全国中学生数学竞赛初赛试题选

PAGE初赛试卷姓名1.若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是A.正数 B.非正数 C.非负数 D.负数2．已知(a+b)2=8，(a-b)2=12，则ab的值为A．1 B．-1 C．4 D．3．若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限4．已知20102011-20102009=2010x×2009×2011，那么x的值是A．2008 B．2009 C．2010 D．5．在平面上，如果点A和点B到点C的距离分别为3和4，那么A、B两点的距离d应该是A.d=1 B.d=5 C.d=7 D.1≤d≤76.如图4，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使BAC图4FED点A与点D重合，BAC图4FEDA． B． C． D．7．是一个等腰直角三角形，是其内接正方形，是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（）．、；、；、；、．8。设，且函数与有相同的最小值；函数与有相同的最大值；则的值().、必为正数；、必为负数；、必为；、符号不能确定．第9题图9．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，BC=5，将腰DC绕点D的逆时针方向旋转90°至DE，连结AE，则△ADE的面积是（）第9题图A．1B．2C．3D．410．若关于的方程没有实根，那么，必有实根的方程是（）．；；；．二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）11规定任意两个实数对（a，b）和（c，d）：当且仅当a=c且b=d时，（a，b）=（c，d）.定义运算“”：（a，b）（c，d）=(ac－bd，ad+bc).若（1，2）(p,q)=(5,0)，则p+q=______________.12．已知点P在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O为坐标原点，∠QPO=150°，且P到Q的距离为2，则Q的坐标为．13．若不论自变量x取何实数时，二次函数y=2x2－2kx+m的函数值总是正数，且关于x的一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.当k为符合条件的最大整数时，m的取值范围为______________.第14题图14．如图，“L”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF的长为第14题图15．设c＜b＜0＜a，a+b+c=1，，，，则M,N,P之间的关系是．16．如图5，已知矩形ABCD，AB=2，BC=3，MB=MC，则点D到AM的距离为．17．如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B:∠A=1:2，M、N分别是AD、BC的中点，P是直线MN上的一点，则PC+PD的最小值为．CCBDA图5MCBDA图6MNPCBDA图7PQ18．如图7，在平行四边形ABCD中，P为BC上任一点，连结DP并延长交AB延长线于Q，则=．、19．单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为.20．圆内接四边形的四条边长顺次为：，则四边形的面积为.三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)CBDA图8P18．如图8，△ABC是边长为1的等边三角形，P是AB边上的一个动点（P与B不重合），以线段CP为边作等边△CPD（D、CBDA图8P（1）判断四边形ABCD的形状，并给予证明；（2）设BP=x，△PAD的面积为y，求出y关于x的函数关系式，并求出△PAD面积的最大值及取得最大值时x的值．19．如图，PQ=10，以PQ为直径的圆与一个以20为半径的O内切于点P，与正方形ABCD切于点Q，其中A、B两点在⊙O上.若AB=m+,其中m、n是整数，求m+n的值.··ABDCOPQ20．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转.旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交轴于点N(如图).（1