2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）数学试卷及答案

秘密★启用前

2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）

理科数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4=[-1,0,1,2(,B=\y\y=2x\,则4nB表示的集合为

A.|-1(B.(-1,01C.H,21D.10,1,2|

复数，号-1，则用=

2.

B.75C.2D.5

百分比

3.某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包100%:t

10%

含医疗产品收入和其他收入）逐年翻一番，据

■其他收入

统计该公司销售收入情况如图1所示，则下列说

□医疗产品收入

90%7n47

法错误的是80%

A.该地区2021年的销售收入是2019年的4倍

2019年202阵2021年年份

B.该地区2021年的医疗产品收入比2019年和图1

2020年的医疗产品收入总和还要多

C.该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍

D.该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍

4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数4

学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱1

正视图侧视图

锥.某“阳马”的三视图如图2所示，则它的最长侧棱与底面所成角的正

切值为

2

1俯视图

A,2B.1

图2

c.<D,#

56

5.已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为2y=*若该双曲线过点

（1,1）,则它的方程为

A.4y2f2=3B.4x2-y2=3C.2y2-x2=1D.2%2-y2=1

理科数学•第1页（共4页）

6.B^n^^(m+2)x+(m-l)y-2fn-l=0(meR)-^l0C：x2-4x+y2=0,则下列说法错误的是

A.对VmeR,直线恒过一定点

B.3meR,使直线与圆相切

C.对VmwR,直线与圆一定相交

D.直线与圆相交且直线被圆所截得的最短弦长为2在

7.以下关于/(4)=sinxcosx-cos2工+；的命题，正确的是

A.函数f(x)在区间(0,上单调递增

B.直线x=?是函数>=/(工)图象的一条对称轴

O

C.点仔，0)是函数y=f(%)图象的一个对称中心

D.将函数y=/(x)图象向左平移1个单位，可得到y=gsin2x的图象

8.在△ABC中，a,6,c分别为角4,B,C的对边，且满足6-&=2岫/与，则△4BC的形状为

A.直角三角形B.等边三角形

C.直角三角形或等腰三角形D.等腰直角三角形

9.小明家订了一份牛奶，送奶人可能在早上6：30~7：00之间把牛奶送到小明家，小明出门去

上学的时间在早上6：50~7：10之间，则小明在离开家之前能得到牛奶的概率是

1,%>0,

10.已知符号函数Sgnx=0,x=Q,函数/（%）满足/（1一%）=/（1+工），/（*+2）=/（工），当

1,x<0,

X6[0,1]时，/(%)=$皿(六)，贝I」

/4041\

A.sgn(/(%))>0B./—=1

C.sgn(/(2A:))=0(A：eZ)D.sgn(/(2A:))=|sgn^I(AeZ)

11.已知直线/与曲线相切，切点为P,直线/与4轴、y轴分别交于点儿B,。为坐标原

点.若△。48的面积为上，则点P的个数是

e

A.1B.2C.3D.4

12.如图3,已知四面体4BCO中，AB=AC=BD=CD=2^2,AD=BC=2,

E,尸分别是4。，BC的中点.若用一个与直线EF垂直，且与四面体

的每一个面都相交的平面a去截该四面体，由此得到一个多边形截

面，则该多边形截面面积的最大值为

A.1B.夜

C.2D.272

理科数学•第2页(共4页)

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知向量a=(l,3),b=(3,4),若(ma-5)〃(a+b),则m=.

l+^j(l+x)6的展开式中%2的系数为.

14.

(1-豌63)2+10院2-log618

15.若。=则a的值为

*2

16.抛物线J=2px(p＞0)的焦点为尸，直线/过点尸且与抛物线交于点M,N(点/V在4轴上

方)，点E为坐标轴上尸右侧的一点，已知INrI=IEFI=3IMW,SA“NE=3百，若点N

22

在双曲线q-马=1的一条渐近线上，则双曲线的离心率为.

ao

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来

愈高.某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调

查.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图4)解决下列

问题.

组别分组频数频率

第1组[50,60)140.14

第2组[60,70)m•

第3组[70,80)360.36

第4组[80,90)•0.16

第5组[90,100)4n

合计••

⑴求m,n,x,y的值；

(2)求中位数；

(3)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体,

从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为自求《的分布列和数学期望.

18.(本小题满分12分)

已知数列｛是递增的等比数列.设其公比为9,前〃项和为S“，并且满足%+as=34,8是

与的等比中项.

(1)求数列的通项公式；

(2)若bn=…7；是力的前几项和，求使7＞几•2向＞-100成立的最大正整数小的值.

19.(本小题满分12分)

如图5,在四棱锥中，底面48co是平行四边形，POJ.平面

ABCD,PD=AD=BD=\,AB=4^.

(1)求证：平面平面PBC；

(2)试问在线段PC上是否存在一点M,使得二面角M-BD-C的大小为

60°,若存在求出瞿的值；若不存在，请说明理由.

理科数学•第3页(共4页)

20.(本小题满分12分)

已知椭圆C：4+4=1(a>0,b>0)过点(1,外且离心率为名

abI2J/

(1)求椭圆c的方程；

(2)已知直线/：y=mx+2与椭圆交于不同的两点匕Q，那么在4轴上是否存在点M，使

MP=MQ且MP_LMQ,若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由•

21.(本小题满分12分)

已知/(%)=lnx-ax+1(aeR).

(1)讨论了(%)的单调性；

(2)若/(%)与*2_工对％e(o,+8)恒成立，求整数a的最小值.

请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题•如果多做，

则按所做的第一题计分.

22.(本小题满分10分)【选修4-4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为f为参数)，以坐标原

,y=V2(sin0+cos0),

点o为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为pcos(e+：)=¥・

(1)求直线/和曲线c的直角坐标方程；

121

(2)从原点。引一条射线分别交曲线C和直线，于M,N两点，求丁丽”+丁^市的最

大值.

<

23.(本小题满分10分)【选修4-5：不等式选讲】

已知函数/(*)=I%+a|+|%-y|.

(1)当a=2时，求不等式/(%)W5的解集；

332

(2)设a>0,b>0且/(%)的最小值为zn,若m+以=3,求一+三的最小值.

2aa

理科数学•第4页(共4页)

2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号123456789101112

答案CCDCABDADCcA

【解析】

1.由已知B={y|y>0},...ADB表示的集合为{1,2},故选C.

3.设该地区2019年销售收入为“，则由销售收入（包含医疗产品收入和其他收入）逐年翻-

番.所以该地区2020年销售收入为2a,该地区2021年销售收入为4a.A.该地区2021

年的销售收入是2019年的4倍，所以A正确：B.由图可得该地区2021年的医疗产品收

入为4ax0.7=2.8a.该地区2019年的医疗产品收入为ax0.9=0.9a,该地区2020年的医

疗产品收入为2ax0.8=l.6a.由0.9a+1.6。=2.5“<2.8。，所以B正确；C.该地区2021

年的其他收入为4aX0.3=1.2a,2020年的其他收入为2ax0.2=0.4a,所以C正确；D.该

地区2021年的其他收入为4ax0.3=1.2”，2019年的其他收入为ax0.1=0.1a,所以D不正

确，故选D.P

4.该四棱锥如图1,其中唐，平面A8C。，它的最长侧棱为PC,与底/|\\

面所成角为NPCA,故选C./I

设双曲线的方程为4y2-/=机，它经过点（1,1）,所以巾=3,故双

曲线的方程为4）2一^=3,故选A.

\x+y-2=0,

6.直线（，〃+2）》+（切-1）＞-2〃7-1=0,HPm（x+y-2）+2%-y-1=0,令，解得

2x-y-l=0,

即直线恒过定点P（l，1）,故A正确；圆C：x2-4^+y2=0,即圆C：

（x-2）2+y2=4,圆心C（2,0）,半径厂=2,则|PC|=J（1-2>+F=正<2,即点P（l，1）

在圆内，所以直线与圆一定相交，故B错误，C正确；因为|PC|=0,当PC，/时直线

理科数学参考答案•第1页（共9页）

与圆相交且直线被圆所截得的弦长最短，最短弦长/=2正=TP而=2/，故D正确，故

选B.

r//、1-c1+C0S2X141.(兀)“、生m2兀八兀Ji13K

7./(x)=—sin2x---------+鼻=-^-sin12%一1J,A选项,XGI0,—=>2x——G—，----

4412

717r7T

函数先增后减，错误；B选项，A:=-=>2X--=0,所以1=彳不是函数对称轴，错误；C

848

选项，x=：n2x-；=f,所以1%0]不是对称中心，错误；D选项，图象向左平移1个

44414J8

单位得到>=^sin2卜+酊-2==sin2x,正确,故选D.

2\0/42

1_ccq

8.由已知得sin3—sinA=2sinB:-=---s-in3—(sinBcosC+cosBsinC)=sinB-sinBcosC

=>cosBsinC=0,又B,。都是△ABC的内角，故sinC>0,所以cos8=0,B是直角,

故选A.

9.设送牛奶的人到达的时间为此小明出门的时间为y,试验的全部结果所构成的区域为

2

=y)如图2中区域ABCO,记事件A为小明在离家之前能得到牛奶,

6—Sy£7一,

66

2

所构成的区域为A=(X,y)\6—,卜，即图中的阴

6,6

y-x20,

11111

q—X-----------X—X—]]

影部分，所以P(A)=『=2326£=故选D

C—X—

23

10.根据题意得函数是周期为2的函数，作出函数/(X)的大

致图象，如图3所示.数形结合易知〃x)e[0,1],则

sgn(/(x))=0或sgn(/(x))=l,故A错误；

《等卜/(2020；)=/(£|=¥，故B错误；

理科数学参考答案•第2页(共9页)

Lk>0,

f(2k)=0(&eZ),则sgn(/(2Q)=0(*eZ),故C正确;sgn左=0,k=0,(kGZ),所以

-1,k<0,

fl,ZwO,

|sgn止(丘Z),所以sgn(/(2k))H|sgnZ|(ZeZ),故D错误，故选C.

0,%=0,

11.设P(%，%)，y=er,则以P为切点的切线的斜率为：k=e”,以尸为切点的切线方程

rr

y-e°=e°(x-x0),所以A(%-l,0),8(0,(1-%把“)，WJS^OAB=-^-x||•|OB|=

；、|/-1|、|(1-/把*，|=；(1一/)2八，设/(x)=1(l-x)2e\则r(x)=-(i-x)e'+

；(l-x)2e，=g(x+l)(x-l)e1由尸(x)>0,得x<T或x>l,f\x)<0,得-l<x<l.所

以/（x）在（-8,-1）上单调递增，在（T，1）上单调递减，在

（1，+8）上单调递增.又/（1）=0,〃-1）=2>工，且恒有

ee

.〃x）20成立.如图4所以/（A-）的图象与>=1有3个不同

e

的交点.所以使△OAB的面积为［的点尸有3个，故选C.

12.把该四面体放入长、宽、高分别为力、0、指的长方体，平面a与四面体的各面分别

交于KL,LM,MN,KN,如图5,根据题意，KL//BC,LM//AD,

KLALLMBL…“力11.

——=——,——=——，所以KL=-4L，LM=-Dl,故

BCABADAB<2夜

KL+LM=^=(AL+BL)=2,易知四边形KLMN为矩形，所

2

KL+LM

以5=KL,LMWI=1,当且仅当KL=LM时成立,

2

故选A.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

题号13141516

叵

答案-1301

理科数学参考答案•第3页（共9页）

【解析】

13.ma-b=(m-3,3m-4),a+b=(4,7),所以(〃[-3)・7=4(3加一4),解得m=一1.

14.•••(1+X)6的通项为c"*,•••1+曰(1+X)6的展开式中含的项为1.C>2和*C*4,

1+9)(1+外6的展开式中，的系数为底+或=30,.•.填30.

2

26

_(lo&2)+log62log6yjog22+log62(2-log62),

15.Cl---------------------------------------------二1•

log,221og62

62

16.过M,N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P，Q,过M作MGLNQ于G,设

\NF\=\EF\=3\MF\=3a,由抛物线定义知，|MP|=a,|NQ|=3a,所以|NG|=2%因此

在RtAMNG中NMNG=60°,又NQ平行于x轴，所以NNFE=60°,

如图6,故△义尸E为正三角形.X4aX3Osin60°=3>/3,解得

«=1.又N等，坐在抛物线上，=(舍)或。=^，

(93百)b73,4,c721

•・N[J在),=一%上,则a=故e=_=__

三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分12分)

解：(1)机=30,n=0.04,x=0.03,y=0.004......................................................(4分)

(2)设中位数为x,则：10x0.014+10x0.03+(x-70)x0.036=0.5,

2

x=71—..............................................................................................................................(6分)

3

(3)由题意，<可取0,1,2,3,自〜83,：

PG=o)=c；64

T25

理科数学参考答案•第4页(共9页)

48

…二呜0?25

PC=3)=C；（I）电啜（10分）

0123

6448121

P125125125125

13

E(^)=3x-=-.............................................................................................................(12分)

18.（本小题满分12分）

%+a5=34,

解：（1）由题意:（3分）

a29a4=64

Jq+a5=34,

（舍去），

1%•%=64

q=2,

4=2・2"i=2".........................................................................................................(6分)

(2)b„=n-2n,

：•T.=瓦+b2+b3+---+bn_l+bn,

7；,=1•21+2.22+3«23+---+(n-l)-2,,-1+n-2",①

A27；,=1•22+2•23+••■+(n-1)•2n+n•2,,+1,②

①-②得：-7；=2+22+2?+…+2"-"・2"+i

=生心］〃.2,田

1-2

=2,,+1-2-«.2n+l=(l-/z).2,,+l-2,

A7j,=(n-l).2,,+l+2,................................................................................................(10分)

由7；＞-100,可得：-2向+2＞-100,即2向＜102,

二〃的最大值为5............................................................................................................(12分)

19.(本小题满分12分)

(1)证明：在△ADB中，AD=BD=\,AB=①

：.AD2+BD2=AB2,

理科数学参考答案•第5页（共9页）

BD±AD.

又；四边行ABCQ为平行四边形，BC1BD.

C.PDLBC,...........................................(4分)

而8。09=。，

:.BC±平面PBD.

又BCu平面PBC,平面PBC_L平面PBD...............................(6分)

(2)解：以。为原点，DA,DB,0P分别为x轴，y轴，z轴建系,

则0(0,0,0),A(l,0,0),3(0,1,0),C(-l,1,0),P(0,0,1),

假设在PC存在一点M(x,y,z)满足条件.

设丽=/正(0W4W1),，(x,y,z-l)=4(-l,1,-1),

x=-2,

Ay=4,AM(-2,X1-2),

z—\—

一Hi•BD=0,一

设〃i为平面MB。的法向量，则—=＞勺=（1-九0,㈤，............（8分）

n[•DM-0

而平面CBO的法向量为0=（0,0,1）,.......................................（9分）

cos60°=♦I=-㈤•=-^2=且二!■或2=二立二1（舍去），

以2-2%+1222

...................................................................（11分）

.•.存在实数彳=叵4，此时也=且，使得二面角M-BO-C的大小为60。.

2MC3

..................................................................（12分）

20.（本小题满分12分）

h2=b

c

解：（1）由题意：，—=—，（4分）

a2

a2=b2+c2,

理科数学参考答案•第6页（共9页）

cr=4,

解得<I，=2,

c2=2,

22

rv

,椭圆C—+匕=1.........................................................................................................(6分)

42

y="优+2,

(2)由r2>2消y整理得：(2tn2+l)x2+Stnx+4=0,

----1-----=1,

42

:直线与椭圆相交于P,Q两点，，△>(),解得/>；,....................

（7分）

设尸(百,yj,Q%，)2%

.一8〃?4

••X]+Xy—~,%・Xy~~,••••••♦••♦••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••♦••（8分）

2T?72+12m2+1

设PQ的中点G(x°,%)，则*o=国;.=27jy0=/nr0+2=

22m+1Im+1

./4加2)

・・I2"P+/2m2+\J

假设在x轴上存在点M(f,0)满足条件，

MG_LPQ,：•kMG•kpQ=—1,

2

2户1—•m=-\,解得r=（10分）

4加f2m2+1M4

27+1

TT..

*.•/PMQ=-,：.MP*MQ=0,

:.即(再一。(工2一。+X%=°，

A(m2++(2m-，)(/+々)+*+4=0,

将t=:|土代入上式整理得m4=1,

2m2+1

:.m2=L/.m=+\f

此时直线/的方程为y=±x+2........................................................................................（12分）

21.（本小题满分12分）

解：（1）f（x）的定义域为（0,4-00）,f\x）=--67,.....................................................（2分）

X

理科数学参考答案•第7页（共9页）

（i）当aWO时，r（工）＞0,・・・/（x）在xc（0,+8）上单调递增;

(ii)当a〉0时，^f\x)>0=>l-4zx>0=>0<x<—,

a

令ra)<o=%〉L

・•・当。＞0时，/（x）在xw（o,口上单调递增，在（L+8）上单调递减.

...........................................................................................................................................（6分）

(2)由/(1)<；以2一筋可得：。(公+2x)22(lnx+x+l),

Vx＞0,・・・原命题等价于2（ln：+*+1）对!$（0,+8）恒成立.

尸+2x

2(lnx+x+l)-2(x+l)(21nx+x)

令尸(x)=F(x)=

x2+2x(x2+2靖

2

令G(x)=21nx+x,・,・G'(x)=-+l>0,・・・G(x)在xw(0,+oo)上单调递增.

x

又G(0.5)=-21n2+0.5=-ln4+lnVe<0,G(l)=1>0,

故存在唯一的x°e(0.5,1),使得G(x0)=21nx0+x0=0.

当0cxe/时，G(x)<0,F'(x)>0,

：.F(x)在xe(0,%)上单调递增，

当x>与时，G(x)>0,/.F'(x)<0,

工尸⑴在x《(如+8)上单调递减.

二"（X）max="（X。）=t

（10分）

时，xe|-)1恒成立.

x。n(2

.•.心2,又aeZ,“的最小整数值为2.......................................................................（12分）

22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

22

解：（1）曲线C的直角坐标方程为r二+上=1,..............................................................（3分）

64

直线/的直角坐标方程为x—y=l....................................................................................（5分）

理科数学参考答案•第8页（共9页）

(2)曲线C的极坐标方程为2'+dsi"'=],

64

直线/的极坐标方程为/?cos/9-/?sin^=1,

设M(q,6),N(q，。)，

贝小方"竺+加—"2=12

642cos20+3sin~0

08S"…=1"=折痛=小匚浙（7分）

121

-------r+-------T=2cos2^+3sin26+1-sin2,=3+sin29-sin20

\OM|2\0N|2

,1-COS26*.“7(.、C1、一745

=3+--------------sm26=——sm28+—cos29=---------sin(26+夕)W—+——

2212J2222

(当sin(26>+e)=T时取等号)，

121的最大值为上区.

（10分）

\0M|2|ONF

23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

xW—2f少—2<xWl,

解：(1)当。=2时，|x+2|+|x—l|W5o一或

—x—2—x+1W53W5

fJC〉[

或《'o-2或一2<工<1或1<xW2,

|x+2+x—1W5

・・・{x|-3WxW2}.....................................................................................................................(5分)

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(2)f(x)=\x+a\+x-—^(x+a)-=—a

2

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2

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••—a+—b=3,・・。+。=2n,••一H—=1,（7分）

2222

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••—।———+-一+一

abab2222ab2

当且仅当丑=q,即匕=如“时取等号,

2ab3

・,・3+2的最小值为

（10分）

ab2

理科数学参考答案•第9页（共9页）

秘密★启用前

2023届“3+3+3”高考新考诊断性联考卷（一）

文科数学

注意事项：

L答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答翅卡上.

2,每小题选出答案后，川2B传他把答题卡上对应题目的卷案标号涂黑，如需改动，用擦皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.在试期卷上作答无效.

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分160分，考诫用时120分钟.

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的）

1.已知集合4=1-1,0,1,2|,8=|yly=2”，则AAB表示的集合为

B.|-1,01C.H,2|D.|0,1,2|

复数Z=在-1,贝lHz|=

2.

1+i

A.B.75C.2D.5

百分比

3.某医疗公司引进新技术设备后，销售收入（包100%

含医疗产品收入和其他收入〉逐年翻一番，据10%

■其他收入

统计该公司销售收入情况如图L所示，则下列说

园医疗产品收入

法错误的是8.0'

A.该地区2021年的销售收入是2019年的4倍

2019^202眸军份

B.该地区2021年的医疗产品收入比2019年和图

2020年的医疗产品收入总和还要多

C.该地区2021年其他收入是2020年的其他收入的3倍

D.该地区2021年的其他收入是2019年的其他收入的6倍

4.我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中一些数

学用语可见，譬如“阳马”意指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱

正视图侧视图

锥.某“阳马”的三视图如图2所示，则它的最长侧椽与底面所成角的正

匚

切值为

2

俯视图

A，A12B.1

图2

C叵D展

5D-T

已知焦点在坐标轴上且中心在原点的双曲线的一条渐近线方程为2y=%若该双曲线过,2

（1,则它的方程为

22

A.4y-x=3B.4x2^y2=3C.2y2-1D.2%2-/=1

文科数学•第I市

20

6.若不等式组上+夕、2,所表示的平面区域被直线*=戏。-2)分成面积相等的两部分，则实数m

[3%+y近51

的值为

A.1B.£C.yD."

7.已