离散型随机变量

第二章

随机变量及其分布

南极数学

在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.

随机试验是指满足下列三个条件的试验:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。章头图(射击运动情景)：在射击运动中，射击选手的每次射击成绩是一个非常典型的随机事件.(1)如何刻画每个选手射击的技术水平与特点？(2)如何比较两个选手的射击情况？(3)如何选择优秀运动员代表国家参加奥运会才能使得获胜的概率大？这些问题的解决需要离散型随机变量的知识.2.1.1离散型随机变量高二数学选修2-31.了解随机变量、离散型随机变量的意义，并能说明随机变量取的值所表示的随机试验的结果.（重点）2．通过本课的学习，能举出一些随机变量的例子，并能识别是离散型随机变量，还是非离散型随机变量.（难点）复习引入：1、什么是随机事件？什么是基本事件？

在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。试验的每一个可能的结果称为基本事件。2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它被称为一个随机试验。简称试验。判断下面问题是否为随机试验(1)T11次特快车到达福州站是否正点.(2)1976年唐山地震.

下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)上海国际机场候机室中2016年1月1日的旅客数量；(2)2016年某天福州至北京的D36次列车到北京站的时间；(3)2015年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)体积为1000cm3的球的半径长．练习是是是不是出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6表示.掷一枚骰子时,出现的点数如何表示?那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢?01以1和0表示正面向上和反面向上某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，可能出现的结果可能由0,

1，……10这11个数表示.问题1(1)掷一枚骰子，出现的点数用数字1，2，3，4，5，6来表示.

(2)掷一枚硬币，可能出现的结果有

种：正面向上、反面向上正面向上反面向上10但我们可以用数字1和0分别表示正面向上和反面向上.两

还可以用其他的数来表示这两个试验的结果吗？12问题2一位篮球运动员3次投罚球的得分结果可以用数字表示吗？生产一件产品合格与否，其结果也可以用数字表示吗？

任何随机试验的所有结果都可以用数字表示吗？说明：(1)任何一个随机试验的结果我们可以进行数量化；(2)同一个随机试验的结果,可以赋不同的数值.

在掷骰子、掷硬币和罚球的随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.定义1：这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(randomvariable).

在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.符号表示：常用希腊字母ξ[ksi:]，η[`eitə]；大写英文字母X，Y等表示。首页上页下页例1判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由。（1）昨天我校办公室接到的电话的个数.（2）标准大气压下，水沸腾的温度.（3）在一次比赛中，设一二三等奖，你的作品获得的奖次.（4）体积64立方米的正方体的棱长.（5）抛掷两次骰子,两次结果的和.（6）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数.解:是随机变量的有(1)(3)(5)(6)问题3在掷骰子试验中，如果我们仅关心掷出的点数是否为偶数，应该如何定义随机变量呢？Y=0，掷出奇数点1，掷出偶数点说明：在实际应用中应该选择有实际意义、尽量简单的随机变量来表示随机试验的结果.

与掷出点数X(1,2,3,4,5,6)比较，随机变量Y(0,1)的值域更小，构造更简单.随机变量和函数有类似的地方吗？

随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映为实数，而函数把实数映为实数.

实际上随机变量的概念也可以看作是函数概念的推广.

试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域.

我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域.函数随机变量自变量实数随机试验的结果因变量实数实数因变量的范围值域值域相同点都是映射函数与随机变量的异同点某次产品检验，在可能含有10件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由0，1，2，3，4这5个数表示次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随机变量.其值域是

.{0，1，2，3，4}问题4

能够通过随机变量X来研究随机事件吗？例如，{X=0}表示“抽出0件次品”；{X=1}表示“抽出1件次品”；{X=4}表示“抽出4件次品”等.你能说出{X<3}表示什么事件呢？“抽出3件以上次品”又如何用X表示呢？“抽出0或1或2件次品”{X=3或X=4}问题5

从值域的角度来看，前面所涉及的随机变量取值有什么特点？特点：随机变量所取的值可以一一列出.定义2：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量(discreterandomvariable).说明：本章研究的离散型随机变量只取有限个值.你能举出一些离散型随机变量的例子吗？离散型随机变量的一些实例：(3)1小时内到达某公共汽车站的人数；(1)在本班中任意抽取5名同学中戴眼镜的人数；(2)某人射击一次可能命中的环数.它的所有可能取值为0，1，2，…，10(共11个)它的所有可能取值为0，1，2，3，4，5(共6个)它的所有可能取值为0，1，2，….问题6

电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？X的可能取值是任何一个非负实数，而所有非负实数不能一一列出，所以X不是离散型随机变量.而称为连续型随机变量.(1)如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品；寿命在1000到1500之间的为二等品；寿命在1000小时之下的为不合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，那如何定义随机变量？X=0，灯泡为不合格品1，灯泡为合格品(2)

如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，应该如何定义随机变量？(3)

如果我们关心灯泡的使用寿命，又应该如何定义随机变量？Y=1，灯泡为一等品2，灯泡为二等品3，灯泡为不合格品定义随机变量Z为灯泡的使用寿命.在上面的问题中，所定义随机变量的规律是什么？

所定义的随机变量值应该有实际意义，所定义的随机变量取值应该和所感兴趣的结果个数形成一对一的关系.离散型随机变量可能取的值为有限个或者说能将它的可取值按一定次序一一列出，下列变量中是离散型随机变量的________．(1)下期《星光大道》节目中冠军的人数；例2(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差；(3)在泉州至福州的高速铁路线上，每隔50m有一电线铁塔，从泉州至福州的高速铁路线上将电线铁塔进行编号，其中某一电线铁塔的编号；(4)福州市闽江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化，该水位站所测水位．（1）（3）课堂练习1：见课本P45练习NO：1答：(1)能用离散型随机变量表示，可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.(2)能用离散型随机变量表示，可能的取值为0，1，2，3，4，5.(3)不能用离散型随机变量表示.1.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为，则所有可能值的个数是____

个；{

}表示

．“第一次抽1号、第二次抽3号，或者第一次抽3号、第二次抽1号，或者第一次、第二次都抽2号．92.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问:(1){ξ>4}表示的试验结果是什么?(2)P(ξ>4)=?123453、写出下列各随机变量可能的取值.（1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数

．（2）一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球数．（3）抛掷两个骰子，所得点数之和．（4）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数．（＝1、2、3、···、n、···）（＝2、3、4、···、12）（＝1、2、3、···、10）（＝0、1、2、3）4、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果

ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3,5或2,4,5或3，4，5

一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

解5、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为；(2)某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为；(3)一天内的温度为；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射手在一次射击中的得分。上述问题中的是离散型随机变量的是（）

A.(1)(2)(3)(4)B.(1)(2)(4)C.(1)(3)(4)D.(2)(3)(4)B6.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是()(A)两次出现的点数之和(B)两次掷出的最大点数(C)第一次减去第二次的点数差(D)抛掷的次数D7.下列随机试验的结果是否能用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；【引申】抛掷两枚骰子，所得点数之积；（容易多）（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（容易漏）

【归纳总结】要做到“不漏不多”12345