（小白高考）新高考数学(零基础)一轮复习教案7.4《直线、平面垂直的判定与性质》 (教师版)

页第四节直线、平面垂直的判定与性质核心素养立意下的命题导向1.会推导直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性质定理，凸显逻辑推理的核心素养．2．常与几何体的体积计算相结合，会应用直线和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性质定理证明空间的线、面垂直关系，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b⊂α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是eq\a\vs4\al(0).(2)范围：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l⊂β,α∩β＝a,l⊥a))⇒l⊥α4.谨记五个结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(线面垂直的充分必要性的判断)“直线a与平面M内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面M垂直”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面M的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面M垂直”，反之可以，所以是必要不充分条件．2．(判定平面与平面垂直)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是()A．若l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，则l⊥mC．若l∥β，则α∥βD．若α∥β，则l∥m解析：选A∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．3．(由线面垂直判定线线垂直)如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．解析：因为PC⊥平面ABC，所以PC垂直于直线AB，BC，AC.因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，所以AB⊥平面PAC，又因为AP⊂平面PAC，所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，ACAB4．(由线线垂直判定面面垂直)已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD，平面PBC⊥平面PDC，共7对．答案：7二、易错点练清1．(忽视平面到空间的变化)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a与c的位置关系为________________．解析：若a，b，c在同一个平面内，则由题设条件可得a∥c；若在空间中，则直线a与c的位置关系不确定，平行、相交、异面都有可能．答案：平行、相交或异面2．(忽视线面垂直性质定理的条件)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线n满足n⊥l，则n与β________(填“一定”或“不一定”)垂直．解析：当n⊂α时，若α∩β＝l，且n⊥l，则n⊥β，否则不一定有n⊥β.答案：不一定考点一直线与平面垂直的判定与性质[典例]如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.[方法技巧]证明线面垂直的4种方法(1)线面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α.(2)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.(3)性质：①a∥b，b⊥α⇒a⊥α；②α∥β，a⊥β⇒a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l⇒l⊥γ.(客观题可用)[针对训练]1．已知S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又AB⊥BC，∴DE⊥AB.∵SA＝SB，E为AB的中点，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC.由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，∴SD⊥BD.又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.2.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明：(1)如图所示，取PD的中点E，连接AE，NE，∵N为PC的中点，∴NE∥CD且NE＝eq\f(1,2)CD，又AM∥CD且AM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)CD，∴NE綊AM，∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，又AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，∴MN⊥CD.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，又E为PD的中点，∴AE⊥PD.由(1)知CD⊥AE，又CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.考点二平面与平面垂直的判定与性质[典例]如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一点，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.(1)若M是DD1的中点，证明：平面AMB⊥平面A1MB1；(2)设四棱锥M­ABB1A1与四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积分别为V1与V2，求eq\f(V1,V2)的值．[解](1)证明：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，又AB⊥AD，AA1∩AD＝A，所以BA⊥平面AA1D1D，又MA1⊂平面AA1D1D，所以BA⊥MA1.因为AD＝DM，所以∠AMD＝45°，同理∠A1MD1＝45°，所以AM⊥MA1，又AM∩BA＝A，所以MA1⊥平面AMB，又MA1⊂平面A1MB1，故平面AMB⊥平面A1MB1.(2)设AD＝1，则四棱锥M­ABB1A1的底面ABB1A1的面积S四边形ABB1A1＝4，高为AD＝1，所以四棱锥M­ABB1A1的体积V1＝eq\f(1,3)S四边形ABB1A1×AD＝eq\f(4,3).四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD的面积S四边形ABCD＝eq\f(3,2)，高为AA1＝2，所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积V2＝S四边形ABCD×AA1＝3，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(4,9).[方法技巧]面面垂直判定的两种方法与一个转化两种方法(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)一个转化在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直[针对训练]1.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求证：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求点C到平面A1ABB1的距离．解：(1)证明：因为平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，又AA1⊂平面AA1C1C，所以BC⊥AA1.因为∠AA1C＝90°，所以AA1⊥A1C，又因为BC∩A1C＝C，所以AA1⊥平面A1BC，又A1B⊂平面A1BC，所以AA1⊥A1B.(2)由(1)可知A1A⊥平面A1BC，A1A⊂平面A1ABB1，所以平面A1BC⊥平面A1ABB1，且交线为A1B.所以点C到平面A1ABB1的距离等于△CA1B的A1B边上的高，设其为h.在Rt△AA1C中，A1A＝2，∠A1AC＝60°，则A1C＝2eq\r(3).由(1)得，BC⊥A1C，所以在Rt△A1CB中，BC＝3，A1B＝eq\r(21)，h＝eq\f(BC·A1C,A1B)＝eq\f(6\r(3),\r(21))＝eq\f(6\r(7),7).故点C到平面A1ABB1的距离为eq\f(6\r(7),7).2.如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.(1)求证：EF⊥AC；(2)求几何体EF­ABCD的体积．解：(1)证明：如图，连接DB.∵DF⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面．∵EB⊥平面ABCD，∴EB⊥AC.设DB∩AC＝O.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥DB.∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB.∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF.(2)由(1)知EB∥FD.∵EB⊥平面ABCD，∴EB⊥BD，∴四边形EFDB为直角梯形．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，∴BD＝2，AO＝CO＝eq\r(3)，∴梯形EFDB的面积S＝eq\f(2＋4×2,2)＝6.∵AC⊥平面EFDB，∴VEF­ABCD＝VA­EFDB＋VC­EFDB＝eq\f(1,3)S·AO＋eq\f(1,3)S·CO＝4eq\r(3).考点三平行与垂直的综合问题1．平行关系之间的转化在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．2．垂直关系之间的转化在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．[典例]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.[证明](1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.[方法技巧]平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间”到“平面”、“低维”到“高维”的转化关系．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])1．若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若α⊥β，m⊥β，则m∥αB．若m∥α，n⊥m，则n⊥αC．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥βD．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n解析：选D选项A中，m与α的关系是m∥α或m⊂α，故A不正确；选项B中，n与α之间的关系是n与α相交或n∥α，故B不正确；选项C中，α与β的关系是α∥β或α与β相交，故C不正确；选项D中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.2．已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是()A．若m⊂α，则m⊥βB．若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC．若m⊄α，m⊥β，则m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，则n⊥α解析：选C对于A：若m⊂α，则m与平面β可能平行或相交，所以A错误；对于B：若m⊂α，n⊂β，则m与n可能平行、相交或异面，所以B错误；对于C：若m⊄α，m⊥β，则m∥α，C正确；对于D：α∩β＝m，n⊥m，则n不一定与平面α垂直，所以D错误．3．若α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是()A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β解析：选D对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A错误；对于选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.4.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在()A．直线AC上B．直线AB上C．直线BC上D．△ABC内部解析：选B连接AC1，如图．∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB，∵BC1⊥AC，BC1∩AB＝B，∴AC⊥平面ABC1.又AC在平面ABC内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面ABC⊥平面ABC1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC1内一点C1向平面ABC作垂线，垂足必落在交线AB上．故选B.5.一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P­ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有()A．6个B．8个C．10个D．12个解析：选C为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P­ABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面体P­AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形，故选C.6．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°解析：选B过球心O、点A以及晷针的轴截面如图所示，其中CD为晷面，GF为晷针所在直线，EF为点A处的水平面，所以OA⊥EF，GF⊥CD，CD∥OB，所以∠CAO＝∠AOB＝40°，∠OAE＝∠AGF＝90°.又因为∠EAC＝∠FAG，所以∠GFA＝∠CAO＝∠AOB＝40°.故选B.7．(多选)如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.则()A．DF∥平面BCEB．异面直线BF与DC所成的角为30°C．△EFC为直角三角形D．VC­BEF∶VF­ABCD＝1∶4解析：选BD对A项，因为AB∥EF，AB∥CD，所以EF∥CD，所以四边形CDFE确定一个平面．由于CD，EF的长度不相等，则DF，CE不平行，即DF与平面BCE有公共点，故A错误；对B项，连接OF，OE，OE与BF交于点G.因为OB∥EF，OB＝EF，OB＝OF＝1，所以四边形OBEF为菱形，则BE＝OF＝1，所以△OBE为等边三角形．由于点G为OE的中点，则∠OBG＝eq\f(1,2)∠OBE＝30°.因为AB∥CD，所以异面直线BF与DC所成的角为∠ABF＝∠OBG＝30°，故B正确；对C项，由于四边形OBEF为菱形，则BF＝2BG＝2eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\r(3).由面面垂直的性质以及线面垂直的性质可知，BC⊥BE，BC⊥BF，所以CF＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，CE＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).又EF2＋CE2＝3≠CF2，所以△EFC不是直角三角形，故C错误；对D项，因为BF＝eq\r(3)，BE＝1，EF＝1，所以S△BEF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝eq\f(\r(3),4).由面面垂直的性质可知，BC⊥平面BEF，所以VC­BEF＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×1＝eq\f(\r(3),12).过点F作AB的垂线，垂足为H，则FH＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(\r(3),2)，根据面面垂直的性质可知HF⊥平面ABCD，则VF­ABCD＝eq\f(1,3)×2×1×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)，所以VC­BEF∶VF­ABCD＝1∶4，故D正确，故选B、D.8．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为________．①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．解析：若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错