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PAGE4习题课十五一．选择题1.若级数，则级数（A）（A）；（B）；（C）；（D）发散。解：收敛，也收敛，且，，故。2．下列级数中收敛的级数是（）（A）；（B）；（C）；（D）。解：∵，而收敛，∴收敛。3．设，则级数（）（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）敛散性与有关。解：∵，而收敛，∴收敛，从而收敛，又∵发散，∴发散。4．（C）（A）绝对收敛；（B）条件收敛；（C）发散；（D）不能确定其敛散性。解：∵，∴发散，从而，故发散。二．填空题1．设常数，则当满足条件时，级数收敛。解：∵当时，～，而当，即时收敛，∴故当时收敛。2．设，且，则。解：设与的部分和分别为与，∵收敛，∴设。∵，∴，∵，∴。三．判别下列级数的敛散性1．解法1（比较法）：∵，而收敛，∴收敛。解法2（根值法）：∵，，∴，故收敛。解法3（利用级数的性质）：∵，而、均收敛，∴收敛。2.解：，∵，而收敛，∴收敛，从而收敛。3．解：∵，∴发散。注：∵，∴本题不能用根值法判定，必然不能用比值法判定。4．解法1（比值法）：∵，∴收敛。解法2（根值法）：∵，∴收敛。5．解：，∵当时，～，～～，∴～，显然此级数为负项级数。∵，而收敛，∴收敛。四．解答题1.讨论级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛。解：设，则，∵，∴当，收敛；当，发散。从而当，绝对收敛；当，发散。当，，∵，而发散，∴发散。∵，且，∴收敛，故当，绝对收敛；当，发散；当，条件收敛。2.常数，级数是（1）发散；（2）条件收敛；（3）绝对收敛。分析：设，。，∵，∴发散。，，但不能确定是否收敛。为此用比较判别法：，显然，当时，收敛，从而绝对收敛。综上可知，要分，，三种情况进行讨论。解：设，，（1），∵，∴，发散。（2），取，则有，而收敛，∴收敛，故绝对收敛。（3），∵，而发散，∴发散。设，，当，，∴，从而，且，故由莱布尼兹判别法知条件收敛。综上讨论可知，当时发散；条件收敛；绝对收敛。五．证明题1．设级数收敛，且绝对收敛，试证绝对收敛。证明：设收敛于，则，其中，∵，∴，从而，，有。又∵，而绝对收敛，即收敛，∴收敛，即绝对收敛。2．设函数有定义，在某邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛。证法1：∵在某邻域内连续，∴在，又∵，∴，。公式为，∵在某邻域内连续，∴，使得，从而当，有。而收敛，∴绝对收敛。证法2：∵在某邻域内连续，∴在，又∵，∴，。用洛必达法则有，∵存在，∴存在，而收敛，∴绝对收敛。3．设级数收敛，且正项级数收敛，证明级数收敛。证明：收敛，∵，∴，从而，，。∵正项级数，∴当n充分

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