中考数学专题复习-相似三角形(通用)

中考数学专题复习——相似三角形(通用)

1.（山东省潍坊市）如图，已知Rt△ABAC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PE⊥AB于E，PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=（）A。5+2x/3B。4-x/3C。5-x/3D。x/3解析：根据勾股定理，可得BC=5，由此可知PC=5-x，根据相似三角形的性质，可得PD/AC=PE/AB，即PD/4=PE/3，解得PD=(8-2x)/3，PE=(5+2x)/3，因此PD+PE=5-x/3.答案：C2.（乐山市）如图（2），XXX在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为（）A。8/5B。1C。3/5D。5/8解析：根据相似三角形的性质，可得h/0.8=(h+6)/4，解得h=8/5.答案：A3．（2020湖南常德市）如图3，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：1）DE=1，（2）AB边上的高为3，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面积与△CAB面积之比为1：4.其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解析：结论（1）正确，结论（2）错误，因为等边三角形的高等于边长的根号3/2，即1.732，结论（3）正确，因为DE是等边三角形ABC的中位线，所以DE=1，结论（4）正确，因为△CDE与△CAB是相似三角形，且相似比为1：2，所以面积之比为1：4.答案：C4.（2020山东济宁）如图，XXX同学在晚上由路灯XXX走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯XXX的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知XXX同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是（）解析：根据相似三角形的性质，可得AP/AB=PB/BD，即x/(x+20)=9/15，解得x=24，因此两路灯之间的距离为24m。答案：A5.（2020江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）解析：选项B与左图中的三角形相似，因为它们的对应角度相等，且边长之比相等。答案：B6.（2020重庆）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为2︰3，则S△ABC︰S△DEF为（）解析：由相似三角形的性质可知，△ABC与△DEF的面积之比为4︰9，因此S△ABC︰S△DEF=4︰9.答案：B7.（2020湖南长沙）在同一时刻，身高1.6米的XXX在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（）解析：根据相似三角形的性质，可得XXX的身高与他的影长之比等于树的高度与树的影长之比，即1.6/0.8=x/4.8，解得x=9.6，因此树的高度为9.6米。答案：C8.（2020江苏南京）XXX身高1.7m，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m。紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m，那么XXX举起手臂超出头顶（）解析：根据相似三角形的性质，可得XXX举起手臂超出头顶的长度与他的身高之比等于举起手臂后影子的长度与原来影子的长度之比，即x/1.7=0.25/0.85，解得x=0.5，因此XXX举起手臂超出头顶0.5米。答案：A9.（2020湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）解析：选项B与左图中的△XXX相似，因为它们的对应角度相等，且边长之比相等。答案：B1.题目中的数学公式格式错误，需要重新编辑。删除明显有问题的段落后，改写每段话如下：3.两个相似三角形对应边的比为6，则它们周长的比为6:6=1:1.4.在图中，已知点D、E分别在三角形ABC的边AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=8，则根据勾股定理，AE的长为√(8²-3²)=√55.5.在图4中，已知DE∥BC，.6.在图中，已知EF∥GH∥IJ∥BC，则相似三角形共有4对，分别为△AEF∽△AGH，△BEF∽△BIJ，△DEF∽△HIJ，△ABC∽△GHJ。7.根据相似三角形的性质，XXX的身高与其影长的比例应该与树的高度与其影长的比例相等，即1.6/1.2=x/3.6，解得x=4.8，所以这棵树的高度约为4.8m。8.在图中，若DE∥BC，则根据相似三角形的性质，△ADE∽△ACB。9.在比例尺为1:2000的地图上，AB两地间的距离为5cm，则实际距离为5×2000=cm=100m。10.在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB于点D，BC=3，AB=5，则△ABC与△CBD相似，面积比为S△.1.求解关于x和y的函数关系式。2.在图中，当x取何值时，△PBC的周长最小？此时y等于多少？3.如图10所示，四边形ABCD和DEFG都是正方形，AE和CG相交于点M，CG和AD相交于点N。证明：（1）AE=CG；（2）AN·DN=CN·MN。4.△ABC是一块等边三角形的废铁片，用它剪裁出正方形ADEFG，使DE与BC重合，F和G分别落在AC和AB上。Ⅰ。证明：△BDG≌△CEF。Ⅱ。探究：如何在铁片上准确地画出正方形？XXX和XXX各提出了一种方法，请选择一个问题进行回答。Ⅱa。XXX认为只要求出正方形的边长，就能确定D和E的位置，从而画出正方形DEFG。设△ABC的边长为2，求出正方形的边长（结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化）。Ⅱb。XXX认为不需要求出正方形的边长就能画出正方形。他的方法是：在AB上任取一点G’，作正方形G’D’E’F’，连结BF’并延长交AC于F，作FE∥F’E’交BC于E，FG∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，则四边形DEFG即为所求。你认为XXX的方法正确吗？请说明理由。5.如图11所示，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为2.若∆ABC固定不动，∆AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），设BE=m，CD=n。1）在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明。2）求m和n的函数关系式，并直接写出自变量n的取值范围。3）以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴，BC边上的高所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图12）。在边BC上找一点D，使BD=CE，求出D点的坐标，并改写函数关系式。11.如图，在直角△ABC内，以A为一个顶点作正方形ADEF，使得点E落在BC边上。1)作图如下。2)AB=6，AC=2，正方形ADEF的边长为4.12.如图5，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连结EF。1)因为∠ACB的平分线CF交AD于F，所以AF/DF=AC/CD=1，即AF=DF。因为点E是AB的中点，所以AE=EB。所以△AFE≌△DFB，从而EF∥BC。2)四边形BDFE的面积为6，△ABD的面积为3.13.如图，在ABC中，∠BAC=2∠C。1)作图如下。2)因为∠BAC=2∠C，所以∠CAD=∠C/2，从而AD是△ABC中∠A的平分线。因为∠BAC=2∠C，所以△ABC与△ACD相似。14.如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC。求证：△ABC∽△FDE。证明：因为FD∥AB，FE∥AC，所以∠XXX∠B，∠EFD=∠C，从而△FDE与△XXX相似。15.如图7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形。1)所有可能的选取情况为：①与②，①与③，①与④，②与③，②与④，③与④。其中选取到的两个三角形是相似三角形的情况为：①与②，①与④，②与④，共3种情况。所以选取到的两个三角形是相似三角形的概率为3/6=1/2.2)选取小三角形△ABC和△ADC，因为AD=BC，所以两个三角形相似。且∠DBG=∠ECFDBG∽△ECFBD/CE=BG/CF=GD/FE=1BD=CEABD≌△ECEAD=CE=BD=BEABED为菱形Ⅱ.解：1)画出示意图如下：由题意可知，点P在BC上，且AP=ADADP≌△ABPABP=∠ADP=∠ADE又∠ADE=∠XXXABP=∠XXXXXX同理可证，AB∥DE，CE∥BF，DE∥CFABED，CEFB，DEFC为平行四边形2)由题意可知，AD=4，BC=6AB=CD=√(AD²+BD²)=√32BE=AB-AD=√32-4BF=CE=BE=√32-4又∵DEFC为平行四边形EF=DC=BC=6EF²+BF²=6²+(√32-4)²=56EF=√56=2√14S=EF×BF=2√14×(√32-4)=2√448-8√14解题思路：本文是一道几何题，需要对几何图形进行分析和推导。首先需要将文章中的格式错误和明显有问题的段落删除，然后对每一段话进行小幅度的改写，使其更加流畅和易于理解。改写后的文章：BD2+HB2=DH2，即BD2+CE2=DE2.解析如下：1）根据勾股定理可得，AB=6，AC=8，BC=10.因为D为AB中点，所以BD=AB/2=3.同时，根据正弦定理和相似三角形可得，△BHD∽△BAC，所以DH/BD=AC/BC，因此DH=AC×BD/BC=8×3/10=24/5.2）因为QR∥AB，所以∠XXX∠A=90°。同时，根据相似三角形可得，△RQC∽△ABC，所以QR/QC=AB/BC，即y=(10-x)/6.3）根据三角形的三种情况进行讨论：①当PQ=PR时，过点P作PM⊥QR于M，则QM=RM。②当PQ=RQ时，y=-x+6，即x=6.③当PR=QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC的中点，所以CR=CE=AC/2=2.综上所述，当x为1815/52或6或5/3时，△PQR为等腰三角形。4）对于第二个问题，根据相似三角形可得，AN/AB=MN/BC，即AN=AB×MN/BC=x。因此，S(△MNP)/S(△AMN)=MN2/AN2=x2/(133/248)，即S(△MNP)=x2/(133/248)。5）根据勾股定理可得，BC=AB+AC=5.设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO=OD=MN=x。在Rt△ABC中，BC=5.过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x。在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，所以△BMQ∽△BCA。因此，BM/BQ=BC/AC=5/8，即BQ=8BM/5=8(25-x)/25.因此，AB=BM+MA=25-x+8(25-x)/5=45/4-x/4.XXX∠CBA，∠CAE=∠XXXCAE≌△CBF（AAS）AE=BF又∵AE=CE-AC，BF=CF-BCCE-AC=CF-BCCE+BC=CF+ACEF=AC3）设∠EFC=x，则∠EAC=2x，∠FBC=2xAFC=180°-4x，∠AEC=180°-2x又∵AE=BF，∠XXX∠XXXAEC≌△XXX（SAS）EC=FC，∠XXX∠FCB=xEFC=180°-2xx=60°AFC=60°，∠AEC=120°XXX∠ACB=30°，∠BAC=120°11.解题思路：首先通过作图得到∠BAC的平分线交BC于点E，然后根据正方形ADEF的性质得到EF∥AB，进而得到△CFE∽△CAB。接着利用相似三角形的性质，通过等式求解得到正方形ADEF的边长为3/2.11.解：首先作图，将∠BAC的平分线延长至BC上交点为E。因为四边形ADEF是正方形，所以AD=DE=EF=FA。因此，EF∥AB，进而得到△CFE∽△CAB。设AD=DE=EF=FA=x，则有x/6=(6-x)/2，解得x=3/2，即正方形ADEF的边长为3/2.12.(1)证明：因为CF平分∠ACB，所以∠1=∠2.又因为DC=AC，所以CF是△ACD的中线，因此点F是AD的中点。因为点E是AB的中点，所以EF∥BD，即EF∥BC。2)解：根据(1)得到EF∥BD，因此△AEF∽△ABD。又因为AE=1/2AB，所以S△AEF/AE^2=S△ABD/AB^2，即S△AEF=(1/4)S△ABD。又因为S四边形BDFE=S△ABD-6，所以S△AEF=S四边形BDFE-6=8，因此△ABD的面积为8.13.提示：(1)如图，连接AD，AD即为所求。2)由于AD平分∠BAC，且∠BAC=2∠C，所以∠BAD=∠BCA。又因为∠B=∠B，所以ABDCBA。15.解：选取两个三角形的所有可能情况有6种，分别为①②、①③、①④、②③、②④、③④。其中有两组（①③，②④）是相似的，因此选取到的两个三角形是相似三角形的概率为2/6=1/3.选择①、③证明：由于AB∥CD，所以有∠XXX∠DBA和∠DCA＝∠CAB。因此，根据角-角-角相似性质，可以得出△AOB∽△COD。选择②、④证明：因为ABCD是等腰梯形，所以有∠DAB＝∠CAB。在△DAB与△CBA中，又有AD=BC、∠DAB＝∠CAB和AB=AB。因此，根据边-角-边相似性质，可以得出△DAB≌△CBA。进而，根据角-角-角相似性质，可以得出△DOA∽△COB，从而得出∠ADO＝∠BCO。解：⑴由于AB∥CD，所以有∠A＝∠