2023考研数学三真题模拟卷5

绝密★启用前

2023年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）

（科目代码：304）

（模拟试卷5）

考生注意事项

1.答题前，考生须在答题纸指定位置上填写考生姓名、报考单位和考生编号。

2.答案必须书写在答题纸指定的位置上，写在其他地方无效。

3.填（书）写必须使用蓝（黑）色字迹钢笔、圆珠笔或签字笔。

4.考试结束，将答题纸和试题一并装入试题袋中交回。

1

绝密*启用前

2023年全国硕士研究生入学统一考试

数学(三)试卷(模拟5)

考生注意:本试卷共二十三题，满分150分，考试时间为3小时

一、选择题：1〜8小题,每小题4分共32分在每小题给出的四个选项中,只有一个符合要求,把所选项前

的字母填在题后的括号里.

(1)设/(©在x=0的某邻域内有连续导数，/(0)=0且lim/印一广㈤=1,则有().

10yJx+\-1

(A)/(0)是/(x)的极大值(B)/(0)是一(X)的极小值

(C)/(0)不是/(x)的极小值(D)不能判别/(0)是否为/(x)的极值

(2)下列广义积分收敛的是().

(A)—；dx

1x-J1+ln2x

r+oo2X

(C)J2dx

~°°(1+x)ln(l+x)

(3)设在全平面上有0ay)<0,^U,y)>0,则保证不等式/(x,y)</(x,y)成立的条件是()

1122

(A)x}>x2fy<力•(B)x]<x2fy<%.

(c)X]>x2fy\>yi-(D)X]<x2,y]>.

(4)设平面区域。+VWl,记

22(x2+v1

/(=y)%。，/2=1j*cosxsinyd(y,/3=jj[e~-l]d(7,

则有().

(A)/j>/2>/3(B)I2>Ix>I3(C)I1>I3>I2(D)/2>/3>/j

000-1

-1000

oo,A)为元素与的代数余子式，则ftA,等于(

⑸|A,J=0-1).

i=lj=\

00-10

(A)-n(B)n(C)-M2(D)n2

(6)二次型xT-=(x+2x+ax)(x+5x+Z?x)的正惯性指数p与负惯性指数q分别是

I2331233

(A)p=2,q=\(B)p=2,q=0

(C)p=l,q=l(D)与〃303有关，不能确定。

2

0,x<1

2

⑺设x与y相互独立,X的分布函数为尸(x)=<w，14x<2,且丫t/（-l,2）（均匀分布），则概率

1,x>2

尸{xy>i}=().

1、11、7

(A)-(B)_(C)—(D)_

231818

(8)设二维随机变量(XI)服从N(〃，〃，则Cov,X+1,5')=(

).

1--------

44213)

1111

(A)--(B)(C)_(D)_

2412242

二、填空题:9〜14小题每小题4分共24分把答案填在题中的横线上.

|x=arctanr-z,

⑼设,叱则也=.

（10）设=「tan"xdx,则+.

0n—>oo

（11）设〃=e"yz2,其中z=z（冗,y）是由方程无+y+z+孙z=0确定的隐函数，则一=

dxx=o

产i

（12）设级数X。。一1）”在点九=3处绝对收敛，设级数£（一1）"。2"条件收敛，则级数艺。（x+1）”的

nnn

n=0n=0n=0

收敛域为.

a

（13）普A是〃阶矩阵，么,是〃维列向量，a,8c是数，已知|4=a，=0,贝!

b

（14）设总体X的概率密度函数为f（x）=Ae"+2,函数，且XpX2…,X”为的X简单随机样本，样本

均值又=与'X,,贝历差。（又）=.

〃,=|

三、解答题：15〜23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）设l<a<b,直线y=px+q是曲线y=lnx在某点的切线，求使得积分

（p元+q-lnx）dx取得最小值的p,q值.

3

(16)(本题满分10分)设某商品的需求函数为。(〃)其中p为商品的价格，若需求价格弹性"=-2p,

且市场的最大需求量为Q,祖求(1)需求函数。(p)；(n)价格为多少时，该商品的收益达到最大(商

品处在卖方市场).

(17)(本题满分10分)设/(f)=JJ|肛—rg其中。={(x,y)11,O<y<1}。(I)

求/(/)的初等函数表达式；(II)证明：存在fow［O,l］，使得/Qo)是/⑺在(0,1)内唯一的最小点.

2x00(n+l)(»+2)

(18)(本题满分10分)将函数/(x)=-----展开成x的辱级数，且求Z——前1——的和.

(1一x)n=l2

(19)(本题满分10分)设偶函数/(x)在［一1,1］上二阶可导，且/(一1)/(0)>0,/(0)/()〈O,证明:

(I)存在Je(0,l)使得尸0=0；(II)存在〃G(0,1)使得/(〃)=24'(〃).

(20)(本题满分11分)设4为三阶矩阵，叫，a2,as是三维线性无关的特征向量组，且

A%=%+3a2，Aa2=5%-a2，Aa3=%-%+4%(I)求矩阵A的特征值；(II)求可逆Q,使得4。为

对角阵.

(21)(本题满分11分)设A,x.为实矩阵，A’是A的转置矩阵，证明：

(I)4%=0与474％=0同解；(II)AvAx^A'b(其中人为任意〃维列向量)恒有解.

(22)(本题满分11分)设随机变量。，匕W相互独立，且均服从N(〃，3,令随机变量

2

X=U-V,Y=V-W,试求：(I)求x,y的相关性；(ID求x,y的概率密度函数与(x,y)的联合概

率密度函数；(III)X与U的独立性，给出理由.

(23)(本题满分11分)设总体X的分布函数为尸(x；1)，x