新教材适用2024版高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题6概率与统计第2讲随机变量及其分布列课件

第一篇核心专题提升•多维突破专题六概率与统计第2讲随机变量及其分布列分析考情·明方向真题研究·悟高考考点突破·提能力分析考情·明方向高频考点高考预测n重伯努利试验、二项分布以现实生活中的实际例子为背景，考查离散型随机变量的分布列、均值、方差及其概率的计算.超几何分布离散型随机变量及其分布离散型随机变量的均值、方差

真题研究·悟高考1.(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．(2)依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06.即X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13.3.(2021·全国新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解析】

(1)由已知可得，X的所有可能取值为0,20,100，则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为：X020100P0.20.320.48(2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0,80,100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，则Y的期望为E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6，因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．4.(2021·全国新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0,1,2,3)．(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．【解析】

(1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.(2)设f(x)＝p3x3＋p2x2＋(p1－1)x＋p0，因为p3＋p2＋p1＋p0＝1，故f(x)＝p3x3＋p2x2－(p2＋p0＋p3)x＋p0，若E(X)≤1，则p1＋2p2＋3p3≤1，故p2＋2p3≤p0.f′(x)＝3p3x2＋2p2x－(p2＋p0＋p3)，因为f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0≤0，故f′(x)有两个不同零点x1，x2，且x1<0<1≤x2，且x∈(－∞，x1)∪(x2，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x1，x2)时，f′(x)<0；故f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上为增函数，在(x1，x2)上为减函数，若x2＝1，因为f(x)在(x2，＋∞)为增函数且f(1)＝0，而当x∈(0，x2)时，因为f(x)在(x1，x2)上为减函数，故f(x)>f(x2)＝f(1)＝0，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，若x2>1，因为f(1)＝0且在(0，x2)上为减函数，故1为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，综上，若E(X)≤1，则p＝1.若E(X)>1，则p1＋2p2＋3p3>1，故p2＋2p3>p0.此时f′(0)＝－(p2＋p0＋p3)<0，f′(1)＝p2＋2p3－p0>0，故f′(x)有两个不同零点x3，x4，且x3<0<x4<1，且x∈(－∞，x3)∪(x4，＋∞)时，f′(x)>0；x∈(x3，x4)时，f′(x)<0；故f(x)在(－∞，x3)，(x4，＋∞)上为增函数，在(x3，x4)上为减函数，而f(1)＝0，故f(x4)<0，又f(0)＝p0>0，故f(x)在(0，x4)存在一个零点p，且p<1.所以p为p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，此时p<1，故当E(X)>1时，p<1.(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1.考点突破·提能力核心考点1

n重伯努利实验、二项分布核心知识·精归纳1.n重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做_____________；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验．伯努利试验2.二项分布(1)定义：设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)；在n重伯努利试验中，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝_______________，k＝0,1,2，…，n.则称随机变量X服从___________，记作X～B(n，p)(2)如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．二项分布角度1：n重伯努利试验的概率典例研析·悟方法典例1CD方法技巧·精提炼n重伯努利试验概率求解的策略(1)首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验，判断时注意各次试验之间是否相互独立，并且每次试验的结果是否只有两种，在任何一次试验中，某一事件发生的概率是否都相等，全部满足n重伯努利试验的要求才能用相关公式求解．(2)解此类题时常用互斥事件概率加法公式，相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式．角度2：二项分布

(2023·潍坊模拟)为了让人民群众过一个欢乐祥和的新春佳节，某地疫情防控指挥部根据当地疫情防控工作部署，安排4名干部和三个部门(A，B，C)的16名职工到该地的四个高速路口担任疫情防控志愿者，其中16名职工分别是A部门8人，B部门4人，C部门4人．(1)若从这16名职工中选出4人作为组长，求至少有2个组长来自A部门的概率；(2)若将这4名干部随机安排到四个高速路口(假设每名干部安排到各高速路口是等可能的，且各位干部的选择是相互独立的)，记安排到第一个高速路口的干部人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．典例2方法技巧·精提炼(1)在根据n重伯努利试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．(2)①求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果ξ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．②有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)．加固训练·促提高1.(2023·石家庄模拟)将五枚质地、大小完全一样的硬币向上抛出，则正面向上的硬币枚数为2或者3的概率为______.核心考点2超几何分布核心知识·精归纳np角度1：超几何分布及概率计算典例研析·悟方法典例3(多选)袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10，现从中任取4个球，则下列结论正确的是(

)A．取出的最大号码X服从超几何分布B．取出的黑球个数Y服从超几何分布BD角度2：超几何分布的分布列

已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．典例4方法技巧·精提炼超几何分布的特点和应用条件(1)超几何分布的两个特点：①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量表示抽到的某类个体的个数．(2)超几何分布的应用条件：①两类不同的对象(物品、人或事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．加固训练·促提高1.(2023·虹口区二模)端午节吃粽子是我国的传统习俗．一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为______.核心考点3离散型随机变量的期望与方差核心知识·精归纳1.离散型随机变量分布列的性质(1)pi_____0，i＝1,2,3，…，n；(2)p1＋p2＋…＋pn＝_____.2.数学期望的公式：E(X)＝_________________________.3.方差的公式：D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝______________________.≥1x1p1＋x2p2＋…＋xnpn4.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝_________________.(2)D(aX＋b)＝_______________.aE(X)＋ba2D(X)角度1：离散型随机变量均值与方差的计算

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p(p，q∈(0,1))，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ.典例研析·悟方法典例5角度2：随机变量分布列的综合应用典例6(1)若走L1路线，求最多遇到1次红灯的概率；(2)若走L2路线，求遇到红灯次数X的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．角度3：概率的综合问题典例7(2023·茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1