第24章 相似三角形全章复习攻略（2个概念4个性质及推论1个判定1个运算1个应用1种思想）与检测卷（原卷版）

第24章相似三角形全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习六种方法【2个概念】1.比例线段2.相似图形【4个性质及推论】1.平行线分线段成比例性质及推论2.三角形一边平行线性质及推论3.重心的性质4.相似三角形的性质【1个判定】1.相似三角形的判定【1个运算】1.平面向量的线性运算【1个应用】1.相似三角形的应用【1种思想】1.分类讨论思想【检测卷】【倍速学习六种方法】【2个概念】1.比例线段比例线段【例1】（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．1【变式】（2023•奉贤区一模）已知线段a＝4，b＝16，如果线段c是a、b的比例中项，那么c的值是．【例2】（2022秋•金山区校级期末）根据4a＝5b，可以组成的比例有（）A． B． C． D．【变式】（2023•徐汇区一模）已知，则＝．【例3】．（2022秋•奉贤区期中）已知：＝＝，2x﹣3y+4z＝33，求代数式3x﹣2y+z的值．【变式】（2022秋•奉贤区期中）已知实数a、b、c满足，且a﹣3b+2c＝﹣8．求的值．【例4】（2023•长宁区一模）已知P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，那么的值为（）A． B． C． D．【变式】（2023•金山区一模）如图，已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地地底部B的距离是468米，第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点（点A、B、P在同一条直线上），且BP＞AP，那么底部B到球体P之间的距离是米（结果保留根号）．2.相似图形相似形【例5】（2022秋•浦东新区期中）下列各组中两个图形不相似的是（）A． B． C． D．【变式1】（2022秋•黄浦区校级期末）下列说法中，正确的是（）A．两个矩形必相似 B．两个含45°角的等腰三角形必相似 C．两个菱形必相似 D．两个含45°角的直角三角形必相似【变式2】（2022秋•金山区校级期末）如果梯形的一条对角线把梯形分成的两个三角形相似，那么我们称该梯形为“优美梯形”．如果一个直角梯形是“优美梯形”，它的上底等于2，下底等于4，那么它的周长为．【4个性质及推论】1.平行线分线段成比例性质及推论平行线分线段成比例定理：两条直线被三条直线所截，截得的对应线段成比例；平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.【例6】（2021秋•宝山区校级月考）如图，已知直线l1、l2、l3分别截直线l4于点A、B、C，截直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．（1）如果AB＝4，BC＝8，EF＝12，求DE的长．（2）如果DE：EF＝2：3，AB＝6，求AC的长．【变式】（2022秋•奉贤区期中）如图，已知直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截．若AB＝3cm，BC＝5cm，EF＝4cm．（1）求DE、DF的长；（2）如果AD＝40cm，CF＝80cm，求BE的长．2.三角形一边平行线性质及推论三角形一边的平行线【例7】（2023•宝山区一模）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果AD：BD＝1：3，那么下列条件中能判断DE∥BC的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．【变式1】（2023•崇明区一模）四边形ABCD中，点F在边AD上，BF的延长线交CD的延长线于E点，下列式子中能判断AD∥BC的式子是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【变式2】（2023•徐汇区模拟）如图，AD是△ABC的中线，P为AD上任意一点，连接BP并延长，交AC于F，连接CP并延长，交AB于E，连接EF．求证：EF∥BC．【变式3】（2022秋•浦东新区校级月考）如图，已知点A、C、E和点B、F、D分别是∠O两边上的点，且AB∥ED，BC∥EF，AF、BC交于点M，CD、EF交于点N．（1）求证：AF∥CD；（2）若OA：AC：CE＝3：2：4，AM＝1，求线段DN的长．3.重心的性质三角形的重心【例8】（2023•青浦区一模）三角形的重心是（）A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条边的垂直平分线的交点 D．三角形三条高的交点【变式1】（2023•浦东新区二模）如图4，AD过△ABC的重心G，设向量＝，＝，那么向量＝．（结果用、表示）【变式2】．（2023•松江区一模）已知△ABC，P是边BC上一点，△PAB、△PAC的重心分别为G1、G2，那么的值为．4.相似三角形的性质相似三角形的性质【例9】（2023•崇明区一模）如果两个相似三角形的周长之比是4：9，那么它们的对应角平分线的比为．【变式1】（2023•虹口区一模）已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，AC＝12，A1C1＝9，∠A1的平分线的长为6，那么∠A的平分线的长为．【变式2】（2023•宝山区一模）已知一个三角形的三边之比为2：3：4，与它相似的另一个三角形ABC的最小边长为4厘米，那么三角形ABC的周长为厘米．【变式3】（2023•徐汇区一模）两个相似三角形的对应边上的中线之比4：5，则这两个三角形面积之比为．【变式4】（2023•浦东新区二模）如图，已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，如果BC＝8，△ABC的面积是32，那么这个正方形的边长是（）A．4 B．8 C． D．【1个判定】1.相似三角形的判定相似三角形的判定【例10】（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求证：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．【变式1】（2023•普陀区二模）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F，AB•DC＝BF•BD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG．【变式2】（2023•青浦区二模）如图，在平行四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，点E在边BC上，连接AE交BD于点F，且AB2＝BF•BD．（1）求证：点F在边AB的垂直平分线上；（2）求证：AD•AE＝BE•BD．【变式3】（2023•虹口区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，点E为BC延长线上一点，∠ADB＝∠CDE，点F在BD上，联结CF．（1）求证：AD•DE＝AC•DC；（2）如果AD•CE＝DF•DB，求证：四边形DFCE为梯形．【变式4】（2023•宝山区二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于点O，OB＝OC．（1）求证：AB＝CD；（2）E是边BC上一点，联结DE交AC于点F，如果AO2＝OF•OC，求证：四边形ABED是平行四边形．【变式5】（2023•崇明区二模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，M是边DC延长线上的一点，联结AM，与边BC交于F，与对角线BD交于点G．（1）求证：AG2＝GF•GM；（2）联结CG，如果∠BAG＝∠BCG，求证：平行四边形ABCD是菱形．【变式6】（2023•金山区二模）如图，已知△ABC是等边三角形，过点A作DE∥BC（DE＜BC），且DA＝EA，联结BD、CE．（1）求证：四边形DBCE是等腰梯形；（2）点F在腰CE上，联结BF交AC于点G，若CF2＝GF•BF，求证：CG＝DE．【1个运算】1.平面向量的线性运算1.实数与向量相乘：设k是实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作.若，则；若，则；2.运算律：（1）实数与向量相乘对于实数加法的分配律：；（2）实数与向量相乘对于向量加法的分配律：；（3）实数与向量相乘的结合律：.3.平行向量定理：如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使.4.单位向量：长度为1的向量；设与非零向量方向相同的单位向量为，则：，.5.向量的线性运算：向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算.已知是两个不平行的向量，向量可以用表示成（x，y是实数）的形式.那么：向量就是向量的合成（向量分解为两个向量）；向量是向量分别在方向上的分向量，或者是向量关于的分解式.【例11】（2023•宝山区二模）已知点D、E分别在△ABC的边CA、BA的延长线上，DE∥BC，DE：BC＝1：3，设，那么用向量表示为（）A． B． C． D．【变式1】（2023•奉贤区一模）如图，在△ABC中，点D在边BC上，BD＝AB＝BC，E是BD的中点．（1）求证：∠BAE＝∠C；（2）设＝，＝，用向量、表示向量．【变式2】（2023•静安区校级一模）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝2AD，AE＝EC．（1）求证：DE∥BC；（2）设，，试用向量、表示向量．【变式3】（2022秋•嘉定区期中）已知：如图，已知两个不平行的向量、．求作：﹣2（写出结论，不要求写作法）．【1个应用】1.相似三角形的应用【例12】（2023•徐汇区一模）小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭的高度CD为6.6米，小明到凉亭的距离BD为12米，凉亭与观景台底部的距离DF为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为米．【变式】（2022秋•宝山区校级月考）现有不等臂跷跷板AB，当AB的一端点A碰到地面时（如图（1）），另一端点B到地面距离为3米；当AB的另一端点B碰到地面时（如图（2）），端点A到地面距离为2米，那么跷晓板AB的支撑点O到地面的距离OH＝米．【1种思想】1.分类讨论思想【例13】已知：如图，AB⊥BC，AD//BC，AB=3，AD=2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．（1）当AP=AD时，求线段PC的长；（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．ABABCDPABCD（备用图）【变式1】【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【变式2】如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于F，延长FE与直线CD相交于点G，连接FC（AB＞AE）．(1)求证：△AEF∽△DCE；(2)△AEF与△ECF是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；(3)设，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似？若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，请说明理由．【变式3】在中，，，点在所在的直线上运动，作（、、按逆时针方向）．（1）如图，若点在线段上运动，交于．①求证：；②当是等腰三角形时，求的长；（2）如图，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出线段的长度；若不存在，请简要说明理由；（3）若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．【检测卷】一、单选题1．若2x＝3y，那么＝（

）A． B． C． D．2．已知C是AB的黄金分割点，若，则AC的长为（

）．A． B． C． D．3．如图，，，则下列比例式中不正确的是（

）．A． B．C． D．4．如图，点P是的边AC上一点，如果添加一个条件后可以得到，那么以下添加的条件中不正确的是（

）A． B．C． D．5．已知在中，，是角平分线，点在边上，设，，那么向量用向量、表示为（）A． B． C． D．6．下面命题中，假命题是（

）．A．有一个角是的两个等腰三角形相似B．全等三角形都是相似三角形C．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似D．两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似二、填空题7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于．8．两个相似三角形面积比为1：9，小三角形的周长为4cm，则另一个三角形的周长为cm．9．如图，在中，点、分别在边、上，平分，，如果，，那么．10．如图，在平行四边形中，为上任一点，连接并延长交延长线于点，则．11．如图所示，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转45°后得到Rt△ADE，则CD=．12．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交BC于点D，向量，向量，那么向量用向量、表示为．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5．EF是中位线，设，则．14．已知点C是AB的黄金分割点(AC<BC)，若AB=4cm，则AC的长为cm.15．在比例尺为的地图上，上海与香港之间的距离为厘米，则上海与香港之间的实际距离为千米．16．如果，那么．17．如图，面积为的正方形内接于面积为1的正三角形，其中、、是整数，且不能被任何质数的平方整除，则的值等于．18．如图，△ABC的两条中线AD，BE交于点G，EF∥BC交AD于点F．若FG＝1，则AD＝．三、解答题19．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点F、E在边AC上，且DF∥BE，．求：的值．20．小玉和小武学习完第四章《图形的