2021年湖北省襄阳市老河口市中考数学适应性试卷（解析版）

2021年湖北省襄阳市老河口市中考数学适应性试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.

1.下列各数中，绝对值最大的数是（）

A.-3B.-2C.0D.2

2.下列各式计算结果是点的是（）

A.a3+a3B.a12-?a2C.a2*a3D.（-a3）2

3.如图所示，已知EF平分/CEG,Nl=80。，则/2的度数为（）

4.如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四

个小正方体中取走一个后，余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是

从正面看

A.①B.②C.③D.④

’3x>-6

5.不等式组,x+1，的解集，在数轴上表示正确的是（）

6.下列说法正确的是（）

A.“购买一张彩票，中奖”是不可能事件

B.“从加，m0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件

C.抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3

D.某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是

0.5

7.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）

A.x=lB.x=-1+^/5D.无解

9.如图，在AABC中，点。在BC上，DE//AC,。/〃AB,下歹I」四个判断中不正确的是（）

A.四边形AEQF是平行四边形

B.若/8AC=90°,则四边形AEDF是矩形

C.若ADLBC且AB=AC,则四边形是菱形

D.若平分NBAC,则四边形尸是矩形

10.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y

与x之间函数关系的图象是（)

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.

11.截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里.请将“16万”用科学记数法表示记

为.

12.某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的

百分率是.

13.从4,B,C,O四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，抽到A,B,C

三人的概率是.

14.用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于时

窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）.

15.PA,PB,C£>是OO的切线，A,B,E是切点，CD分别交PA,PB于C,。两点，若

ZAPB=50°,则/COO的度数为.

16.如图，在矩形ABC。中，点E,F分别在AC,BC上，将矩形ABCO沿直线EF折叠使

点D与点B重合，点C的对应点是点C.若48=4,EF=2娓,则AD的长等于.

三、解答题（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）

17.先化简，再求值（且-2）+」-，），其中4=夷+料，b=M-血.

abba

18.某校为了了解A,B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个

班的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

①A,8两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分

成5组：x<60,60Wx<70,70WxV80,80WxV90,90WxW100）；

A,5两班学生数学成绩频数分布直方图

A班：80808283858586878787888989

8班：80808181828283848485858686868787878787888889

A,3两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：

平均数中位数方差

A班80.6tn96.9

8班80.8n153.3

根据以上信息，回答问题：

(1)A班有人，其中成绩在70Wx<80这一组的有人；

(2)表中,n—；

(3)从两个方面来分析A,B两班的成绩：

①;

②.

19.如图，AE//BF,AC平分NBAE,且交BF于点C.

(1)作/ABF的平分线交AE于点。(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；

(2)根据(1)中作图，连接8,求证：四边形A8CD是菱形.

B

20.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰

角为31°,再向东继续航行30,”到达8处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根

据测得的数据，计算这座灯塔的高度CO（结果取整数）.

参考数据：sin31°-0.52,cos31°=0.86,tan31°-0.60.

21.小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数丫=--^的图象与性

质.其探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图.

列表：下表是x与y的几组对应值，其中机=

X・・・-3-2-1_1123…

~22-

.・・

y_1-1-2m-1

~22-~3

描点：根据表中各组对应值（x,>'）,在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整;

（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：

①;

②.

22.如图，AB是。。的直径，OCLAO,CELAB于点E,AC平分NPAO.

（1）求证：PA是。。的切线；

（2）若OE=1,CD=2,求总的长.

23.倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研

发出A型和8型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作

2小时共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台8型机器人同时工作5小时共分拣垃圾

8吨.

（1）1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

（2）某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A型和3型垃圾分拣机器人，机器人公司

的报价如下表：

型号原价购买量少于30台购买量不少于30台

A型20万元/台原价购买打九折

B型12万元/台原价购买打八折

①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设其中购买A型机器人x台（10Wx

W35），购买两种机器人总费用为W万元.求W与x的函数关系式，并说明如何购买总

费用最少；

②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，

机器人公司全部以打折后价格销售，这10台机器人每小时最多处理多少吨垃圾？

24.在矩形A8CO中，黑■=人仪为常数），点P是对角线上一动点（不与B,。重合），

将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E,连接AE.

（1）特例发现：如图1,当％=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B

重合,则黑=____，/AEP=_____；当点P移动到其它位置时，NAEP的大小_____（填

PE

“改变”或“不变”）；

（2）类比探究：如图2,若上#1时，当火的值确定时，请探究NAEP的大小是否会随着

点P的移动而发生变化，并说明理由；

(3)拓展应用：当kri时，如图2,连接PC,若PCLBD,AE//PC,PC=2,求AP

的长.

25.在平面直角坐标系中，抛物线解析式为y=直线/：丫=7+1与工

轴交于点A,与>轴交于点B.

(1)如图1,当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析

式.

(2)在(1)的条件下，若点P为直线/上方的抛物线上一点，过点尸作PQ_L/于。，

求PQ的最大值.

(3)如图2,点C(-2,0),若抛物线与线段4c只有一个公共点，求小的取值范围.

图1图2

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的，请将其标号在答题卡上涂黑作答.

1.下列各数中，绝对值最大的数是（）

A.-3B.-2C.0D.2

【分析】分别求出绝对值，即可解答.

解：|-3|=3,|-2|=2,|0|=0,|2|=2,

.,.3>2>0,

...绝对值最大的数-3,

故选：A.

2.下列各式计算结果是小的是（）

A.a5+a3B.«12-?a2C.a2*a3D.（-«3）2

【分析】根据哥的乘方、同底数幕的乘法和除法的运算法则以及合并同类项计算后利用

排除法求解.

解:A、a3+a3=2a3,结果不符合；

B、a'2-i-a2=a'°,结果不符合；

C、a2*a3—a5,结果不符合；

D、（-a3）2—ab,结果符合；

故选：D.

3.如图所示，已知48〃CO,EF平分NCEG,/1=80°,则N2的度数为（）

A.20°B.40°C.50°D.60°

【分析】由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求/2的度数.

解：平分/CEG,

，NCEG=2NCEF

)L'：AB//CD,

：.N2=ZCEF=(180°-Zl)4-2=50°,

故选：C.

4.如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四

个小正方体中取走一个后，余下几何体与原儿何体的主视图相同，则取走的正方体是

()

从正面看

A.①B.②C.③D.④

【分析】根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择.

解：原几何体的主视图是:

故取走的正方体是①.

故选：A.

’3x>-6

不等式组，x+1,的解集，在数轴上表示正确的是()

5.

37

AB.

F0

C.D.

00

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据同大取大、同小取小、大小小大中间找、

大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可求解.

解：解不等式3x>-6,得：x>-2,

解不等式得：xW2,

故不等式组的解集为-2<x<2.

故选：B.

6.下列说法正确的是()

A.“购买一张彩票，中奖”是不可能事件

B.“从加，n,0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件

C.抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3

D.某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是

0.5

【分析】根据概率的意义进行判定即可得出答案.

解：4“购买一张彩票，中奖”是随机事件，A选项说法错误，故A选项不符合题意；

B.“从加，TT,0.2这四个数中随机选一个数，这个数是无理数”是随机事件，B

选项说法正确，故8选项符合题意；

C.抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3,C选

项说法错误，有3次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.3,随着实验次数的增多越

来越接近于理论数值0.5,故C选项不符合题意；

D.某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是

0.5,。选项说法不正确，故。选项不符合题意.

故选：B.

7.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是()

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

解：A、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项错误；

8、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误；

D,不是中心对称图形，但是轴对称图形，故本选项错误.

故选：B.

8.分式方程告-的解是()

x-1(x-1)(x+2)

A.x=lB.x=-1+^5C.x=2D.无解

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可

得到分式方程的解.

解：去分母得：x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,

去括号得：^+2%-x2-x+2-3=0,

解得：x=l,

经检验x=l是增根，分式方程无解.

故选：D.

9.如图，在△ABC中，点。在8c上，。E〃AC,£>/〃AB,下列四个判断中不正确的是（）

A.四边形AEDF是平行四边形

B.若NBAC=90°,则四边形是矩形

C.若ADLBC且A8=AC,则四边形AEC尸是菱形

D.若AO平分/BAC,则四边形A即尸是矩形

【分析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，有一个角是90°的平行四边形

是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，四个角都是直角，且四个边都相等的是

正方形，逐项分析即可.

解：因为QE〃CA,DF//BA,所以四边形AEQ尸是平行四边形.故A正确.

/B4C=90°,四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEZ"是矩形.故8正确.

若ACBC且AB=AC,则四边形AE£>尸是菱形，故C正确；

因为AD平分NBAC,所以AE=£>E,又因为四边形AE3尸是平行四边形，所以是菱形.故

。错误.

故选：D.

10.已知等腰三角形的周长是10,底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y

与x之间函数关系的图象是（)

【分析】先根据三角形的周长公式求出函数关系式，再根据三角形的任意两边之和大于

第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出X的取值范围，然后选择即可.

解：由题意得,2x+y=10,

所以，y=-2x+10,

'2x>-2x+10①

由三角形的三边关系得,

x-(-2x+10)<x②

解不等式①得，x>2.5,

解不等式②得，%<5,

所以，不等式组的解集是2.5Vx<5,

正确反映>与x之间函数关系的图象是。选项图象.

故选：D.

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）把答案填在答题卡的相应位置上.

11.截止2021年4月中国高速路总里程达16万公里.请将“16万”用科学记数法表示记

为1.6X10、.

【分析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，”是负数.

解：16万=160000=1.6X105,

故答案为：L6X105.

12.某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的

百分率是10%.

【分析】设这种服装平均每件降价的百分率是X,则降一次价变为80(1-%),降两次

价变为80(1-x)2,而这个值等于64.8,从而得方程，问题得解.

解：设这种服装平均每件降价的百分率是x,由题意得

80(1-x)2=64.8

(I-x)2=0.81

1-x=0.9或1-X--0.9

...x=10%或x=1.9(舍)

故答案为10%.

13.从A,B,C,。四名同学中，随机抽取三人代表某学校参加文艺表演，抽到A,B,C

三人的概率是4-

【分析】先列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即

可.

解：根据题意，所有等可能情况有：(4B,C)、(A,B,D)、(A,C,D)、(B,

C,。)这4种结果，

其中抽到A,B,C三人的只有1种结果，

所以抽到A,B,C三人的概率为

4

故答案为：4-

14.用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于2时

窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度不计).

rn

x米

__________________

【分析】先根据题意得出窗框的长为(6--|x)米，再根据长方形的面积公式得出其面

积S关于x的函数解析式，并配方成顶点式，利用二次函数的性质可得答案.

解：根据题意知，窗框的长为(12-3x)4-2=6--|x(米)，

...窗框的透光面积S=x(6--|x)

=--x2+6x

2

=-—(x-2)2+6,

2

3

"：a=<0,

2

.♦.当工=2时:S取得最大值，最大值为6,

即当x等于2时窗户的透光面积最大，

故答案为：2.

15.PA,PB,CQ是0。的切线，A,B,E是切点，分别交P4,PB于C,。两点，若

ZAPB=50°,则NCO£>的度数为65°或115°.

【分析】根据题意画出符合条件的两种图形，求出NA08的值，求出NOOC=NOOE+

ZEOC^ZAOE+^ZBOE,代入即可求出答案.

解：分为两种情况：

①如图1,连接。4、OB、OE,

图1

,：PA,P8是的切线，4、B为切点,

：.OA±PA,OBLPB,

.•.NOAP=NOBP=90°,

VZAPS=50°,

.../AO8=360°-90°-90°-50°=130°,

•.,(?。切。0于£

：.OE±CD,

:.NDEO=NCEO=90°,

-：PA,PB、CO是。。的切线，切点是A、B、E,

：.ZACO=ZECO,ZEDO=ZBDO,

•.,/AOC=180°-ZOAC-ZACO,/EOC=180°-ZOEC-ZECO,

AZAOC=ZEOC,同理可证：ZDOE=ZBOD,

：.ZCOD=ZEOC+ZEOD=—ZAOB=—X130°=65°；

22

②如图2,

2

故答案为：65°或115°.

16.如图，在矩形ABC。中，点区尸分别在AD,8C上，将矩形ABCD沿直线£尸折叠使

点D与点B重合，点C的对应点是点C.若AB=4,EF=2娓,则AD的长等于8.

【分析】过点尸作尸交于点例，由折叠可知，BE=ED,CD=CB,CF=CF,先

求出RM=2,再设CF=x,则CF=x,BE=2+x,在Rt/XCBF中，BF=^16+x2,在

RtZ\A8/中，4E=V（2+x）2_i6,由凡可得4（2+x）2一货冒⑶乂2,

求出x的值，即可求解.

解：过点尸作FM_LA。交于点M,

由折叠可知，BE=ED,CD=CB,CF=CF,

；AB=4,

，8C=4,用尸=4,

•:EF=28

EM=JEF2-MF2=420-16=2，

设CF=x,则CF=x,BE=2+x,

VZC=ZC=90°,

在RtaCB尸中，BF=WB2©F2rl6+X2,

在RtA/lBF中，AE=JBE2-AB2r(2+x)2-l&

'：AE+EM=BF,

7(2+X)2-16+2=V16+X2>

解得x=3,

：.BF=5fCF=3,

・・・AO=8,

故答案为：8.

三、解答题（本大题共9个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.）

2.,2II____

17.先化简，再求值1+b_2）+（且-上），其中。=夷+&,

abba

【分析】先计算括号内的分式减法，再计算除法即可化简原式，继而将以人的值代入计

算即可.

2,,211

解：(..?+b-2)+

abba

=a2+b2-2ab+a-b

abab

=(a-b)2.ab

aba-b

=a-b9

当b=V^-加时，

原式=（«^^）-（巡-我）=2&.

18.某校为了了解4,8两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，获得了两个

班的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

①A,B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图（数据分

成5组：x<60,60<x<70,70Wx<80,80Wx<90,90WxW100）；

A,3两班学生数学成绩频数分布直方图

A班：80808283858586878787888989

B班：80808181828283848485858686868787878787888889

A,8两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：

平均数中位数方差

A班80.6m96.9

8班80.8n153.3

根据以上信息，回答问题：

（1）A班有40人,其中成绩在70WxV80这一组的有10人;

（2）表中81,n—85；

（3）从两个方面来分析A,B两班的成绩：

①从平均分来看，人B两班差不多；

②从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多.

【分析】（1）根据频率分布直方图计算即可；

（2）将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则

处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数

据的平均数就是这组数据的中位数；

（3）从中位数与方差两个方面分别进行分析.

解：（1）由题意可知，A班有：5+2+3+22+8=40（人）；其中成绩在70Wx<80这一组

的有：40-（1+7+13+9）=10（人），

故答案为：40；10；

（2）A班共40名同学，中位数落在80Wx<90,中位数机=丝丝=81,

2

B班共40名同学，中位数落在80WxV90,中位数〃=空箸=85,

故"、”的值分别为81,85；

（3）从平均分来看，A,B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多；

从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，8班方差大，说明8班学生发展不均衡.（任

选两点）.

故答案为：从平均分来看，A,8两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A

班多.

19.如图，AE//BF,AC平分且交8尸于点C.

（1）作NA8尸的平分线交AE于点（尺规作图，保留痕迹，不写作法）；

（2）根据（1）中作图，连接CD,求证：四边形ABCO是菱形.

BCF

【分析】（1）利用基本作图作NAB尸的平分线；

（2）利用角平分线和平行线的性质证明NACB=NBAC,贝ijAB=BC,同理可证AB=AQ,

所以AD=BC,于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB=BC可判断四边

形ABC。是菱形.

【解答】（1）解：如图，射线8。为所求；

BCF

(2)证明：'JAE//BF,

AZDAC=ZACB,

；AC平分NB4E,

.'.ZDAC^ZBAC,

：./AC8=ABAC,

：.AB=BC,

同理可证AB=AD,

：.AD=BC.

又•：ADHBC,

四边形488是平行四边形,

又；AB=BC,

四边形ABCO是菱形.

20.如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰

角为31°,再向东继续航行30,力到达8处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°,根

据测得的数据，计算这座灯塔的高度C。（结果取整数）.

参考数据:sin31°-0.52,cos310-0.86,tan31°七0.60.

【分析】根据正切的定义用C。表示出A。，根据题意列出方程，解方程得到答案.

解：在Rt^CAD中，tanNCA£>=",

AD

则^CD,

tand13

在RtaCBO中，NCBD=45°,

:.BD=CD,

U：AD=AB+BD,

R

：.—CD=CD+30

39

解得，8=45,

答：这座灯塔的高度。约为45%

21.小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y=-T」丁的图象与性

X

质.其探究过程如下：

（1）绘制函数图象，如图.

列表：下表是X与y的几组对应值，其中m=-2:

X・・・-3-2-1_21123・・・

~2~2

y・・・-1-2m-1_1・・・

~3~2~2~3

描点：根据表中各组对应值（x,y）,在平面直角坐标系中描出了各点；

连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整:

（2）通过观察图象，写出该函数的两条性质：

①图象关于y轴对称；

②当xVO时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大.

2

（2）根据图象即可求得.

函数图象如图,

故答案为：-2；

(2)性质：①图象关于y轴对称；②当xVO时，y随x的增大而减小，当x>0时，y

随x的增大而增大，

故答案为：图象关于y轴对称；当xVO时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随式的

增大而增大.

22.如图，AB是。。的直径，OCLAO,CELAB于点E,AC平分NPAO.

(1)求证：PA是。。的切线；

(2)若OE=1,CD=2,求金的长.

【分析】(1)根据垂径定理得出AC=C。，则NCAD=NO,根据圆周角定理得出N3

=/D,结合AC平分NPA。，进而得到N3=NPAC即可得出NPA3=90°,据此即

可得解；

(2)设的半径为r,根据勾股定理得出22-(--1)2=3-12,解得r=2,解直角三角

形得出/AOC=60°,根据弧长公式求解即可.

【解答】(1)证明：:AB是。。的直径，

AZACB=90°,

・・・N8+NBAC=90°,

〈AC平分NPAO,

：.ZPAC=ZCADf

VOC1AZ),

:・AC=CD,

.\ZCA£)=ZD,

VZB=ZD,

：.ZB=ZCAD,

：.ZB=ZPAC,

・・・NPA8=NPAC+N8AC=NB+N8AC=90°,

：.PA±AB,

又•••AB是。。的直径，

是。。的切线；

(2)解：设的半径为r,

'：AC=CD,CD=2,

：.AC=CD=2,

在RtZXACE和Rt4OCE中，由勾股定理得AG-4序=四2=。3-0序，。£；=[,

A22-0-1)2=3-]2,

解得n=2,r2=-1(舍去)，

在RtZXCOE中，cosZCOE=—=^,

0C2

，/AOC=60°,

.i^_60Xnx2_2_

AC赢

23.倡导垃圾分类，共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类，某机器人公司研

发出A型和B型两款垃圾分拣机器人，已知2台A型机器人和5台B型机器人同时工作

2小时共分拣垃圾3.6吨，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作5小时共分拣垃圾

8吨.

(1)1台A型机器人和1台8型机器人每小时各分拣垃圾多少吨？

(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批4型和B型垃圾分拣机器人，机器人公司

的报价如下表：

型号原价购买量少于30台购买量不少于30台

A型20万元/台原价购买打九折

B型12万元/台原价购买打八折

①若要求这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设其中购买A型机器人x台(10Wx

W35),购买两种机器人总费用为卬万元.求W与x的函数关系式，并说明如何购买总

费用最少：

②为了加快垃圾分拣速度，垃圾处理厂计划用不超过140万元增购这两种机器人共10台，

机器人公司全部以打折后价格销售，这10台机器人每小时最多处理多少吨垃圾？

【分析】(1)设1台A型机器人每小时分拣。吨，1台B型机器人每小时分拣匕吨，根

据题意列出方程组即可求出答案;

（2）①购买B型机器人），台，得出100-2%,然后结合一次函数的性质分析最值;

②设购买A型机台，则购买8型（10-相）台，根据题意列出不等式从而求解.

解：（1）设1台A型机器人每小时分拣。吨，1台8型机器人每小时分拣8吨.

2(2a+5b)=3.6

根据题意，得

5(3a+2b)=8

a=0.4

解得,

b=0.2

答：1台A型机器人每小时分拣0.4吨，1台B型机器人每小时分拣0.2吨;

（2）①设购买B型机器人y台，则0.4x+0.2y=20,

整理得y=100-2x,

.,.当x=10时，y=80；

当x=30时，y=40；

当x=35时，y=30；

：-2<0,

...y随x的增大而减小,

，当10Wx<30时，40<y<80；

当30WxW35时，30WyW40,

当10Wx<30时，W=20x+l2X0.8(100-2x)=0.8x+960,

0.8>0,

W随x的增大而增大,

当x=10时，W取最小值968,

当30WxW35时，W=20X0.9x+12X0.8(100-2x)=-1.2x+960.

-1.2<0,随x的增大而减小,

当x=35时，W取最小值918.

918<968,

当x=35,y=30时W最小.

fO.8x+960(10<x<30)

综上可知W=<、，购买A型35台，B型30台总费用最少;

1-1.2x+960(30<x<35)

②设购买A型机台，则购买B型（10-加）台,

每小时可分拣垃圾。4m+0.2（10-/M）=（0.2/M+2）（吨）.

根据题意可知20X0.9%+12X0.8(10-m)<140,

解得，〃W5卷.

为正整数,

・・・m45,0.2m+2W3,

・••这10台机器人每小时最多处理3吨垃圾.

24.在矩形ABCD中，铛•=%（%为常数），点P是对角线BD上一动点（不与B,O重合），

AB

将射线PA绕点P逆时针旋转90°与射线CB交于点E,连接AE.

（1）特例发现：如图1,当％=1时，将点P移动到对角线交点处，可发现点E与点B

重合，则丝=1-ZAEP=45°；当点尸移动到其它位置时，NAEP的大小不

PE----------

变（填“改变”或“不变”）;

（2）类比探究：如图2,若&*1时，当/的值确定时，请探究/A"的大小是否会随着

点尸的移动而发生变化，并说明理由；

（3）拓展应用：当《#1时，如图2,连接尸C,若尸C_LB£>,AE//PC,PC=2,求AP

四边形ABCO是正方形，当点P与正方形的对角线交点重合

时，由正方形的性质可得PA=PE,NAEP=NOBA=45°；当点P移动到其它位置时,

作PF,48于点尸，PGLBC于点G,通过证明丝△PEG,可得尸A=PE,ZAEP

=45°,可知NAEP的大小不变；

（2）过点尸作尸于点M,PN_LBC于点N,证明△PAMS^PEN,得tanNA"

=黑=兽=鼠可得/AEP的大小不变；

PEBM

（3）由PCA.BD,AE//PC,推导出NBPC=90°及NAEB=NABD,则tanZ

AE8=tan/ABZ）=tanNAEP=A得/AE3=NAEP,可证明△AEB四△AEP,/\CPD^

/XAHB,可得PD=HB=HP,HA=PC=2,再根据勾股定理求出AP的长.

解：（1）如图I（甲），设矩形ABC。的对角线AC、BO交于点。，

，AO=AB,

♦・,四边形ABC。是矩形，

，四边形ABC。是正方形；

：.AC±BD,

：.ZAOB=90°,

*：OA=—AC,OB=^BD,且AC=BD,

22

：.OA=OB,

・・・NOAB=NOA4=45°,

・・,点P与点。重合，ZAPE=90°,

：.0E马08重合，

：.PA=0AfPE=0B,ZAEP=ZOBA=45°,

：.PA=PE,

.PA一

PE

当点尸移动到其他位置时，如图1(乙)，作刊LLAB于点尸，尸GJ_3c于点G,

,.・A8=4。，CB=CD,ZBAD=ZC=90°,

/.ZABD=ZADB=45°,ZCBD=ZCDB=45°,

・・・NABD=NCBD,

:,PF=PG,

•：NPFB=NFBG=NPGB=90°,

AZFPG=90°,

♦:NAPF=NEPG=90°-/EPF,NPFA=NEGP=9U°,

：./\PAF^^PEG(ASA),

：.PA=PE,

：.ZAEP=ZEAP=45°,

・・・NAEP的大小不变，

故答案为：1,45。，不变.

(2)NAEP的大小不变.

理由如下：如图2(甲)，过点尸作于点M,PNLBC于点、N,

:・/PMA=NPMB=/PNB=96°,

;四边形A8CO是矩形，

:./MBN=/PMB=/PNB=90°,

，四边形PM3N是矩形.

:•/MPN=9S,PN=BM,

VZAPE=90°,

・・・N4PM+NMPE=90°,NEPN+/MPE=90°,

・•・ZAPM=/EPN.

*：/PMA=/PNE=90°,

：・4PAMsAPEN,

.PA=PM=PM

**PE-PN-BM

VZBAD=90°,

・・・tsan//AABnDn-----P-M--=_--A-D--=k,,

BMAB

/r-n_PAPM

..tanZAAEr=----=----=k,

PEBM

二女为定值,

・・・N4EP的大小不变.

(3)如图2(乙)，

■:PC工BD,AE//PC,

：・NBHE=NBPC=96°,

VZABE=9O0,

・•・NAEB=90°-ZEBD=NABD,

tanNAEB=tan/ABD=k,

VtanZAEP=Jl,

・・・ZA