2023-2024学年天津市朱唐庄中学高三上学期10月月考数学试题及答案

天津市朱唐庄中学2023-2024学年度第一次检测高三数学本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择（每题5分，共60分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）2,3,4,5,6，A13,5,B4,5，则AðBU1.已知，U（）5A.3B.D.4,64,6C.，，3x2，则（ABC）A3B4CxRx22.设集合0,3,431,2C.1,3A.3.已知全集B.D.5x6Zx2x0UxZx2AxB2,3，集合，则集合，集合（）ðABU31,2A.B.D.1,0,3,4,5,64,5,6C.4.已知p：0x2，q：1x3，则p是q的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充要也不必要条件5.已知a0，命题p:x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，命题q:abc0p，则是q的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件x52x6.设xR，则“0”是“x14”的（）A.充分不必要条件C充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件x127.下列可能是函数y的图象的是（）e|x|第1页/共5页A.B.D.C.x128.函数fx的大致图象为（）xA.B.D.C.9.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”yfx的部分图象如图所示.则在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数yfx的解析式可能是（）1xxyxxyyD.ysinxxxA.B.C.exexxclog1210.设a，blog32，c，则、、的大小关系为（）ab3A.abcB.bacC.cabD.bca1113,c，则a,b,c11.设alog3b的大小关系为（）34A.abcC.B.D.cba第2页/共5页12.已知函数是定义在R上的偶函数，且在fx上单调递减，若f(log20.2)a，bf(2)，cf(0.2)则a，b，大小关系为（c）AabcB.c<a<bD.bacC.acb第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，共30分）1113.已知i是虚数单位，化简的结果为______．13i1zz14.复数（其中i为=___________.2i15.已知复数z,z为z的共轭复数，则的虚部为___________.z2i162x3x4________．16.在的展开式中，的系数是xn2x17.若x展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为______.n2x18.已知x3的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．2三、解答题（每题15分，共60分）πAbc219.在中，内角，B，C所对的边分别为，，，b27，ac，B．3a（1）求的值；（2）求sinA的值；sinB2A的值．（3）求3Ab2csinAbsinC，.20.在中，角、B、C所对的边分别为、、.已知cac2，C4（1）求b的值；（2）求sinA的值；π6sin2A（3）求的值ABCDPA//DQPAAD33，点E21.已知底面ABCD是正方形，PA平面，，、F分别为第3页/共5页线段PB、CQ的中点．//平面；（1）求证：（2）求直线EF与平面（3）求点F到面PAC的距离夹角的正弦值；22.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCD,AB∥，且CDAB1，BC22,PAABBC,N为PD的中点.（1）求平面PAD与平面所成锐二面角的余弦值；（2）求点N到直线BC的距离26（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面所成角的正弦值为，若存在，求出26DM的值；若不存在，说明理由.DP第4页/共5页天津市朱唐庄中学2023-2024学年度第一次检测高三数学本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交.第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择（每题5分，共60分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上）2,3,4,5,6，A13,5,B4,5，则AðBU1.已知，U（）5A.3B.D.4,64,6C.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交并补运算即可求解.ðB6,所以ABðU3，【详解】U故选：A，，3x2，则（ABC）A3B4CxRx22设集合31,2C.1,3D.0,3,4A.B.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次不等式化简C,进而由集合的交并补运算即可求解.A3B4CxRx23x20xx2x1或【详解】，由得,所以ABC0,3,4，AB2,3,4故选：D3.已知全集5x6Zx2x0UxZx2AxB2,3，集合，则集合，集合（）ðABU1,23A.B.1,0,3,4,5,64,5,6D.C.第1页/共15页【答案】D【解析】【分析】求出集合U、A，利用并集和补集的定义可求得集合UðAB.UxZx25x60xZ1x62,3,4,5,6，【详解】因为AxZx2x0xZ0x22，B2,3，所以AB3，又因为所以ðAB4,5,6．U故选：D.4.已知p：0x2，q：A.充分而不必要条件【答案】A1x3，则p是q的（）B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充要也不必要条件【解析】【分析】画出数轴，结合小范围可以推出大范围即可求得结果.【详解】如图所示，所以pq，qp，故p是q的充分不必要条件.故选：A.5.已知a0，命题p:x1是一元二次方程ax2bxc0的一个根，命题q:abc0p，则是q的（）A.充分不必要条件C.充分必要条件【答案】CB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】根据充分、必要性的定义判断命题间的推出关系，即可得答案.px1为方程的根，则abc0，充分性成立；【详解】对于命题，q对于命题，abc0且a0，则x1必是题设方程的一个根，必要性成立；qp所以是的充分必要条件.故选：C第2页/共15页x52x6.设xR，则“0”是“x14”的（）A.充分不必要条件C.充要条件【答案】AB.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】x52x【分析】首先解出不等式0和x14，根据两个不等式的解集即可得出答案．x50(x5)(2x)0，【详解】由，得2x2x5解得；x144x14，得3x5由，得2x5时，一定可以推出3x5，因为当而当3x5时，不能推出x52x5。0x14”的充分不必要条件，所以“”是“2x故选：A．x217.下列可能是函数y的图象的是（）e|x|A.B.D.C.【答案】C【解析】【分析】根据函数定义域和特殊值可排除ABD.3【详解】函数定义域为R，排除选项AB，当x2时，y0，排除选项D，e2故选：C.x128.函数fx的大致图象为（）x第3页/共15页A.C.B.D.【答案】D【解析】【分析】利用函数的奇偶性和单调性进行判断，可得到答案.x12【详解】因为fx，xx21x21所以f(x)，fxxx又因为函数定义域为xx0，fx所以函数为奇函数，故A选项错误，fxx211x又因为当x1时，fx，函数单调递增，故B和C选项错误.xx故选：D9.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”yfx的部分图象如图所示.则在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数yfx的解析式可能是（）1xxyxxyyD.ysinxxxA.B.C.exexx【答案】A【解析】第4页/共15页yfx的图象关于原点对称排除部分选项，再由x0x，π【分析】根据【详解】解：x0时的函数值判断.fx是奇函数，排除B；yfx的图象关于原点对称，则y0当当时，时，，排除C；fxxπ，排除fx0D；故选：Aclog1210.设a，blog32，c，则、、的大小关系为（）ab3A.abc【答案】A【解析】B.bacC.cabD.bcaabc【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.c2101，01b231【详解】因为a30，，1313333因此，abc.故选：A.1311,c，则a,b,c11.设alog3b的大小关系为（）34A.abcC.【答案】C【解析】B.D.cba【分析】利用指数函数以及对数函数的单调性，即可判断出答案.a431【详解】由题意得，33111313,c4，b31311314,)由于y3x为(上的单调增函数，故bc31，33故，故选：C12.已知函数是定义在R上的偶函数，且在fx上单调递减，若af(log20.2)，bf(2)，第5页/共15页cf(0.2)则a，b，大小关系为（c）A.abcC.acb【答案】A【解析】B.c<a<bD.bac【分析】根据指数幂，对数的运算法则进行比较大小，利用函数的奇偶性和单调性进行转化求解即可.1log20.2log2log25【详解】，5因为是定义在R上的偶函数，fxaf0.2)f(f所以因为，222542，12020.2212，00.20.30.21，022且在上单调递减，fxf(log2f(20.2)f(0.20.3)所以，即abc.故选：A.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，共30分）1113.已知i是虚数单位，化简的结果为______．1【答案】1##1【解析】【分析】利用复数除法化简复数即可.112i)51.【详解】12i)5故答案为：13i1zz（其中i=___________.14.复数【答案】2【解析】【分析】先化简复数z，求出z可得答案.第6页/共15页3i3i111117iz【详解】因为，517ziz，1492.所以552525故答案为：2.2i2i15.已知复数z,z为z的共轭复数，则的虚部为___________.z2222【答案】【解析】##33【分析】根据复数的运算以及共轭复数的定义即可求解.2i2i2i122i，z【详解】由2i2i2i33122z223z则的共轭复数i，则的虚部为z.3322故答案为：3162x3x4________．16.在的展开式中，的系数是x【答案】【解析】【分析】利用二项式展开式的通项公式，令x的指数等于4，计算展开式中含有x4项的系数即可.r176r18rr2,3,4,5,62，【详解】由题意得：TC6r2x3C6r26rx，r1x72只需r4，可得r4，TC6422x460x4所以，5故答案为：.n2x17.若x展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为______.第7页/共15页【答案】15【解析】n6【分析】根据二项式系数和得到，再计算第三项的二项式系数即可.64，故n62n【详解】x展开式的二项式系数和为2n，x展开式中第三项的二项式系数为C2615.故答案为：15.n2x18.已知x3的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为______．2【答案】80【解析】n【分析】根据题意，由各项系数之和可得，再由二项式展开式的通项公式即可得到结果.243，解得n5，【详解】由题意，令x1，则3nnr22x5r则2155r，xx3的展开式第r1项r1Cr5x32rCr5x2令155r0，解得r3，所以C352310880.故答案为：80三、解答题（每题15分，共60分）πAbc219.在中，内角，B，C所对的边分别为，，，b27，ac，B．3a（1）求的值；（2）求sinA的值；sinB2A的值．（3）求【答案】（1）a63（2）sinA53（3）14【解析】1）由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理计算可得；第8页/共15页（3）由余弦定理求出【小问1详解】cosA，即可求出cos2A、sin2A，再由两角差的正弦公式计算可得.由余弦定理知，b2a2c22acB，1228a242a2a0，2所以，即a解得a6或4a6．【小问2详解】ab由正弦定理知，，sinAsinB627所以sinA3，23所以sinA．【小问3详解】由余弦定理知，Ab2c2a22843622727，bc14133314cos2A2cos2A1所以，sin2A2sinAA，14所以sin(B2)sinB2ABsin2A313133145314.214234Ab2，C所对的边分别为、、.已知c2csinAbsinC.20.在中，角、B、Cac，（1）求b的值；（2）求sinA的值；π6sin2A（3）求的值【答案】（1）b214（2）8第9页/共15页5219（3）32【解析】1ab1）根据正弦定理得到，代入余弦定理计算得到答案.27（2）计算sinC，a1，再根据正弦定理计算即可.4571692A，再根据和差公式计算得到答案.（3）确定sin2A，16【小问1详解】12π2csinAbsinC2asinCbsinC，C，sinC0ab，，则，故132b2b2b2，解得b2或b2（舍去）.c2a2b22abC，即44故b2.【小问2详解】37C，Cπ，则sinC1C2，44711ab1，则asinC14.84sinA2c2【小问3详解】528abA1sinA2，故A为锐角，则，5792A22A1则sin2A2sinAA，，1616π631357195219sin2Asin2A2A.2221621632ABCDPA//DQPAAD33，点E21.已知底面ABCD是正方形，PA平面，，、F分别为线段PB、CQ的中点．第10页/共15页//平面；（1）求证：（2）求直线EF与平面夹角的正弦值；（3）求点F到面PAC的距离【答案】（1）证明见详解；335（2）（3）；70324.【解析】1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行即可；（2）利用空间向量求线面角即可；（3）利用空间向量研究点面距离即可.【小问1详解】根据PA平面ABCD，AB,ABCD平面，所以PAAB,PAAD,ABCD,又底面是正方形，则第11页/共15页、、z可以建立如图所示以A为原点，AB、、AP所在直线对应轴的空间直角坐标系，33312222则B3,0,0,C3,3,0,D0,3,0,Q,P0,3,E,0,,F,，EF1,AB0所以，易知是平面的一个法向量，而EFAB0，平面，//；所以平面【小问2详解】3,1由（1）知，nPC0nx,y,z设平面的一个法向量为，则有，n03x3y3z0x1zy22,3n所以，令，即，3xz0n33570设直线EF与平面夹角为，所以sin；n【小问3详解】31BD3,3,0,CF,0,由（1）知，显然是平面的一个法向量，22BDCFBD32d则点F到面PAC的距离为.422.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCD,AB∥，且CDAB1，BC22,PAABBC,N为PD的中点.（1）求平面PAD与平面所成锐二面角的余弦值；第12页/共15页（2）求点N到直线BC的距离26（3）在线段PD上是否存在一点M，使得直线