2022年人教A版高中数学选择性必修第三册期末综合测评试卷

模块综合测评（一）

考试时间120分钟，满分150分.

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的）

1.（2021•辽宁本溪）有2位同学报名参加5个课外活动小组，每位同学限报其中的一个

小组，则不同的报名方法共有（C）

A.10种B.20种

C.25种D.32利1

［解析］每位同学有5种选择，则不同的报名方法共有5X5=25（种）选法.故选C.

2.（2021.河北武邑）若AR3C\I，则n的值为（C）

A.4B.5

C.6D.7

［解析］因为A号=3C",所以即〃=6.故选

3.（2021.江西临川）独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0」的前提下认为性别与

是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是（D）

A.在100个男性中约有90人喜爱喝酒

B.若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%

C.认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%

D.认为性别与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%

［解析］独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断，而不是因果关系，故

A、B错误.由已知，得认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错概率的可能性至多为10%,

故C错误，D正确.

4.（2021.广西南宁三中）若随机变量《服从正态分布o2）,则「（//-。〈产幺+0尸

68.26%,P（//-2。<。</+2"）=95.44%.已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态

分布N（0,32）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（B）

A.4.56%B.13.59%

C.27.18%D.31.74%

［解析］由题意得"=0,<r=3,：.PO<i<6）=P（/i+a<^+2a）

PQl-2<7<5<4+2（7）一尸〃-+

=2

95.44%—68.26%

2=13.59%.

5.（2021.全国甲卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（C）

［解析］解法一(将4个1和2个0视为完全不同的元素)4个1分别设为L4,1B,1C,1D2

个0分别设为OAOB,将4个1和2个。随机排成一行有Ag种排法，将排成一

行有匐种排法，再将0A,。8插空有Ag种排法，所以2个0不相邻的概率「=鬻=余

解法二(含有相同元素的排列)将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安

排0,共有或种排法；将4个1排成一行，把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排

ci2

0,共有eg种排法.所以2个。不相邻的概率尸=含=东

21

6.(2021•安徽马鞍山二中)若X是离散型随机变量，P(X=xy)=yP(X=xi)=y又己知

42

E(X)=y£＞(X)=§,则刈的值为(D)

A-3B-3

C.3D.1

21

［解析］,・•.+§=1，

・••随机变量尢的值只能为Xl,X2,

C2,14

科+/=］,

芥1-第+狐-郛音,

由=1,

•,.|xi-x2|=l.故选D.

7.己知4是离散型随机变量，则下列结论错误的是(D

B.[E©产WEd）

C.£＞（给=。（1—给D.£＞（玲=。（（1-孑）

［解析］在A中，加莉=/一卜舄卜危W步尸(一坐WG用，故A正确；

在B中，由数学期望的性质得［E©PWE(3)，故B正确；在C中，由方差的性质得。(②=

0(1—。，故C正确；在D中，。心)WC((12)=4。©+。(3)，故D错误.

8.甲袋内装有2个红球和3个白球，乙袋内装有1个红球和〃(〃CN*)个白球.现分别

从甲、乙两袋中各取1个球，若将事件“取出的2个球恰为同色”发生的概率记为火〃)，则

以下关于函数人〃)(〃eN*)的判断正确的是(C)

23

A.式〃)有最小值，且最小值为5B.八")有最大值，且最大值为§

C.大〃)有最小值，且最小值为(D.1")有最大值，且最大值为寺

［解析］事件A=｛取出2个球同为红色｝,事件8=｛取出的2个球同为白色｝,则事件A

与事件B是互斥事件，所以/OJ)=P(AUB)=P(A)+P(B)=|X*Y+,XUI=^*1P由

31

于函数/(")=^一.上］、在［1,+8)上是单调递增函数，所以当〃=1时，函数

JI1J

取得最小值.*1)=/

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，

有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0

分)

9.袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0

分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X,则(ACD)

28

A.X~B(4,B.P(X=2)=打

5o1

QQ

C.X的期望E(X)=QD.X的方差£>(X)=g

［解析］由于每次取球互不影响，故所有结果有4类：

①4次全是白球，X=0,记其概率为尸(X=0)=(；)4='p

②4次只有1次是黑球，X=l,记其概率为p(x=l)=CljQ)=3

③4次只有2次是黑球，X=2,记其概率为P(X=2)=ag｝G)=!|；

④4次只有3次是黑球，X=3,记其概率为P(X=3)=C［停

⑤4次全是黑球，X=4,记其概率为尸(X=4)<|)4=||.

故X〜2(4,|),故A正确，B错误；

因为X〜8(4,所以X的期望E(X)=4x|=今故C正确；

因为X〜B(4,|),所以X的方差£>(X)=4x|xg=5,故D正确.

故选ACD.

10.展开式中系数最大的项为(BC)

A.第2项B.第3项

C.第4项D.第5项

［解析］的展开式的通项公式为Trit=C's-(y［x)

展开式的各项系数依次为1,4,7,7,罟35，47,七7，七1，志1，所以，展开式中系数最大的项是第

O410IOZDO

3项和第4项.

11.下列说法中，正确的命题是(BC)

A.已知随机变量班服从正态分布M2,(r),P(4<4)=0.84,则P(2<<<4)=0.16

B.以模型)，=戊心去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny,将其变换后得

到方程z=0.3x+4,则c,左的值分别是e，和0.3

C.已知两个变量具有线性相关关系，其经验回归方程为源，若3=2,工=1,7

A

=3,贝!|a=l

D.若样本数据xi，忿，xio的方差为2,则数据2x|-1,2x2—1,…，2xio—1的方差

为16

［解析］:随机变量E服从正态分布M2,(r),P《<4)=0.84,

P(2<q<4)=P(4<4)—0.5=0.84—0.5=0.34/0.16,即A错误.

•.•y=ce3；.lny=ln(ceh),

.".Iny=fcr+lnc.

'：z=0.3x+4,：.lny=0.3x+4,

从而8=0.3,Inc=4,

：.k=0.3,c=e4,即B正确.

AAA----AA

•直线过样本中心点(x,y),即3=〃+江

AA

,:b=2,即C正确.

•.,样本数据X1,X2,•••,Xio的方差为2,

,数据2立一1,右2—1,…，2xio—1的方差为2X22=8,即D错误.

12.下列说法中正确的是(AC)

A.将6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有10种放法

B.5。2必+1被7除后的余数为5

C.若(x—2)5+(2r+lynao+aix+aN+asP+oix'+asx5,则ao+a2+a4=-81

D.抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标,

连续抛掷这两枚骰子三次，点P在圆/+)2=16内的次数^的均值为古7

［解析］6个相同的小球放入4个不同的盒子中，要求不出现空盒，即每个盒子至少1

个，采用隔板法共Cg=10(种)，A正确；502。21=(49+1)2阳，展开式中只有最后一项1不

是7的倍数，所以5()2。21+1被7除后的余数为2,B错误；在。-2)5+(2%+1)4=制+。工+

中，分别令x=l和x=-1,得a()+ai+。2+43+44+的=80,的)一G

+02—43+04—。5=—242,两式相加除以2,得〃0+〃2+。4=-81,C正确；点尸共有36种

情况，其中在圆/+)2=16内的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),共

8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为本因为1<3,I),所以。的均值为

22

3Xg=§,D错误.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.某学生为了研究高二年级同学的体质健康成绩与学习成绩的关系，从高二年级同学

中随机抽取30人，统计其体质健康成绩和学习成绩，得到2X2列联表如表:

体质健康成绩高体质健康成绩低总计

学习成绩高17219

学习成绩低3811

总计201030

有99.9%的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关.

附：^(a+b)(c+d)(a+cKb+d)'其中

0.1000.0500.0100.001

k2.7063.8416.63510.828

［解析］由列联表中数据，计算/=崎综等高答心12.129>10.828,所以有99.9%

ZUA1UAIy11

的把握认为学生的体质健康成绩高低与学习成绩高低有关.

14.若(加+§)6的展开式中丁项的系数为20,则“2+从的最小值为2.

［解析］。+|=5(加)6-0'=(:初6-7/32-3『，令12—3r=3,得r=3.：.C初3/=20,即

ab^\.：.a2+b2^2ab=2,当且仅当a=6=l时取“="，即/+〃的最小值为2.

15.某公园有甲、乙、丙三艘大小不同的游艇，甲可坐3人，乙可坐2人，丙只能坐1

人.现有3个大人带2个小孩租艇，但小孩不能单独坐艇，则不同的坐法种数是(用

数字填写)

［解析］把大人和小孩进行组合，设大人为。，小孩为

①甲、乙、丙：{1Q+1H},{1C+1H},{1D},有（C』XC4）X（ca><Cl）XCl=12（种）;

②甲、乙、丙：{1O+2H},{ID},{1。},有C!XGX6=6（种）；

③甲、乙：{2D+IH],（\D+\H],有（C*XQ）X（C|XC|）=6种；

④甲、乙：{10+2H},{2。},有CgX@XG=3（种）；

故共有12+6+6+3=27种不同的坐法.

16.盒中有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球.从盒中随机取球，每次取1

个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为第则P（E=O）=—L，EG）

=J.

[解析]1个红球，1个绿球，2个黄球，共有A?=12（种）排列.

①红球前面没有黄球，有Aj+1=4（种），

41

批=0）=调=亨

②红球前面有1个黄球，有Al+A』=4（种），

41

；

③红球前面有2个黄球，有1+A3=4（种），

41

P（4=2）=立下

E©=OX；+1X；+2X；=1.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分10分）某市热线网站就“民众是否支持加大修建城市地下排水设施的

资金投入”进行投票，按照该市暴雨前后两个时间各收集了50份有效投票，所得统计结果

如下表：

支持不支持总计

暴雨后Xy50

暴雨前203050

总计AB100

已知工作人员从所有投票中任取一张，取到“不支持投入”的投票概率为争2

（1）求列联表中无，y,A,8的值，并绘制条形图，通过图形判断本次暴雨是否影响到该

市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的态度；

（2）能够有多大把握认为暴雨与该市民众是否赞成加大修建城市地下排水设施的投入有

关？

（3）用样本估计总体，在该市全体市民中任意选取4人，其中“支持加大修建城市地下

排水设施的资金投入”的人数记为。，求4的分布列和数学期望.

______n(ad-bc辛_____

附:n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

［解析］(1)设“从所有投票中任取一张，取到‘不支持投入'的投票”为事件A,

,_,y+302

由已知仔P(A)=jo。=不

所以y=10,8=40,x=40,A=60,

暴雨后支持率为第40=小4不支持率为41

暴雨前支持率为$20=2$不支持率为1—25=31

绘制条形图，如图所示：

通过图形可判断出本次暴雨影响到了该市民众对加大修建城市地下排水设施的投入的

态度.

1100X(30X40—20X10)2

(2)r=50X50X60X40^16.67>10.828,

故有99.9%的把握认为暴雨对该市民众是否赞成加大对修建城市地下排水设施的投入

有关.

(3片的可能取值为0,123,4,用样本估计总体，任取一人支持的概率尸=需=之所以

|3)',pe=A)=c%(|)*.⑶

E〜用4,5

所以4的分布列为

01234

169621621681

P

625625625625625

312

E(0="p=4Xg=-^.

18.(本小题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排.

(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？

(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法?

(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？

［解析］(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A2种排法，五名徒弟在内部全排

列有Ag种，据乘法原理排法共有AtAg=86400(种).

(2)先将五位师傅全排列有Ag种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有

A济中排法，据乘法原理，排法共有人次2=86400(种).

(3)先将五位师傅排列有A?种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五

位或后五位上有2Ag种排法，据乘法原理排法共有2A%?=28800(种).

19.(本小题满分12分)若的二项式展开式中前三项的系数和为163,求:

(1)该二项式展开式中所有的有理项;

(2)该二项式展开式中系数最大的项.

［解析］(1)展开式中前三项的系数和为C9+2C,!+22CZ=163,解得〃=9,

18—3r

所以展开式的通项公式为Tr+l=C§加产=C52rA—

因为令［―GZ,则r=2或6,

所以展开式的有理项为乃=144/,乃=5376.

［C62"NC/2大，

⑵令第『+1项系数最大，贝可

解付不W「W3-,

因为r^N,所以r=6,

所以展开式中系数最大的项是为=5376.

20.(本小题满分12分)某市场研究人员为了了解产.业园引进的甲公司前期的经营状况,

对该公司2019年连续六个月(5—10月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的

折线图，如图所示.

月利润W百万元

21---------------------------------------------」

20---------------------------------------

12345%月初代码x

注：月份代码1~6分别对应月份5~10

(1)由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润兴单位：百万元)与月份代码X之

间的关系，求y关于x的经验回归直线方程，并据此预测该公司2019年12月份的利润；

(2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有4,B两种型号的新型材料

可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏

的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到

如下频数统计表.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更

好？(用频率估计概率)

使用寿命

1个月2个月3个月4个月合计

材料类型

A20353510100

B10304020100

66

参考数据—XU%，口物=37「

AA,=1(XLx)(y,—y)..Xiyi-nxy

参考公式:经验回归直线方程其中6=J-----=——=%-----二一

e(即-x)2"一〃x2

A-.......

a—y—t>x.

［解析］(1)由折线图可知统计数据(x,y)共有6组，即(1,11),(2,13),(3,16),(4,15),(5,20),

(6,21).

计算可得

—1

x=才(1+2+3+4+5+6)=3.5,

一1

y=^X(11+13+16+15+20+21)=16,

6______

_,=一汹一6xy_371—6X3.5X16_

匕一6不=91—6X3S=2,

/=1

a=y—bx=16—2X3.5=9.

AA

月利润y关于月份代码x的经验回归直线方程为y=2x+9,当x=8时，>-=2X8+9

=25.

故预测甲公司2019年12月份的利润为25百万元.

(2)由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为

0.2,0.35,035,0.1,；.A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数TA=1X0.2+2X0.35

+3X0.35+4X0.1=2.35.8型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率

分别为0.1,03,0.4,0.2.：.B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数7B=1X0.1+

2X0.34-3X0.4+4X0.2=2.7.

•.♦TTA〈三B，，甲公司的负责人应该采购8型号的新型材料.

21.(本小题满分12分)2020年是我国打赢脱贫攻坚战收官之年，越是到关键时刻，更

应该强调“精准”.为落实“精准扶贫”政策，某扶贫小组，为一“对点帮扶”农户引种了

一种新的经济农作物，并指导该农户于2020年初开始种植.已知该经济农作物每年每亩的

种植成本为1000元，根据前期各方面调查发现，该经济农作物的市场价格和亩产量均具有

随机性，且两者互不影响，其具体情况如下表：

该经济农作物亩产量/kg9001200

概率0.50.5

该经济农作物市场价格/(元/kg)1520

概率0.40.6

(1)设2020年该农户种植该经济农作物一亩的纯收入为X元，求X的分布列；

(2)若该农户从2020年开始，连续三年种植该经济农作物，假设三年内各方面条件基本

不变，求这三年中该农户种植该经济农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概

率；

(3)2020年全国脱贫标准约为人均纯收入4000元，假设该农户是一个四口之家，且该

农户在2020年的家庭所有支出与其他收入正好相抵，试凭这一亩经济农作物的纯收入预测

该农户在2020年底可否脱贫，并说明理由.

［解析］(1)由题意知，该农户种植该经济农作物一亩的纯收入可能为1200X20—1000

=23000(元)，1200X15-1000=17000(元)，900*20-1000=17000(元)，900X15-1000

=12500(元)，所以X的所有可能取值为23000,17000,12500.

设A表示事件“该经济农作物亩产量为900kg”，则P(A)=0.5；8表示事件“该经济

农作物市场价格为15元/kg”.则P(8)=0.4.

则尸(X=23000)=P(T~B)=(1-0.5)X(1-0.4)=0.3,

P(X=17000)=P(Tfi)+P(AT)=(l-0.5)X0.4+0.5X(l-0.4)=0.5,P(X=12500)

=P(A8)=0.5X04=0.2,

所以X的分布列为：

X230001700012500

P0.30.50.2

(2)设C表示事件“种植该农作物一亩一年的纯收入不少于16000元”，则尸(O=P(X2

I6OOO)=P(X=23000)+P(X=17000)=0.3+0.5=0.8.

设这三年有y年的纯收入不少于16000元，易知y服从参数为3,0.8的二项分布，即y〜

8(3,0.8),所以这三年中种植该农作物一亩至少有两年的纯收入不少于16000元的概率

/,(r>2)=C^X0.83+C^X0.82X0.2=0.896.

(3)由(1)知，2020年该农户种植该经济农作物一亩的预计纯收入为E(X)=23000X0.3

17900

+17000X0.5+12500X0.2=17900(元).因为d=4475>4000,所以预测该农户在

2020年底可以脱贫.

22.(本小题满分12分)某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举

办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节.已知共有8000名学生参加了预

赛，现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(百分制)作为样本，得到频率分

布直方图，如图所示.

频率