｝的前〃项和，S2=4,邑=6,

由等比数列的性质，可知52，S4-S2,§6-54成等比数列，

所以4,2,臬-6成等比数列，

所以22=4（§6-6）,解得$6=7.

故选A.

例2.已知等差数列｛4,｝的前«项和为S“,若S1O=1O,S2O=4O,则邑。等于

（）

A.70B.90C.130D.160

解：因为等差数列｛4｝的前»项和为S.,所以九，S20-5I01SJO-^O也成等差数列,

故2x（40-10）=10+%-40,解得%=90,故选B.

例3.（2021秋•会宁县校级期末）设等差数列,“｝的前«项和为5„,若其=8,

SR=20,贝1）43+%+45+46=（）

A.20B.16C.12D.8

解：因为等差数列｛%｝的前〃项和为5“S4=8,58=20,

由等差数列的性质得：5』，58-S4,S12-S8,516-5,,成等差数列，

又54=8,$-3=20-8=12,

所以d2-S8=SI2-20=12+4=16,

516-512=43+〃14+《5+46=16+4=20.故选A.

例4.设等比数列｛%｝的前n项和为%若称=3，则T=()

d6d9

83

A.2B.-C.—D.3

37

解：方法1因为等比数列｛4｝的前〃项和为S“，今=3,

所

以3

+9

^4+43

故

所

选

以4=-

¥9+7C.

9-

妨

方

法

2设3S

-6

47所以率=；,故选C.

邑=3.56-53=-2,所以59-S6=-,求得S9=-,

例5.各项均为正数的等比数列｛«„｝的前n项和为S,,若几=2,%=14,则%等

于（）

A.80B.30C.26D.16

解：方法1：由题意知等比数列｛4｝的公比9>0,且什】，则有

+g">-6=0,解得产=2,则g40=16,且代入①得

=-2x(1-16)=30.故选B.

方法2因为为等比数列，所以4,S20-S10,S3O-S2O,S4G-S3。成等比数列

520S|()_即鸟丁=£夸，求得

%=6或-4（因为｛%｝为正项数歹I

2320一，

所以舍去Y),求得S4O-S3O=16.所以几=30,故选B.

例6.(2021秋•海珠区期末)等比数列｛〃"｝中，已知4+%+%=6,g+〃5+〃6=—3,

则%+《+偈=()

3327

A.24B.-C.-D.——

248

解：等比数列MJ中，由等比数列的性质得：s“，s2n-sn,%,-%,成等比数列，由

,-33j,

%+%+/=6,4+区+4=一？，得：Oj+tz+6^=-3x-=-.故选B.

862

例7.（2021秋•河西区期末）在等差数列（«„｝中，S„为其前〃项的和，若£=12,

58=40,贝IJ$6=.

解：在等差数列｛q｝中，S,为其前〃项的和，S4=12,S8=40,由等差数列的性质得：

九一无是等差数列，且首项为公差为

S4,58-S4,S12-SS,12,4=（40—12）—12=16,

S]2-Ss=（40-12）+16=44,二兀=44+40=84,S|6-Sn=44+16=60,

S16=60+84=144.故答案为:144.

自我检测

1.已知S“是等差数列｛。〃｝的前〃项和,且S2=6,54=20,则56等于（）

A.50

B.42

C.38

D.36

答案：.等差数歹U的前几项和为,§2=6,§4=20,则S2,§4—$2,§6—§4成等差数歹U,

.・.6,20-6=14,§6-20成等差数列，.・.2X14=6+S$-20,解得56=42.故选B.

2.（2021春-静海县期中）设等差数列｛4｝的前〃项和为S〃,若S4=8,S8=20,则

出+为+%+42=。

A.18

B.17

C.16

D.15

答案：设等差数列｛〃“｝的前〃项和为冬,・・.5438-54，52-58成等差数列，即8,12,、2-58

成等差数列，故S|2-$8=16,即佝+。]0+%+《2=16,故选C.

3.（2021秋-昌江区校级期中）设等差数列｛afl｝前n项和为S“，若邑=4,Sg=9,则S12等于（）

A.12

B.13

答案：等差数列前〃项和为,由等差数列的性质得：

｛q｝SZI,S4=4,S8=9

S4,S8—S4，，2—§8成等差数列，4,9—402—9成等差数列，.・.2（9—4）=4+与一9,解得

Sl2=15.故选D.

4.（2021-静宁县一模）设等差数列｛4｝的前八项和为S,,，若加=288,S9=162,则$6=（）

答案：方法1:设等差数列｛q｝的公差为d,由题意可得

$2=12q+—d=288,S9=9q+^d=162

4=2,"=4,r.S6=6«|H——d=72,故选D.

方法2:S3，S6-S3，S9—S6，S12-S9成等差数列，令S3=x,=y即

x,y-x,162-^,288-162成等差数列，则

%+（162-丁）=2（丁一》）,（了一%）+（288-162）=2（162-丁），解得56=丁=72,故选D.

方法3:根据等差数列的性质&+鼠=2x*,臬=72,故选D

6129

5.（2021春-雨花区校级月考）在等差数列｛《）中，前n项和为S,，且2=3,则&=（）

C.2

D.3

答案：等差数列｛%｝中，前”项和为S“，且些=3,设S4=r，则58=3t,:.S4,Ss-S4,S12-S8,

也是等差数列，即，,2/,、2-S8成等差数列，故有SI2-S8=3f,故有'2=$8+3，=6/,则

鼠=?=2,故选C.

$83，

(2021秋-聊城期末)设S„是等差数列｛&｝的前〃项和,若1=2,则旦=()

6.

$85S]6

5

A.

14

7

B.

26

3

C.

5

2

D.

5

答案：方法1：设等差数列｛an｝的公差为是等差数列｛%｝的前N项和,

,4x3,

4«,+—

整理得

12

8x7

13Sa4+丁"8q+28d52d+28d5

a=—d,J:.」8=------旨==—!----=------------=一.故选A.

}1

2516.aI6x15416%+120"104J+120J14

12

方法2:不妨令S4=2,=5,v54,-54,512-S8,S16-S12是等差数列，即

S4=2,S3-S4=3,S12-5g=4,516-5I2=5,/.Sl2=9,耳6=14,去=2,故选A.

14

7.(2021秋•河西区期末)已知等比数列的首项为-1,前〃项和为S,，若&=必，则公比q=()

S$32

4

B-4

C.2

D.-2

答案：｛an｝是等比数列，由数列前〃项和的定义及等比数列通项公式得，

Eo=(4+2++%)+(%+%+

+4o)=S5+/(4+W++%)=(1+=]+[5=，解得q=故选B.

8.(2021春-赤峰期末)若等比数列｛fl,,｝的前〃项和为S“，且S3=3,$6=9,则$9=()

A.12

B.18

C.21

D.24

答案：等比数列｛4｝中，S3=3,§6=9,由等比数列的性质可知，S3,§6-S3,S9—§6成等比数

列，即3,6,$9-$6成等比数列，所以36=3(Sg-S6),则Sg=21故选C.

9.设等比数列｛«,,｝的前〃项和为S“，若几：$5=1：2,则S5+S1P+E5.=0

九一S5

A-?

B--l

C-I

9

D.一一

2

答案：等比数列｛4｝的前〃项和为S”S1o：S5=1:2,.•.(SK)—85):85=—1:2,由等比数列的

性质得S15

、//、3I

—Bo):(51()—55):55=1*(-2):4,/.几：Ro:a=3:2:4,.\S15="55,5I0=—S5,.\

13

/+/+几」+2S5+4S59

——.故选D.

510一S52

10.（2020-新课标I）设｛。〃｝是等比数列，且4+%+%=1,。2+。3+。4=2,则4+。7+。8=（）

A.12

B.24

C.30

I).32

答案：｛4｝是等比数列，且4+。2+%=1，则％+/+。4=4(4+。2+/)，即

4=2,/.4+%+%=q5(q+a?+/)=2,x1=32,故选D.

11.（2021-湖北模拟）若等比数列｛q｝的前n项和为S“，且&•=6,则邑=（）

S3^6

A7

31

Bn.—

6

c-i

D.3

q(1-力

答案：方法1：设等比数处I｛。“｝的首项修，公比q,显然qX1,则区=

=l+/=6,

i-q

4(1-/)

c2

即43=5,贝|］字=—/i：6j=；j=［：=：，故选口.

S6a.

i-q

方法2:不妨令S3=1,§6=6,邑,$6-53，风一&也是等比数列，即1,5,$9-6构成等比数列,

$9-6=25/.S9=31,显=卫，故选B.

S«6

12.（2021秋-海门市校级期中）设等比数列｛q｝的前〃项和为S“，若邑=5,则等比数列｛an｝

的公比为

A.2

B.1或2

C.-2或2

D.-2或1或2

答案：方法1：设等比数列｛叫的公比为4,当4=1时，S.=叫同=252,不符题意;故

可得:-4,、=5,即为1+才=5,解得q=±2,故选C.

i-q

方法2：邑=±士1世也=1+/=5,解得4=±2,故选C.

s?s?

13.（2021秋-河东区期末）设等比数列｛an｝