电动力学课件

第二章第三节分离变量法SeparationofVariables§2.3拉普拉斯方程的解

——分离变量法、分离变量法的适用条件四、例题三、解题步骤二、拉普拉斯方程的解在球标系中的形式五、拉普拉斯方程的解在其它标系中的形式1、空间，自由电荷只分布在某些介质（或导体）表面上，将这些表面视为区域边界，可用拉普拉斯方程。一、分离变量法的适用条件2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求自由电荷分布产生的势为已知。处理方法：区域V中电势可表示为两部分的和，即，为已知自由电荷产生的电势，不满足，为束缚电荷产生的电势，满足拉普拉斯方程但注意，边值关系还要用

而不能用——缔合勒让德函数（连带勒让德函数）2.电势具有轴对称性，通解为

-----勒让德函数二、拉普拉斯方程在球坐标系中解的形式1.一般情况三．解题步骤根据边界条件和边值关系确定通解中的常数确定求解区域、选择坐标系和电势零点坐标系选择主要根据区域中分界面形状，电势零点主要根据电荷分布是有限还是无限；分析对称性、分区写出拉普拉斯方程的通解；（1）边界条件：

电荷分布有限

3.具有球对称性电荷分布无限，电势参考点一般选在有限区。如均匀场中，常数导体的边界面上（2）边值关系：介质分界面上一般讨论分界面无自由电荷的情况1．一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q，同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1<R2），使这个导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷。四、例题R1R3R2球壳内

球壳外R1R3R2III电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以解：讨论区域：球外（I）和球内（II）.选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区域，选择无穷远为电势零点。根据边界条件和边值关系①

（1）②（2）③（3）（4）联立（2）、（3）和（4）得（5）其中所以导体球上的感应电荷为例2.电容率为的介质球置于均匀外电场E0中，求电势.E0R0III解：讨论区域：球外（I）和球内（II）.选择球坐标系，原点在球心，z轴沿E0方向。考虑电荷分布在无限区域，选择坐标原点为电势零点。由于电势在球外和球内都满足拉普拉斯方程，且电势具有轴对称性，所以电势的通解为：考虑到有限，可以得到由边值关系：介质球面上可以解出：所以电势为所以球内的电场为由于，球内的场比球外场弱，这是由于这是由于介质球束缚电荷产生的电场与原电场的方向相反，使得球内的总场比原来的电场弱。由于可见，介质球内的极化为均匀极化。解：讨论区域：球外.选择球坐标系，原点在球心，z轴沿外电场方向。考虑电荷分布在无限区域，选择坐标原点为电势零点。由于电势满足拉普拉斯方程，所以电势的通解为：考虑到可以得到导体球面上可以解出：所以导体球上电荷的面密度为球外电势为例4：均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为，球外为真空，试用分离变数法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。(p.71习题3)解：讨论区域：球外（I）和球内（II）.选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区域，选择无穷远处为电势零点。1.使用高斯定理得球内外的电场为由此得球外的电势为：球内的电势为：2.使用分离变法求解由于求解空间存在着自由电荷，故不能直接使用拉普拉斯方程求解。为此把自由电荷产生的势和束缚电荷产生的势分开。自由电荷在介质中产生的势为周围极化电荷产生的电势自由电荷在真空中产生的电势介质球表面束缚电荷产生的势满足拉普拉斯方程束缚电荷在球上均匀分布，场有球对称性，所以根据边界条件①

②①由边值关系②把它带入上式得与高斯定理计算结果完全一致！R0z例5．均匀介质球（介电常数为）的中心置一自由电偶极子，球外充满另一种介质（介电常数为），求空间各点电势和束缚电荷分布。(p.71习题4)解：讨论区域：球内（I）和球外（II）.选择球坐标系，原点在球心。考虑电荷分布在有限区域，选择无穷远处为电势零点。由于求解空间存在着自由电荷，故不能直接使用拉普拉斯方程求解。为此把总电势看成自由电偶极子产生的势和两介质分界面束缚电荷产生电势的和。自由偶极子在介质中产生的电势分界面上束缚电荷具有轴对称性，选择球坐标系的z轴沿的方向，此束缚电荷产生电势的通解为根据边界条件①

②①由边值关系②联立（1）、（2）和（3）式得由此得到电势分布为由于极化产生的束缚电荷在两处存在:

在球心处

在球面处

在球心处的极化产生极化偶极子球面束缚电荷面密度为

根据束缚面电荷密度公式与五、拉普拉斯方程在其它坐标系中解的形式1、直角坐标

（1）令

令（2）若

（3）若

，与

无关。

柱坐标

令

若

与z无关，则由此得到

通解为例6导体尖劈带电势V，分析它的尖角附近的电磁场。yxz

解：显然，若尖劈为无限大时，场与z无关。尖劈之外场的通解为r0,有限，得B