矩形的性质与判定典型例题

./矩形的证明题目一．选择题〔共5小题1．〔2016春•巴南区校级月考如图矩形都是由大小不等的正方形按照一定规律组成的,其中,第①个矩形的周长为6,第②个矩形的周长为10,第③个矩形的周长为16,…,则第⑧个矩形的周长为〔A．168 B．170 C．178 D．1882．〔2016•堰区校级模拟矩形ABCD中,AB=4,BC=8,矩形CEFG上的点G在CD边,EF=a,CE=2a,连接BD、BF、DF,则△BDF的面积是〔A．32 B．16 C．8 D．16+a23．〔2016•模拟如图所示,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE,其中正确结论有〔A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．〔2015•一模如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF,EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为〔A．8 B．8 C．4 D．65．〔2015•天台县模拟如图,矩形ABCD中,BC=1,连接AC与BD交于点E1,过E1作E1F1⊥BC于F1,连接AF1交BD于E2,过E2作E2F2⊥BC于F2,连接AF2交BD于E3,过E3作E3F3⊥BC于F3,…,以此类推,则BFn〔其中n为正整数的长为〔A． B． C． D．二．解答题〔共25小题6．〔2015•如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF⊥EC．〔1求证：AE=DC；〔2已知DC=,求BE的长．7．〔2015•如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点〔不与A,B重合,连接CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ．〔1当△CDQ≌△CPQ时,求AQ的长；〔2取CQ的中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ的长．8．〔2015•二模已知：如图所示,四边形ABCD是矩形,分别以BC、CD为一边作等边△EBC和等边△FCD,点E在矩形上方,点F在矩形部,连接AE、EF．〔1求∠ECF的度数；〔2求证：AE=FE．9．〔2015春•巴南区校级期末如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,将△ABE沿AE折叠后得到△AFE,点F在矩形ABCD部,延长AF交CD于点G．〔1猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；〔2若AB=3,AD=4,求线段GC的长．10．〔2015秋•开江县期末已知,四边形ABCD是长方形,F是DA延长线上一点,CF交AB于点E,G是CF上一点,且AG=AC,∠ACG=2∠GAF．〔1若∠ACB=60°,求∠ECB的度数．〔2若AF=12cm,AG=6.5cm,求△AEF中EF边上的高？11．〔2015春•宜兴市校级期中定义：如图①,在△ABC中,CD是AB边上的中线,那么△ACD和△BCD是"友好三角形",并且S△ACD=S△BCD．应用：如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O．〔1求证：△AOB和△AOE是"友好三角形"；〔2连接OD,若△AOE和△DOE是"友好三角形",求四边形CDOF的面积．12．〔2015春•校级期中如图所示,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C,对角线相交于点A1,再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C,对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．〔1求矩形ABCD的面积；〔2求第1个平行四边形OBB1C的面积是第2个平行四边形A1B1C1C是第3个平行四边形OB1B2C的面积是〔3第n个平行四边形的面积是．13．〔2015春•青山区期中如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D．〔1求证：四边形ABCD为矩形；〔2E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE．①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度：②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC=,AF=．14．〔2015春•富顺县校级月考矩形ABCD中,AB=3,AD=4；P是AD上的任意一点,过P作PE⊥OA,PF⊥OD,求PE+PF的值？15．〔2015春•启东市校级月考如图,已知矩形ABCD中,过点C引∠A的平分线AM的垂线,垂足为M,AM交BC于E,连接MB,MD．〔1求证：BE=DC；〔2求证：∠MBE=∠MDC．〔3如果AB=6,AD=10,则四边形ABMD面积=．16．〔2014•一模〔1如图1,四边形ABCD是矩形,E为AD上一点,且BE=ED,P为对角线BD上一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．〔2如图2,当四边形ABCD变为平行四边形,其他条件不变,若∠ABC=60°,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．〔3如图3,当四边形ABCD满足∠ABD=90°,AB=3,BD=4,其它条件不变,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．17．〔2014•南岸区一模如图,在矩形ABCD中,点E是AD边上一点,点F是CB延长线上一点,连接EF交AB于点G,且DE=BF．AE的垂直平分线MN交AE于点N、交EF于点M．若∠AFG=2∠BFG=45°,AF=2．〔1求证：AF=CE；〔2求△CEF的面积．18．〔2014春•区期末如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=10．〔1求矩形ABCD的周长；〔2E是CD上的点,将△ADE沿折痕AE折叠,使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；②点P是线段CB延长线上的点,连接PA,若△PAF是等腰三角形,求PB的长．〔3M是AD上的动点,在DC上存在点N,使△MDN沿折痕MN折叠,点D落在BC边上点T处,求线段CT长度的最大值与最小值之和．19．〔2014春•郯城县期末如图1,在平面直接坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为〔10,0、〔0,4,点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,求点P的坐标．〔友情提示：图2、图3备用,‚不要漏解20．〔2013秋•渝中区校级期末如图,点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点,连接AE,交CD于点F,G是AF的中点,再连接DG、DE,且DE=DG．〔1求证：∠DEA=2∠AEB；〔2若BC=2AB,求∠AED的度数．21．〔2014春•校级期末在矩形ABCG中,点D是AG的中点,点E是AB上一点,DE⊥DC,CE交BD于F,〔1求证：ED平分∠AEC；〔2当∠BEC=60°,且AE=1时,求矩形ABCG的面积；〔3当BE=BC,求证：BD平分∠CDE．22．〔2014春•沂水县期末数学学习总是如数学知识自身的生长历史一样,往往起源于猜测中的发现,我们所发现的不一定对,但是当利用我们已有的知识作为推理的前提论证之后,当所发现的在逻辑上没有矛盾之后,就可以作为新的推理的前提,数学中称之为定理．〔1尝试证明：等腰三角形的探索中借助折纸发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．但是当时并未说明这个结论的合理．现在我们学些了矩形的判定和性质之后,就可以解决这个问题了．如图1若在Rt△ABC中CD是斜边AB的中线,则,你能用矩形的性质说明这个结论吗？请说明．〔2迁移运用：利用上述结论解决下列问题：①如图2所示,四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DCB=90°,EF分别是BD、AC的中点,请你说明EF与AC的位置关系．②如图3所示,▱ABCD中,以AC为斜边作Rt△ACE,∠AEC=90°,且∠BED=90°,试说明平行四边形ABCD是矩形．23．〔2014春•金川区校级期中如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由．24．〔2014春•合川区校级期中如图,在矩形ABCD中,点E为CD上一点,将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处,过F作FH⊥BC于H,交BE于G,连接CG．〔1求证：四边形CEFG是菱形；〔2若AB=8,BC=10,求四边形CEFG的面积．25．〔2014春•仙桃期中矩形ABCD绕点A顺时针旋转至矩形AEFG,使B点正好落在CD上的点E处,连BE．〔1求证：∠BAE=2∠CBE；〔2如图2,连BG交AE于M,点N为BE的中点,连MN、AF,试探究AF与MN的数量关系,并证明你的结论．26．〔2014春•青县校级期中如图1,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,AB=AD=10cm,BC=8cm．点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿线段AB方向向B运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发,当点P运动到点B时,P、Q同时运动停止,设运动时间为t秒．〔1求CD的长；〔2当t为何值时,四边形PBQD为平行四边形？〔3在运动过程中,是否存在四边形BCQP是矩形？若存在,请求出t的值；若不存在,请说明理由．27．〔2013•如图,将一矩形纸片ABCD沿直线MN折叠,使点C落在点A处,点D落在点E处,直线MN交BC于点M,交AD于点N．〔1求证：CM=CN；〔2若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1,求的值．28．〔2013•模拟〔1如图1,已知矩形ABCD中,点E是BC上的一动点,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC于点G,CH⊥BD于点H,试证明CH=EF+EG；〔2若点E在BC的延长线上,如图2,过点E作EF⊥BD于点F,EG⊥AC的延长线于点G,CH⊥BD于点H,则EF、EG、CH三者之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想；〔3如图3,BD是正方形ABCD的对角线,L在BD上,且BL=BC,连接CL,点E是CL上任一点,EF⊥BD于点F,EG⊥BC于点G,猜想EF、EG、BD之间具有怎样的数量关系,直接写出你的猜想；〔4观察图1、图2、图3的特性,请你根据这一特性构造一个图形,使它仍然具有EF、EG、CH这样的线段的关系,并满足〔1或〔2的结论,写出相关题设的条件和结论．29．〔2013•模拟如图,矩形ABCD中,点E为矩形的边CD上任意一点,点