理学第一章典型例题

数学物理方法数学是科学的大门和钥匙，无视数学必将伤害所有的知识，因为无视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。

——〔英〕R.培根1精选ppt教材及指导书一、教材：梁昆淼编，?数学物理方法?，第四版，高等教育出版社，2021年1月二、主要的参考书：吴崇试编著，?数学物理方法?，第二版，北京大学出版社，2003年12月成绩测定：作业30%＋上课出席参与10%＋考试60%联系方式：zyx@内容：复变函数论数学物理方程2精选ppt主要内容:

1

复变函数

2复变函数的积分

3幂级数展开

4留数定理

5傅立叶变换

6拉普拉斯变换第一篇复变函数论参考书：LarsV.Ahlfors著，赵志勇等译，?复分析?机械工业出版社，2005。3精选ppt第一章典型例题4精选ppt例1

求出的值.解注：本例关键在于点在第二象限。Arg(z)=(2k+1)π5精选ppt解例2

试求函数值及其主值:令得主值:6精选ppt例3

证明证.02sin¹y其中7精选ppt实部与实部对应相等,虚部与虚部对应相等,命题得证.åå==+++=+nknkkyxikyxiBA00)sin()cos(则8精选ppt例4证.

0

)0(

)(

限不存在时的极当证明函数®¹=zzzzzf

,

趋于零时沿直线当kxyz=根据定理一可知,

,

值的变化而变化随k

,

),(lim

00不存在所以yxvyyxx®®

.

)(lim0不存在zfz®9精选ppt例５求以及它们相应的主值.[解]因为,所以它的主值就是ln2.

(k为整数),所以它的主值是ln(-1)=π

i.

在实变函数中,负数无对数,此例说明在复数范围内不再成立.而且正实数的对数也是无穷多值的.

10精选ppt例6

研究函数f(z)=z2,g(z)=x+2yi和h(z)=|z|2的解析性.

[解]

由解析函数的定义可知,f(z)=z2在复平面内是解析的,而g(z)=x+2yi却处处不解析.下面研究h(z)=|z|2的解析性.

由于易见,如果z0=0,那么当z0时,上式的极限是零.如果z00,令z0+z沿直线

y-y0=k(x-x0)

趋于z0,由于k的任意性,11精选ppt所以,当

x0时,比值

的极限不存在.

因此,

h(z)=|z|2仅在z=0处可导,而在其他点都不可导.由定义,它在复平面内处处不解析.不趋于一个确定的值.12精选ppt例7

研究函数的解析性.[解]

因为w在复平面内除点z=0外处处可导,且所以在除z=0外的复平面内,函数处处解析,而z=0是它的奇点.13精选ppt例8

设函数f(z)=x2+axy+by2+i(cx2+dxy+y2).问常数a,b,c,d取何值时,

f(z)在复平面内处处解析?

[解]由于ux=2x+ay,uy=ax+2by,

vx=2cx+dy,vy=dx+2y

从而要使ux=vy,uy=-vx,

只需2x+ay=dx+2y,2cx+dy=-ax-2by.

因此,当a=2,b=-1,c=-1,d=2时,此函数在复平面内处处解析,这时

f(z)=x2+2xy-y2+i(-x2+2xy+y2)

=(1-i)(x+iy)2=(1-i)z214精选ppt例9如果f'(z)在区域B处处为零,那么f(z)在B内为一常数.

[证]因为所以u=常数,v=常数,因而f(z)在B内是常数.15精选ppt证.)(33仅在原点有导数证明函数iyxzf-=例10.在再证其他处的导数不存.00)(处的导数为在故=zzf16精选ppt则沿路径若,0yyz=则沿路径若,0xxz=.)(,000的导数不存在否则故除非zfyx==)(3)()()(020030300yyyyyiiyiyzzzfzf®-®-+-=--当)(3020xxx®®当17精选ppt例11

函数在何处可导，何处解析.解故仅在直线上可导.故在复平面上处处不解析.时，当且仅当21=y,21)(,不解析上处处在直线由解析函数的定义知=yzf18精选ppt例12

设为解析函数，求的值.解设故由于解析，所以即故19精选ppt例13

讨论函数在原点的可导性.故在原点不可导.解当沿正虚轴趋于0时，有,0时趋于函数沿xz=20精选ppt

设为平面上任意一定点,当点沿直线趋于时,有解例14

研究的可导性.当点沿直线趋于时,有的任意性知处不可导且由在故00)(zzzf.)(处处不可导zf21精选ppt例15证.

0

0

)(

不可导西－黎曼方程但在点满足柯在点证明函数===zzxyzf22精选ppt23精选ppt例16解.)(

,

,

),(),()(

2zfuvDyxivyxuzf求并且析内解在区域设=+=24精选ppt例17证根据隐函数求导法那么,.

,

,

),(

),(

0,)(

,

)(

2121为常数其中必相互正交与那末曲线族且为一解析函数设cccyxvcyxuzfivuzf==¹¢+=25精选ppt根据柯西－黎曼方程得26精选ppt例18证.

0

,

0

Im)(

2不可微但在点满足柯西－黎曼方程的实、虚部在点证明函数===zzzzf27精选ppt28精选ppt例19解根据调和函数的定义可得).(

1)(

,

)(

,

.

,

22zfifivuzfvkyxuk的并求为解析函数使再求为调和函数使值求-=+=+=29精选ppt所求解析函数为30精选ppt用不定积分法求解例1中的解析函数例20解31精选ppt例21解用不定积分法求解例2中的解析函数32精选ppt33精选ppt例22解两边同时求导数所以上面两式分别相加减可得.)(

),(2)4)((

22ivuzfyxyxyxyxvu+=+-++-=+试确定解析函数已知34精选ppt35精选ppt例23

解是否可导？问yixzf2)(+=36精选ppt37精选ppt例24解满足以下条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通域还是多连通域?是一条平行于实轴的直线,不是区域.单连通域.38精选ppt是多连通域.不是区域.39精选ppt40精选ppt单连通域.41精选ppt

,

arg

趋于零时沿不同的射线当q=zz