2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）：统计（原卷版）

专题14统计

【母题来源】2022年新高考I卷

【母题题文】

一支医疗团队研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯但生习惯分为良好和不够良好两类川勺关

系，在已患该疾病的病例中随机调查了70。例怫为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100

人储为对照组)，得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

⑺能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异•

(⑷从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患

有该疾病”，口丝丝与乙功的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指

P(B[A)P(B/A)

标为R

心证明：R=S.还；

P(A]B)P(A/B)

侦)利用该调查数据，给出p(A/瓦的估计值，并利用。的结果给出R的估计值.

附：=n-d-bc产

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

PCK2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【母题来源】2022年新高考H卷

【母题题文】

在某地区进行某种疾病调查，随机调查了700位这种疾病患者的年龄，得到如下样

本数据频率分布直方图.

频率/组距

估计该地区这种疾病患者的平均年龄；冏一组数据用该区间的中点值作代表）

（力估计该地区以为这种疾病患者年龄位于区间70的概率；

㈤已知该地区这种疾病患者的患病率为该地区年龄位于区间的人口数占该地区总人口数的

16%,从该地区选出7人，若此人的年龄位于区间求此人患这种疾病的概率微确到。0007人

【命题意图】

1.考察频率分布直方图.

2.独立检验和条件概率.

3.考察平均数等数据计算。

【命题方向】

考察古典该系与频率分布表、频率分布直方图、回归分析、独立性检验、茎叶图等知识点.考察阅读理解

能力，数据处理能力，数据分析计算能力，考察数学建模,逻辑推导.

【得分要点】

一、独立性检验

设48为两个变量，每一个变量都可以取两个值,

变量Z：A\,Az-'i；变量B：B\,Bz=Bi；

2x2列联表：

XBiBi总计

A\aba+b

A2cdc+d

总计a+cb+dn=a+b+c+d

n(ad-6c/

构造一个随机变量烂=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

利用随机变量/2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.

当炉W2.706时，没有充分的证据判定变量48有关联；

当12>2.706时，有90%的把握判定变量/,8有关联；

当户3.841时，有95%的把握判定变量力，8有关联；

当将6.635吐有99%的把握判定变量/,8有关联.

二、样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差

(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.

(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数.

在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即X='X|+X2+…+X)

n

(4)标准差与方差：设一组数据XI,X2,X3,…，X”的平均数为X,则这组数据的标准差和方差分别是

X2X2X2

s=-)+(X2-)4----+(XW-)],

S2=-[(Xl-X)2+(X2-X)2+…+-X)2]

n

标准差是反映总体波动大小的特征数，样本方差是标准差的平方.通常用样本方差估计总体方差，当样本

容量接近总体容量时，样本方差很接近总体方差.

⑸标准差和方差的一些结论

若取值Xl,X2,X〃的频率分别为pi,02,…,Pn,则其平均值为Xl"+X纨2+…+»/”；若孙。2,…,

X〃的平均数为X,方差为则4X1+b,aX2+bt•••,办”+6的平均数为。X+6,方差为42s2.

1.(2022•河北石家庄•二模)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运

会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知

识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥・法治

同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类

趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计

30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民,

将他们的作答成绩分成6组：[0[0),U0,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60].并绘制了如图所示的频率分布直

方图.

(1)请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；

(2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情

况.记A名市民的成绩在［40,60］的概率为P(X=k),k=0,\,2，…,20.请估计这20名市民的作答成绩在［40,60］

的人数为多少时尸(矛=外最大？并说明理由.

2.(2022•福建南平•三模)南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权.为进一步提升第十

七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对

参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图

所示的频率分布直方图.

(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布11.52),〃近似为这100人测试

成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),

①求〃的值；

②利用该正态分布，求P(75.5<Xs87)；

(2)在(1)的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于〃的可以获

赠2次随机话费，测试成绩低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额(元)1030

3J_

概率

44

今在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为孑(单位：元)，试根据样本估计总

体的思想，求，的分布列与数学期望.

参考数据与公式：若X〜则尸(〃-O<XV〃+O)=0.6826,尸(〃-2c<Xw〃+2c)=0.9544,

P(〃-3"Xv〃+3c)=0.9974.

3.(2022•山东济宁•二模)为研究某种疫苗/的效果，现对100名志愿者进行了实验，得到如下数据:

未感染病毒B感染病毒8合计

接种疫苗”401050

未接种疫苗N203050

合计6040100

(1)根据小概率值a=0.001的独立性检验，分析疫苗Z是否有效？

(2)现从接种疫苗/的50名志愿者中按分层随机抽样方法(各层按比例分配)取出10人，再从这10人中随

机抽取3人，求这3人中感染病毒B的人数X的分布列和数学期望.

n^ad—bc)~

参考公式：/=其中n=a+b+c+d.

(“+b)(c+4(“+c)(6+4)

参考数据：P(/>10.828)=0.001

4.(2022・湖北•华中师大一附中模拟预测)某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外

卖，健康饮食”的口号.当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在某学期期末,

校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对其评分,

满分为100分.随后整理评分数据，将得分分成5组：第1组［50,60),第2组［60,70),第3组［70,80),

第4组［80,90),第5组［90,100］,得到频率分布直方图如图.

频率

(1)求图中”的值；若要在平均数和众数中选用一个量代表学生对本校食堂的评分情况，哪一个量比较合适,

并简述理由；

(2)以频率估计概率，现从学校所有学生中中随机抽取18名，调查其对本校食堂的用餐满意度，记随机变

量X为这18名学生中评分在［50,70］的人数，请估计这18名学生的评分在［50,70］最有可能为多少人？

5.（2022•湖南衡阳•二模）随着近期我国不断走向转型化进程以及社会就业压力的不断加剧，创业逐渐成为

在校大学生和毕业大学生的一种职业选择方式.但创业过程中可能会遇到风险，有些风险是可以控制的，有

些风险不可控制的，某地政府为鼓励大学生创业，制定了一系列优惠政策：已知创业项目甲成功的概率为：，

项目成功后可获得政府奖金20万元：创业项目乙成功的概率为兄（0<[<1）,项目成功后可获得政府奖金

30万元：项目没有成功则没有奖励，每个项目有且只有一次实施机会，两个项目的实施是否成功互不影响,

项目成功后当地政府兑现奖励.

（1）大学毕业生张某选择创业项目甲，毕业生李某选择创业项目乙，记他们获得的奖金累计为X（单位：万

元），若XW30的概率为《，求兄的大小：

（2）若两位大学毕业生都选择创业项目甲或创业项目乙进行创业，问：他们选择何种创业项目，累计得到的

奖金的数学期望最大？

6.（2022•广东广州•二模）某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与,

体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作

为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表

成绩等级优良合格不合格

频数711411

（1）从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X,求

P（X=1）；

（2）将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优

或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能

完成活动的每名学生得。分.这3名学生所得总分记为匕求丫的数学期望.

7.（2022•江苏・南京市天印高级中学模拟预测）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教

师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分.已知某市2021年

共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取100人的笔试成绩（满分视为100

分）作为样本，整理得到如下频数分布表：

笔试成绩X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

人数5153530105

（1）假定笔试成绩不低于90分为优秀，若从上述样本中笔试成绩不低于80分的考生里随机抽取2人，求至

少有1人笔试成绩为优秀的概率；

（2）由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩X近似服从正态分布其中〃近似为100名样本

考生笔试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），<52=180,据此估计该市全体考生中

笔试成绩不低于82.4的人数（结果四舍五人精确到个位）；

(3)考生甲为提升综合素养报名参加了某拓展知识竞赛，该竞赛要回答3道题，前两题是哲学知识，每道题

答对得3分，答错得0分；最后一题是心理学知识，答对得4分，答错得0分.已知考生甲答对前两题的

概率都是g,答对最后一题的概率为:，且每道题答对与否相互独立，求考生甲的总得分丫的分布列及数

学期望.(参考数据：7180=13.4;若X~N(〃Q2),则尸(〃*+*0.6827,

尸(〃一2<5vX<〃+2<5)=0.9545,P(〃-3<5<Xv〃+3<5)=0.9973.)

8.(2022•辽宁锦州•一模)某市为了解某年十一期间市民旅游出行的方式及满意程度，对去该市甲、乙、丙三

个景点旅游的市民进行了调查.现从中随机抽取100人作为样本，得到如下统计表(单位：人)：

满意度得分甲乙丙

报团游自驾游报团游自驾游报团游自驾游

10分1211210714

5分414449

0分107217

合/p>

(1)从样本中任取1人，求这人没去丙景点的概率；

(2)根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.针对甲、乙、丙三个景点，从全市十一期间旅

游出行选自驾游的所有人中，随机选取3人，记X为去乙景点的人数，求X的分布列和数学期望；

(3)如果王某要去甲、乙、丙三个景点旅游，那么以满意度得分的均值为依据，你建议王某是报团游还是自驾

游？说明理由.

9.(2022・海南・嘉积中学模拟预测)2020年10月16日，是第40个世界粮食日.中国工程院院士袁隆平海水

稻团队迎来了海水稻的测产收割，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入.

某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标

值为G[70,100]),其质量指标等级划分如表：

质量指标值优[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,100]

质量指标等级良好优秀良好合格废品

为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了1000

件，将其质量指标值机的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件a求

事件/发生的概率；

（2）若每件产品的质量指标值，"