高中数学难点突破-难点28-求空间距离

难点28关于求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.●难点磁场(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.●案例探究［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后∠EOF的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－a,0),B(a,0,0),C(0,a,0),D(0,0,a),E(0,－a,a),F(a,a,0)∴∠EOF=120°［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB1C∴O1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在Rt△OO1B1中，∵O1B1=，OO1=1，∴OB1==∴O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MN⊥AB1于N，作MR⊥A1B1于R，连结RN，∵平面A1B1C1D1⊥平面A1ABB1，∴MR⊥平面A1ABB1，MR⊥AB1∵AB1⊥RN，设A1R=x,则RB1=1－x∵∠C1A1B1=∠AB1A1=45°，∴MR=x,RN=NB1=(0＜x＜1∴当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.连结QE，∵QA⊥平面ABCD，由三垂线定理得QE⊥BE∴QE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,∴AE=在Rt△QAE中，QA=PA=c∴QE=∴Q到BD距离为.(2)解法一：∵平面BQD经过线段PA的中点，∴P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在△AQE中，作AH⊥QE，H为垂足∵BD⊥AE,BD⊥QE,∴BD⊥平面AQE∴BD⊥AH∴AH⊥平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在Rt△AQE中，∵AQ=c,AE=∴AH=∴P到平面BD的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VA—BQD=VQ—ABD,得S△BQD·h=S△ABD·AQh=歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MM′⊥EF,则MM′⊥平面BCF∵∠MBE=∠MBC∴BM′为∠EBC为角平分线，∴∠EBM′=45°,BM′=,从而MN=答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CD⊥l于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,Rt△C1CD中易求得C1D==2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,∴PQ⊥AB,同理可得PQ⊥CD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在Rt△APQ中，PQ=a答案：a4.解析：显然∠FAD是二面角E—AB—C的平面角，∠FAD=30°,过F作FG⊥平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF∥平面ABCD.∴FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.答案：三、5.(1)证明：由于BC1∥AD1，则BC1∥平面ACD1同理，A1B∥平面ACD1，则平面A1BC1∥平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则S·d=·BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，∵底面ABCD是正方形∴DO⊥AC，又ED⊥面ABCD∴EO⊥AC，即∠EOD=45°又DO=a，AC=a，EO==a，∴S△EAC=a(2)∵A1A⊥底面ABCD，∴A1A⊥AC，又A1A⊥A1B1∴A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EO∥BD1，O为BD中点，∴D1B=2EO=2a∴D1D=a，∴A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D⊥面EAC∴B1Q是三棱锥B1—EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1∴BB1⊥平面A1EF即面A1EF⊥面BB1C1C在Rt△A1EB1中，∵∠A1B1E=45°，A1B1=a∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a同理A1F=a,又EF=a∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离∴A1N=又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为∴a=2，∴所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N∴B1C1⊥平面ADD1A1∴BC⊥平面ADD1A1得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.8.解：(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AE⊥PB，又AE⊥BC∴AE⊥平面PBC，AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a∴AE=a(2)作CM∥AB，由已知cosADC=∴tanADC=,即CM=DM∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PC⊥CF取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F.

［学法指导］立体几何中的策略思想及方法立体几何中的策略思想及方法近年来，高考对立体几何的考查仍然注重于空间观点的建立和空间想象能力的培养.题目起点低，步步升高，给不同层次的学生有发挥能力的余地.大题综合性强，有几何组合体中深层次考查空间的线面关系.因此，高考复习应在抓好基本概念、定理、表述语言的基础上，以总结空间线面关系在几何体中的确定方法入手，突出数学思想方法在解题中的指导作用，并积极探寻解答各类立体几何问题的有效的策略思想及方法.一、领悟解题的基本策略思想高考改革稳中有变.运用基本数学思想如转化，类比，函数观点仍是考查中心，选择好典型例题，在基本数学思想指导下，归纳一套合乎一般思维规律的解题模式是受学生欢迎的，学生通过熟练运用，逐步内化为自己的经验，解决一般基本数学问题就会自然流畅.二、探寻立体几何图形中的基面立体几何图形必须借助面的衬托，点、线、面的位置关系才能显露地“立”起来.在具体的问题中，证明和计算经常依附于某种特殊的辅助平面即基面.这个辅助平面的获取正是解题的关键所在，通过对这个平面的截得，延展或构造，纲举目张，