2022年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科）（学生版+解析版）

2022年宁夏中卫市高考数学一模试卷（文科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.（5分）己知集合4={-1,0,1,2,3},B={x|/-2x>0},则ACB=（）

A.{3}B.{2,3}C.{-1,3}D.{1,2,3}

2.（5分）若zi=l+3i,则2=（）

A.3+iB.3-jC.3+2/D.3-2z

3.（5分）已知向量Z=（x,1）,b=（4,x）,则"x=2"是"Z〃匕"的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（5分）已知COS（TT+a）=一［，贝ljsin（a-2n）=（）

4434

+a+

--c---

A.5B.5一55

5.（5分）已知抛物线b=4x的焦点为F,点M在抛物线上，且|MQ=3,则M的横坐标为

（）

A.1B.V2C.2D.3

6.（5分）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战

争给人民带来的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”

是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中

选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是

（）

2457

A.一B.一C.一D.—

9999

7.（5分）在长方体A8CD-AiBiCiOi中，AB=BC=\,441=遮，则异面直线ADi与BBi

所成角为（）

8.（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x+y的值是（)

开始

i=O,x=l,y=l

------i=i+l

A.-1B.-5C.-3D.0

9.（5分）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做

“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”

依次对应天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，

组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、…、

癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，

无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子属相为（）

A.猴B.马C.羊D.虎

10.（5分）关于函数/'（x）=2s讥+看）的图象或性质的说法中，正确的个数为（）

①函数/（X）的图象关于直线工=竽对称；

②将函数/（x）的图象向右平移g个单位所得图象的函数为y=2sin（^x+^）；

③函数/（x）在区间（T，y）上单调递增；

④若f（x）=a,则cos8%—电=*

A.1B.2C.3D.4

xv

11.（5分）设尸i,尸2分别为双曲线"一三=1（。>0,。>0）的左、右焦点，双曲线上存

azbz

在一点尸使得|PFi|+|PF2|=2b,|尸乃|『尸2|=我，则该双曲线的离心率为（）

,-5-

A.V10B.3C.-D.V2

2

12.（5分）设函数f（%）=['以'",0,若函数g（x）=f（x）有两个零点，则实数加

\,xex,%<0

的取值范围是（）

A.T，e）B.（-1,0]

1I

C.（一工，0）U（0/+oo）D.（—―/+8）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x-y>0

13.（5分）已知实数x,y满足约束条件卜+y20,则z=i+2y的最小值为.

.2%+y<1

2Xx<T0

'为奇函数，则g（2）=___.

{g。），x>0

15.（5分）在△43C中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c,设AABC的面积为S,其

中a=2V3,y+,2=24,则S的最大值为.

16.（5分）在四面体见8c中，平面以81.平面ABC,%=PB=AB=2,4C=BC=宇,

则该四面体的外接球的体积为.

P

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：

共60分.

17.(12分)已知数列｛〃"｝中，前〃项和为S”,且满足Sn=|(4"-1),“6N*,设为=log2M

(I)分别求｛〃”｝和｛如｝的通项公式：

(II)求数列｛｝的前n项和Tn.

("»n4+l4)(,On上+32)、J

18.(12分)为进一步推进全国文明城市创建工作，营造浓厚的创建氛围，确保创建工作高

质量达标.某市物业主管部门决定在市区住宅小区开展文明城市创建工作满意度测评，

现从某小区居民中随机抽取若干人进行评分，绘制出如下的频率分布直方图(分组区间

为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并将分数从低到

高分为四个等级：

满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

(1)求表中“的值；若用A表示事件”满意度评分不低于80分”，将频率视为概率，求

事件A发生的概率；(2)若居民的满意指数不低于0.9,则该小区可获得“最美小区”称

号.根据你所学的统计知识，判断该小区是否能获得“最美小区”称号？并说明理由.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面ABCO为矩形，PA^PC,PB=PD.

(1)证明：平面以C,平面ABC。.

(2)若AB=2W,PD=2^2,BC=2,求点8到平面PCD的距离.

p

有且只有一个公共点.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点M(l,0)的直线L与椭圆£交于两点A,B,若京=2届，求直线〃的方

程

21.(12分)已知函数/'(%)=亍+a/nx,aeR.

(1)若曲线y=/(x)在点尸(1,f(1))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值；

(2)当时，求函数f(x)在区间(0,e］上的最小值.

(-)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.［选修4-4：坐标系与参数方程］

22.(10分)已知圆C的方程为(x-1)2+⑶-1)2=9,直线/的参数方程为｛；二:黑,

"为参数,0Wa<Tt).以原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)设/与C交于A,3两点，当|0川+|。8|=2夕时，求/的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］

、、1

23.(1)设。，b,cER,a+b+c=1,证明：ab+bc+ac<

(2)求满足方程(/+2)(/+8)=16冲的实数x,y的值.

2022年宁夏中卫市高考数学一模试卷(文科)

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.(5分)已知集合4={-1,0,1,2,3),B={x\x2-2x>0],则AA8=()

A.{3}B.{2,3}C.{-1,3}D.{1,2,3}

【解答】解：由3中不等式变形得：x(x-2)>0,

解得：xVO或x>2,即B={RxVO或x>2},

VA={-1,0,1,2,3},

：.AQB={-1,3},

故选：C.

2.(5分)若力=l+3i,则5=()

A.3+zB.3-iC.3+2/D.3-2i

【解答】解：・.・zi=l+3i,

.l+3i(l+3i)io.

1i2

Az=3+i.

故选：A.

3.(5分)已知向量'=(x,1),b=(4,x),则“x=2”是吗〃*的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：若ZIIb,则/-4=0,

：.x=+2,

，x=2时，能得出热||b；而得不出x=2,

・,.”x=2”是aa||b"的充分不必要条件.

故选：B.

4.(5分)已知COS(TT+a)=-引则sin(a-2n)=()

443A

A.-B.一gC.土一D.土V

5555

【解答】解：因为cos（7T+a）=—&=-cosa,

所以cosa=引

_________4

则sin（a-2TT）=sina=±V1—cos2a=±g.

故选：D.

5.（5分）已知抛物线）2=4x的焦点为F,点M在抛物线上，且|MF|=3,则M的横坐标为

（）

A.1B.V2C.2D.3

【解答】解：由题意可知=XM+1=3,解得XM=2.

故选：C.

6.（5分）杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战

争给人民带来的巨大不幸和困苦.“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”

是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中

选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的含《新安吏》和《无家别》的概率是

（）

2457

A•-B.-C•—D.一

9999

【解答】解：设语文老师选的含《新安吏》和《无家别》为事件A,

；基本事件总数为武・盘=9,

事件A包含的基本事件数为©•盘=2,

2

.•.p（4）=g,

故选：A.

7.（5分）在长方体A8C£>-AiBiCiDi中，AB=8C=1,AAr=V3,则异面直线AD1与B31

所成角为（）

nn7171

A.-B.-C.一D.-

4362

【解答】解：长方体A3CD-451C1D1中，DDU/BB1,

则异面直线AD1与BB\所成角的平面角为NAD1D,

则tanNADiA备=e=季

即

o

71

所以异面直线AD\与BBi所成角为7

6

故选：C.

8.（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出x+y的值是（)

A.-1B.-5C.-3D.0

【解答】解：i=0,x=l,y=l,

第一次循环，0W3,x=\-1=0,y=0+l=l,i=0+l=l,

第二次循环，1W3,x=0-l=-l,y—-1+1=0,i—\+\—2,

第三次循环，2W3,x--1-0=-1,y—-1+0=-1,i—2+\=3,

第四次循环，3W3,x=-1-（-1）=0,y=0+（-1）=-1,«=3+l=4,

4<3不成立，输出x+y的值为-1.

故选：A.

9.（5分）“干支纪年法”是我国历法的•一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、

辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、己、午、未、申、酉、戌、亥叫做

“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”

依次对应.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，

组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、、癸酉：甲戌、乙亥、丙子、…、

癸未；甲申、乙寅、丙戌、…、癸己；…；共得到60个组合，称为六十甲子，周而复始，

无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2082年出生的孩子属相为（）

A.猴B.马C.羊D.虎

【解答】解：六十甲子，周而复始，无穷无尽，

即周期是60,2082年与2022年一样，2020年是庚子年，2021年是辛丑年，2022年是壬

寅年，

则2082年出生的孩子属相为虎.

故选：D.

10.（5分）关于函数/0）=25讥&尢+看）的图象或性质的说法中，正确的个数为（）

①函数f（x）的图象关于直线x=竽对称；

②将函数/（x）的图象向右平移g个单位所得图象的函数为y=2sin（^x+号）；

Sir

③函数/（x）在区间（―£—）上单调递增；

33

④若f（x）=a,则cos&x-今）=/

A.1B.2C.3D.4

O1TT1O-jTp^rrO-rr

【解答】解：①当文=竽时，-%+—=-x—+—=一,此时f（X）取得最小值，即

J262362

函数/（X）的图象关于直线》=学对称，故①正确；

②将函数/(x)的图象向右平移g个单位所得图象的函数为y=2sing(尸卷+1]=2sin

(|x),不是y=2si*%+号)，故②错误；

TT57T1TT57r1JT

③当xW(一亍，—)，则(-7?—)，一才+工^(0,IT),

3326626

此时函数f(x)在区间(一。—)上不单调，故③错误；

④若/(x)=。，即sin(一久+一)=冬，

262

・.1,71J叫71rn.f1717117T

.-x+——(r-5)=5,则-%+——一=一九一亍,

2623226223

11TCTC7rlTT17rQ

则cos(-x—0)=cos(-%+———)=cos[——(-%+-)]=sin(~x+-)=5，

23262226262

则cos(?T)=号错误，故④错误，

故正确的个数为1个，

故选：A.

2V2

11.(5分)设F1,尸2分别为双曲线"一匕=1(〃>0,匕>0)的左、右焦点，双曲线上存

a1bz

在一点P使得|PFi|+|PF2|=2b,\PFi\\PF2\=lab,则该双曲线的离心率为()

A.V10B.3C.-D.V2

2

【解答】解：由双曲线的定义可得，

IIPF1I-|PF2||=2a,

0

由|PFi|+|PF2|=2b,\PFI\-\PF2\=^ab,

则有(|PF1|+|PF2|)2-4\PFi\'\PF2\=4b2-^ab=4a2,

即有(h-3a)<3h+a)=0,

即有匕=34，则6=J1+4尸="U.

故选：A.

12.(5分)设函数若函数g(x)=f(x)-机有两个零点，则实数相

be"%<0

的取值范围是()

11

A.(--/e)B.0]

11

C.(-}O)u(o，+8)D.(-9，+00)

【解答】解：因为当了W0时，y=x/WO,

所以(x+1),

令y，=0,得x=-1,

所以当在(-8,一1)时，y<o,y=x"单调递减；当xe[-1,0])时，y>0,y=xex

单调递增；

所以ymin=-

作出y=/(x)的图象如图所示：

g(x)=f(x)-〃7有两个零点等价于y=/(x)的图象与y=相的图象有2个交点，

由图象可得机>—

x-y>0

13.(5分)已知实数x,y满足约束条件卜+yNO,则z=x+2y的最小值为7

.2%+y<1

【解答】解：由约束条件作出可行域如图,

联立解得A(1,7),

由z=x+2y,得产—5+*,由图可知，当直线尸一方+狮时,

直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1-2=-1.

故答案为：-1.

2Xx<0

'为奇函数，则g(2)=1

{g(x),x>04-

2XxVO

'为奇函数，

{g(x),x>0

则/(2)=g(2),而-2)=2'2=1,

1

则g(2)=-/<-2)=一?

故答案为：-

15.(5分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,其

中a=2V3,b2+c2=24,则S的最大值为3近.

【解答】解：由余弦定理得，cosA=等L=微>0,

因为24=b2+c2^2bc,当且仅当〃=c=2百时取等号，

所以bcW12,

又siiL4=

所以S=^bcsinA='J(bc)2一36W3次.

故答案为：3V5.

16.(5分)在四面体B4BC中，平面平面ABC,PA=PB=AB=2,AC=BC=孥,

2071571

则该四面体的外接球的体积为….

【解答】解：四面体B43C中，平面B43_L平面A3cPA=PB=AB=2,AC=BC=学,

如图所示：

在△ABC中，利用余弦定理：AB2=AC2+CB2-2AC*BC*cosZACB,

整理得cos-4cB=-々，

解得4CB=竽，

2

心.27T=2/?，

S叫

所以aABC的外接圆的半径为R=专，

在中，中心点E到AB的距离为，，22-1=y；即FD=冬

所以外接球的半径R=(等)2+熄)2=得

所以嗫=”.雷)3=^詈.

,,…,20V157T

故答案为：

三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必

考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:

共60分.

9

17.(12分)已知数列｛傲｝中，前”项和为品，且满足%=((平-1),"CN*,设医=log2Z.

(I)分别求｛〃“｝和｛阮｝的通项公式；

(II)求数列｛•%二日八上不｝的前〃项和Tn.

【解答】解：(/)由匕=,(4n-1)知，

当〃》2时，Sx=[(4n-J),

nnJ2n

两式相减，得与=Sn-Sa=j(4-l)-1(4--1)=2-\

n

即0n=22T(n>2),

7

当〃=1时，%=Si=g(4-1)=2满足上式

2n-1

an=2(nEN*),bn=\og2an=2n-1.

2nx

综上可知：an=2-(nEN*),bn=2n-l(nEN*).

、」八4411

(〃)由(/)知T;--------=—;------=——----，

(如+l)(bn+3)2n(2n+2)nn+1

・11,11,1111n

-Tn=1-2+2-3+3~4+"'+n~^=1~^=^

18.(12分)为进一步推进全国文明城市创建工作，营造浓厚的创建氛围，确保创建工作高

质量达标.某市物业主管部门决定在市区住宅小区开展文明城市创建工作满意度测评，

现从某小区居民中随机抽取若干人进行评分，绘制出如下的频率分布直方图(分组区间

为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]),并将分数从低到

高分为四个等级：

满意度评分[40,60)[60,80)[80,90)[90,100]

满意度等级不满意基本满意满意非常满意

(1)求表中a的值；若用A表示事件“满意度评分不低于80分”，将频率视为概率，求

事件A发生的概率；(2)若居民的满意指数不低于0.9,则该小区可获得“最美小区”称

号.根据你所学的统计知识，判断该小区是否能获得“最美小区”称号？并说明理由.

【解答】解：(1)由频率分布直方图可知:(0.002+0.004+0.016+0.018+a+0.024)X10=l,

解得a=0.036,“满意度评分不低于80分”的频率为：(0.036+0.024)X10=0.6.

因此，事件A发生的概率估计值为06

(2)满意度的平均分为：45X0.02+55X0.04+65X0.16+75X0.18+85X0.36+95X0.24=

80.4

所以居民的满意指数叩=盥=0.804<0.9.

所以该小区不可获得“最美小区”称号.

19.(12分)如图，四棱锥P-ABC。的底面ABC。为矩形，PA=PC,P8=PD.

(1)证明：平面B4C_L平面48CD.

(2)若A8=2g,PD=2V2,BC=2,求点B到平面PCD的距离.

【解答】证明：(1)连接BD,交AC于点O,连接P。，如图所示,

•.•底面ABC。为矩形，二。为AC,8。的中点，

又：以二也，PB=PD,

：.POLAC,PO1.BD,

又：ACC8Q=0,

."0J_平面4BCD,

：POu平面PAC,

平面用C_L平面ABCD.

解：⑵：AB=2b，BC=2,

：.AC^BD=>/AB2+BC2=4,：.0D=0C=2,

在RtZXPO。中，NP0D=9Q°,

：.P0=>/PD2-OD2=2,

.,.在RtAPOC中，PC=>JPO2+OC2=2V2.

在△「(7£»中，PD=PC=2五,CD=2®

:.SNCD=|xCDxJPC2-CD)2=1x2V3xV8^3=V15,

"：BC±CD,:&BCD=IXBCxCD=x2x2V3=2V3,

设点B到平面PCD的距离为h,

由等体积法可知VBPCD=VPBCD,

又：PO_L平面ABCD,：.P0为点P到平面BCD的距离,

11

,*2xS近口xh——xS^BCDxP。

.SABCDXPO_2&x2_4V5

S“CD-~7TT~丁

4A/5

即点B到平面PCD的距离为

XVV3「

20.(12分)已知椭圆E：—4--=l(a>b>0)的离心率为一，与直线/：x-y+V5=0

az2

有且只有一个公共点.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点M(l,0)的直线L与椭圆E交于两点A,B,若薪=2届，求直线Z,的方

程

【解答】解：(1)由题意可知，e=E=坐，即2c=V5a,由q2=/+c2,所以〃2=4庐，

故椭圆方程为：f+4)2-4B=o,

将y=%4-6代入椭圆方程，整理得5/+8V5X+20—4b2=0,

由椭圆与直线只有一个公共点，则4=(8遮产-4X5X(20-4b2)=0,

解得廿=1，/=4,

产

所以椭圆E的方程：—+y2=1；

4

(2)设直线L的方程：x=my+\,A(xi,y\),B(X2,”)，

联立方程组｛：2；黑;4=0,消去X，整理得(加2+4)y2+2my-3-0,

所以%+丫2=一舄,%"一品，

由薪=(1一%，一%)，薪=(%2—1，、2)，且京=2诂，贝lj-yi=2”，

所以‘乃=滔百'、2=帚彳’代入一商工歹二一再？

解得m=±马要，

所以直线L的方程为“=土型y+1,BP5x±2715-5=0,

当直线L的斜率为0,显然不满足41=2MB,

所以直线L的方程：5x±2V15-5=0.

21.(12分)已知函数/(X)=彳+abix,«GR.

(1)若曲线y=/(x)在点尸(1,/(I))处的切线垂直于直线y=x+2,求a的值；

(2)当“20时，求函数f(x)在区间(0,e］上的最小值.

【解答】解：⑴因为/(x)=1+a/nx,所以广。)=一5+或

:曲线y=/(x)在点P(1,7(I))处的切线垂直于直线y=x+2,

又直线y=x+2的斜率为1,

广⑴=一1+三=一1,

(2)(x)=++E=xG(0,+oo),。20,x>0,

①当“=0时，在区间(0,e］上/'。)=1VO,此时函数/(x)在区间(0,e］上单

调递减，

则函数f(x)在区间(0,e］上的最小值为/(e)=今

②当0寸Ve,即a>|时，在区间(