2023年浙江省杭州市临安区中考数学二模试卷

2023年浙江省杭州市临安区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.2023年2月26日，杭州某区最高气温为12。&最低气温为-1。&那么这天的最高气温比

最低气温高（）

A.11℃B,-11℃C.13℃D.-13℃

2.据统计，2022年北京冬奥会人工造雪面积达到125000平方米，数125000用科学记数法

表示应为（）

A.1.25x105B.1.25x104C.1.25x103D.1.25x102

3.点4为直线BC外一点，力C1BC于点C,AC=6.点P是直线上的动点，则线段4P长可

能是（）

A.1B.3C.5D.7

4.下列计算正确的是（）

A.a2+2a2=3a4B.a6a3=a2C.（a2）3=a5D.（ah）2=a2b2

5.如图，直线a〃d点B在直线a上，AB1BC,若41=40。，则/2的度数为（）

A.40°B,50°C.80°D,140°

6.若点Z（a,-2）,B（3,b）关于原点成中心对称，则a,b的值分别为（）

A,a=3,b=-2B.a=-3,b=-2

C.a=3,b=2D.a=-3,b=2

7.某公司本月信誉评分为96分，比上个月的信誉评分提高了20%.设该公司上个月的信誉评

分为乂则（）

A.20%x=96B.(1-20%)x=96

C.(1+20%)x=96D.96x(1+20%)=%

8.如图，正九边形外接圆的半径是R,则这个正九边形的边长为

()

A

A.Rsin20°

B.Rsin40°

C.2Rsin20°

D.2Rsin40°

9.如图，在A/IBC中，AB=AC=2,^BAC=108°,点P在BC边上，若4P是4B4C的三等

分线，则BP的长度为（）

A.门一1或5B.C+1或广一1

C.C-1或2D.V-5+1或2

10.已知y关于X的二次函数y=2巾*2+（1-7n）%—1_僧，下列结论中正确的序号是（）

①当山=一1时，函数图象的顶点坐标为弓弓）；

②当mH0时，函数图象总过定点；

③当巾>0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于|；

④若函数图象上任取不同的两点Pi（%i，yi）P2（X2，y2），则当ni<0时，函数在x>1时一定能使

汽1成立.

x2-xl

A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.tan60°-.

12.分解因式：x2+2x=.

13.某校成立了三个课后服务小组,张老师和李老师都报名参加.若随机安排报名人员到服务

小组，则他们恰好分到同组的概率是.

14.如图，PA,PB是O。的切线，切点分别为4B,连接OB,4B,如果4OB4=20。，那么

ZP的度数为.

15.如图，在△力BC中，4BAC的平分线交BC于点F.点。，E分别在力B,AC上，连结DE交4F

于点G.若ZL4E0=NB,AG：GF=2：1,贝i」OE：BC=.

16.如图，已知正方形4BCD的边长为1,点M是BC边上的动点（不与

B,C重合），点N是AM的中点，过点N作EF1AM,分别交AB,BD,

CD于点E,K,F,设BM=x.

（1）4E的长为（用含x的代数式表示）；

（2）设EK=2KF,则黑的值为

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题6.0分）

先化简，再求值：闫+（1-—三），其中#=一3.

x+2'x+2y

18.（本小题8.0分）

如图，R1A4BC中，NB=90。，点。在边AC上，且。E_L4C交BC于点E.

（1）求证：ACDEFCBA；

(2)若ZB=3,AC=5,E是BC中点，求DE的长.

19.（本小题8.0分）

为调查同学们对亚运知识的了解情况，某校对七八两个年级进行了知识测试（单位：分），从

两个年级各随机抽取30名同学的成绩数据，整理并绘制出七年级成绩数据的频数分布直方图

（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）和两个年级测试成绩数据统计表.已知七年级

70<x<80这一组的成绩数据为：7072737576777878

根据以上信息，回答下列问题：

平均数中位数众数

七年级71.1m80

八年级727373

（1）写出表中加的值.

（2）抽取的测试成绩中，七年级有一个同学4的成绩为75分，八年级恰好也有一位同学B的成

绩也是75分，这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是,理由是

（3）若七年级共有学生280人，估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有多少人.

20.（本小题10.0分）

如图，双曲线y=（（X>0）上有一点4（1,5）,过点4的直线y=-mx+zi与该双曲线交于点B,

且点B的纵坐标为1.

⑴求反比例函数和一次函数的解析式;

(2)连接04、0B,求A40B的面积;

(3)根据图象直接写出在第一象限内一次函数的值大于反比例函数的值时，x的取值范围.

21.(本小题10.0分)

如图，在四边形力BCD中，AD//BC,AC1BD,垂足为。，过点。作的垂线交BC的延长线

于点E.

(1)求证：四边形4CED是平行四边形；

(2)若4C=4,AD=2,cosZ-ACB=求BC的长.

22.(本小题12.0分)

2

已知函数yi=x—(m+2)x+2m+3,y2=nx+k-2n(m,n,k为常数且n丰0).

(1)若yi的图象经过点4(-1,3),求该函数的表达式.

(2)若函数月，乃的图象始终经过同一定点

①求点M的坐标和k的值.

②若mW2,当-1WxW2时，总有y】M丫2，求m+n的取值范围.

23.(本小题12.0分)

如图，在Q4BCO中，P是线段BC中点，连接B。交4P于点E,连接CE.

(1)如果AE=CE.

团.求证：口ABCD为菱形；

13.若AB=5,CE=3,求线段BC的长；

(2)分别以AE,BE为半径，点A,B为圆心作圆，两圆交于点E,F,点F恰好在射线CE上，如

果CE=4E,求黑的值.

备用图品用图

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：12—(—1)

=12+1

=13(。。),

故选：C.

由题意列出算式，并运用有理数减法法则进行计算.

此题考查了运用有理数减法解决实际问题的能力，关键是能准确列式、计算.

2.【答案】A

【解析】解：125000=1.25x105.

故选:A.

科学记数法的表示形式为axion的形式，其中1<同<10,ri为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，

n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为ax10加的形式，其中lW|a|<10,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

3.【答案】D

【解析】解：AC1BC,

AP>AC,

即HP>6.

故选：D.

利用垂线段最短得到AP>AC,然后对各选项进行判断.

本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短.它是

相对于这点与直线上其他各点的连线而言.

4.【答案】D

【解析】解：a2+2a2=3a2丰3a3

二选项A不符合题意：

V+Ha2，

选项B不符合题意；

v(a2)3=a6a5,

•••选项C不符合题意；

(ab)2=a2b2,

••・选项。符合题意；

故选：D.

利用合并同类项法则，同底数幕的除法法则，幕的乘方与积的乘方法则对每个选项进行分析，即

可得出答案.

本题考查了合并同类项，同底数基的除法，累的乘方与积的乘方，掌握相应法则是解决问题的关

键.

5.【答案】B

【解析】解：■■AB1BC,

Z.CBA=90°,

Z1=40°,

43=180°-Z.CBA-Z1=180°-90°-40°=50°,

va//b,

:.z.2=z.3=50°,

故选：B.

根据平角的定义得出43,进而利用平行线的性质解答即可.

此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答.

6.【答案】D

【解析】解：•••点4(a,—2),8(3,b)关于原点对称,

a=—3,b=2.

故选：D.

利用关于原点对称的点的坐标特点解答即可.

本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟知两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标互为相反数

是解题的关键.

7.【答案】C

【解析】解：设该公司上个月的信誉评分为x,根据题意得，

(1+20%)4=96.

故选：C.

设该公司上个月的信誉评分为X,等量关系是：上月信誉评分x(1+20%)=本月信誉评分，依此

列出方程即可.

本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：如图所示,

过。作OC_LAB于点C,贝Ijac=BC

•.•此多边形是正九边形，

.・・乙4。8=答360°=40。，

・•・乙4OC=芋40°=20。，

在RtZk/OC中，AC=OAsin^AOC=Rxsin20°,

/.AB=2AC=2Rsin200.

故选：c.

过。作OC1AB于点C,贝必C=BC=解直角三角形即可得到结论.

本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解

答此题的关键.

9【答案】C

【解析】解：••,AB=AC=2,/.BAC=108°,

:.乙B=Z.C=36°,

•・・?!P是的三等分线，

・•・乙BAP=36°,Z.CAP=72°,

・•・Z.CPA=72°,

,・.4C=PC=2,

在△B4P与△BG4中，

(Z-B=乙B

Vz_BAP=4

••・△84Ps△BCA9

.BA_BP

-=---«

BCBA

.2_理

'2+BP=T，

・・・BP2+28P-4=0,

・•・BP=y/~~5—1或2.

故选C.

根据已知条件得出48=ZC=36。,再根据4P是484c的三等分线，求出484P的度数与4c=PC=

2,再根据A4证出△BAPSABCA,粤=雾，从而得出胎=瞿，最后代值计算即可得出答案.

DCDADCD/\

此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解

题的关键.

10.【答案】A

【解析】解：①当m=-1时，y=-2/+2x=—2(%—今2+：,

••・顶点坐标为

故①正确；

②当mW0时，y=2mx2+(1—m)x—1—m=(2x2—x—l)m+%—1,

当2%2一%-1=。时，y的值与m无关，

此时%i=1,久2=-

当%i=1,y=0；当%2=-，时，yz=~|»

.・・函数图象总经过两个定点(L0),

故②正确；

③当m＞。时，由y—0得：4=(1一m)2—4x2m(—1—m')=(3m+I)2,

,_m-l±(3m+l)

Y；，

••A-...........4-m---------

_4_11

=x2=----＞

..3।1、3

..41一"2|=/而＞联

・•・函数图象截X轴所得的线段长度大于£

故③正确；

@771＜081,抛物线的对称轴：％=展＞0,抛物线开口向下，

4m

故x＞机寸，只有当对称轴在x右侧时，y才随X的增大而减小，即使/成立，

故④错误.

故选：A.

①把m=-1代入y=2mx2+(1-m)x-1-m)再化为顶点式即可；

②求得与x轴的交点，进而求得|与-》21的值，即可判断；

③由y=2m/+(1—m)x—1—m=(2/—久一i)ni+%—1,可知当2/—%—1=o时，y的

值与m无关，然后求出x,y的对应值即可；

④澳＜0时，抛物线的对称轴：％=展＞0,抛物线开口向下，只有当对称轴在久右侧时，y才

随X的增大而减小，即可求解.

本题考查的是抛物线与支轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与

坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

11.【答案】口

【解析】解：tan60。的值为

故答案为：＜3.

根据特殊角的三角函数值直接得出答案即可.

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解答此题的关键.

12.【答案】x(x+2)

【解析】

【分析】

首先找出公因式，进而提取公因式得出答案.

此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键.

【解答】

解：x2+2x=x(x+2).

故答案为:x(x+2).

13.【答案吗

【解析】解：三个课后服务小组分别用4、B、C表示，

画树状图图如下：

开始

/T\/N/N

ABCABCABC

共有9种等可能的情况数，其中他们恰好分到同组的情况有3种,

则他们恰好分到同一个小组的概率是,=

故答案为:g.

根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可

得出答案.

此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适

合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求

情况数与总情况数之比.

14.【答案】40°

【解析】解：・・,P4PB是。。的切线，切点分别为4B,

・•.PA=PB,OB

:.乙PBO=90°,

・・・Z,PBA=乙PBO-/.OBA=90°-20°=70°,

vPA=PB,

・•・Z,PAB=乙PBA=70°,

・•・乙P=180°-70°-70°=40°.

故答案为：40°.

利用切线长定理和切线的性质得到PA=PB,OB上PB,则4PBO=90。，所以NPB/=70。，然后

利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求4P的度数.

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了切线长定理.

15.【答案】2：3

【解析】解：・・・4尸平分434。，

:.乙BAF=Z.EAG,

vZ-AED=乙B,

•••△AED^h.ABF9

tAE_AG

'AB=AF9

-AG：GF=2：1,

•—AG=一2.

AF3

AE2

'~AB=39

vZ-DAE=乙CAB,Z-AED=乙B,

ADE^LACB,

.DE_AE_2

BCAB3

故答案为：2：3.

先证明△AED*力BF得至嘴=亲再根据比例的性质由如GF=2：1得至嘴=|，所以篇智,

然后证明^ADE'ACB,则利用相似三角形的性质得到普=I

DC3

本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共

角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用.在应用相似三角形的性质时利用相似比得

到相应线段之间的关系.

16.【答案】殍x

【解析】(1)解：•.•正方形4BCD的边长为1,BM=x,

••AM=V14-%2，

•・,点N是4M的中点，

J.JV1+x2

AAN=---，

•・•EF1AM,

・・・CANE=90°,

・・.LANE=Z.ABM=90°,

v乙EAN=Z-MAB,

AEN〜卜AMB,

J1+.2

AE_AN

AM=ABfBPAE_2，

TT+^=1

2

Acl+x

故答案为殍;

(2)解：如图，连接AK、MG、CK,

由正方形的轴对称性△ABK三XCBK,

：,AK=CK,Z-KAB=Z.KCB,

-EFLAM,N为AM中点、,

・・・AK=MK,

・•,MK=CK,乙KMC=4KCM,

・•・乙KAB=乙KMC,

•・・4KMB+4KMe=180。，

・•・乙KMB+乙KAB=180°,

又•・•四边形/BMK的内角和为360。，乙48M=90°,

・•・乙4KM=90°,

在RtZk/KM中，4M为斜边，N为4M的中点，

:・KN=；AM=AN,

.EN_EN

~NK-AN"

AENfAMB,

ENBM

"AN"AB"X'

EN

"NK=X，

故答案为X.

(1)根据勾股定理求得力M,进而得出4V,证得由相似三角形的性质即可求得4E

的长；

(2)连接4K、MG、CK,构建全等三角形和直角三角形，证明4K=MK=CK,再根据四边形的内

角和定理得乙1KM=90。，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得NK=\AM=AN,然

后根据相似三角形的性质求得瞿=%=x，即可得出需=X.

ANABNK

本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形判定和性

质，等腰三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线的性质，证得KN=4N是解题的关键.

17.【答案】解：穹

x+2'x+2/

=(%-1)(%+1)q

x+2'x+2

_(%—l)(x+1)x+2

x+2x+1

=X—1,

当x=—3时，

原式=-3-1

=-3-1

=—4.

【解析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可.

本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

18.【答案】（1）证明：・・.DEJ,AC,Z,B=90°,

・・・Z.CDE=90°=Z.B.

又Z.C=Z.C,

CDE^LCBA.

（2）解：在RtZkABC中，48=90。，AB=3,AC=5,

・•・BC=VAC2-AB2=4.°-----/>

vE是8c中点，

1

・•・CE=-BC=2.

•・,△CDE~ACBA,

DE=CE即"=2,

BACA35

:.DE=—2x3=6

【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应

相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出OE的长.

（1）由DE14C,NB=90。可得出NCDE=NB,再结合公共角相等，即可证出△CDE-ACBA；

（2）在RtAABC中，利用勾股定理可求出BC的长，结合点E为线段BC的中点可求出CE的长，再利

用相似三角形的性质，即可求出DE的长.

19.【答案】B七年级的中位数是74分，八年级是73分，七年级的中位数比八年级的大

【解析】解：（1）七年级一共有30名同学，中位数是成绩数据由小到大排列后第15,16个数据的

平均数，

•••数据较小的三组共有12个数据，七年级学生成绩在70<%<80从小到大排列为70,72,73,75,

76,77,78,78,

...七年级学生成绩从小到大排在第15,16的两个数分别为73、75,

••・七年级成绩的中位数m=手=74-

(2)这两名学生在各自年级抽取的测试成绩排名中更靠前的是2.

理由：•••七年级的中位数是74分，八年级是73分，七年级的中位数比八年级的大；

(3)七年级不低于75分的人数：||x280=140(A).

答：估计七年级所有学生中成绩不低于75分的约有140人.

(1)结合题意，根据中位数的意义解答即可；

(2)根据中位数的意义，比较七、八年级的中位数即可得出答案；

(3)先算出样本中成绩不低于75分的比例，再乘以280即可得到答案.

本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数的意义，准确理解这些概念是解题的关键.

20.【答案】解：(1)将力(1,5)代入反比例解析式得：k=5,

・••反比例解析式为y=

将y=l代入y中得：x=5,即

将4与B代入一次函数解析式得：厂普=I，

解得:(二:，

则一次函数解析式为y=-x+6：

(2)对于一次函数y=-x+6,令y=0,求出x=6,即C(6,0),

•••OC—6,

又4。=5,BE=1,

则SAAOBSA4"—S^BOC=2X6X5-2X6X1=12；

(3)根据图象得：当1<x<5时，一次函数的值大于反比例函数的值.

【解析】(1)将4坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将B纵坐标代入反比

例解析式中求出横坐标，确定出B的坐标，将4与B坐标代入一次函数解析式中求出m与n的值，即

可确定出一次函数解析式；

(2)过4、B分别作x轴的垂线，垂足分别为。、E,三角形04B面积=三角形OAC面积-三角形BOC面

积，求出即可；

（3）找出图象上一次函数在反比例函数上方时x的范围即可.

此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标

与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题

的关键.

21.【答案】（1）证明：•.•4C_LBD,BD1DE,

：.AC//DE,

■■■AD//BC,

AD//CE,

又：ACI/DE,

•••四边形4CED是平行四边形；

（2）解：•.YC〃DE,

Z.ACB=/.DEB,

np4

■•-^ACB=cos^DEB=-=-,

•••四边形ACE。是平行四边形，

.・.DE=AC=4,CE=AD=2,

:.BE=5,

・•,BC=BE-CE=3,

故3c的长为3.

【解析】（1）根据平行线的判定定理得到4C〃DE,根据平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据平行线的性质得到乙4cB=LDEB,根据平行四边形的性质得到DE=AC=4,CE=AD=

2,求得BE=5,于是得到结论.

本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是

解题的关键.

22.【答案】解：（1）把4（一1,3）代入必=/一（m+2）x+2m+3,得到3=l+3m+5,

解得m=-1,

.•・抛物线的解析式为y=x2-x+l.

(2)①函数%=nx+k-2九可变形为y=n(x-2)4-fc,该函数恒经过点(2,/c),

・・・函数yi，的图象始终经过同一定点M,

当％=2时，=x2—(m+2)x+2m4-3=4-2(m+2)+2m+3=3,

由(1)可知函数为经过定点(2,3),

对于函数丫2=九%+々一2n,当无=2时，y2=fc,

，当k=3时，两个函数过定点M(2,3).

②•・,mW2,

•,・抛物线的对称轴x=竽<2,

•,・抛物线的对称轴在定点M(2,3)的左侧，

7—\0/2x

由题意当1+(TH+2)+2m+3<—n+3—2n时，满足当一1SxW2时，总有y】Wy2，

3m+3n<—3,

m+n<—1.

【解析】(1)利用待定系数法解决问题即可.

(2)①因为函数yi经过定点(2,3),对于函数丫2=nx+k—2n,当％=2时,%=k，