2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题（答案）

2023年全国新高考n卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

a3i对应的点位于(

1.在复平面内，1).

A.第一象限B.第二象限C.第三象限1).第四象限

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断

【详解】因为143i3&3L268

则所求复数对应的点为«舟第一象限

故选：A.

Bla22a2,若AB,则a(

2设集合AQa).

「2

A.2B.1C3D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据包含关系分a20和2a20两种情况讨论，运算求解即可.

【详解】因为AB,则有:

L)，小付宣您思；

若a20,解得a2,此时AQ2,

，付官型目；

若2a20,解得a1,止匕时AQ1

综上所述：a1.

故选：B.

3某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高

中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有

().

A.C黑脸种B.C20C40种

400200

y啰。种D.C40C20种

400200

【答案】D

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【解析】

【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.

【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取60—40人，高中部共抽取60—20,

600600

根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有。落C2；o0种.

故选：D.

1八,为偶函数，则a

4若fxxa).

A.1B.0C.D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a值，再检验即可.

【详解】因为f(x)为偶函数，则fQ)f(1),(1a)lnl

(1a)ln3,解得““

3

2X11

当a0时，fxxln-----.2x12<10,解得xx

2x12

则其定义域为x|x〉g或八I，关于原点对称

2x112x11

fxxIn------x--]-n—xInxln—fx,

x12xi2x12x1

故此时1A为f禺函数

故选：B.

x2

5.已知椭圆C:—y21的左、右焦点分别为F|，F2,直线“'与C交于A,B两点，若ARAB

3

2乙I口，y<y***

面积是).

22

A-3B正&D.

3c33

【答案】C

【解析】

【分析】首先联立直线方程与椭圆方程,利用0,求出m范围,再根据三角形面积比得到关于方

程，解出即可.

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yxm

【详解】将直线与椭圆联立丫，消去y可得4x26mx3m230,

1

1

9

因为直线与椭圆相交于…”点，则36m2443m30,解得2m2,

设F1到“”距离出下2到“d2FV2,0,F五0,

距离易知2

i

IV2m)

则di,d?\T

-J2m

FAB&正

2,解得皿或3^/2（舍去），

syf2m

0及AB3

故选：C.

111A

6.已知函数fxae在区间上单调递增,则a的最小值为（).

A.e2B.eC.e1D.e2

【答案】C

【解析】

x1n

【分析】根据fxae-0在L2上恒成立，再根据分参求最值即可求出.

x

>11

【详解】依题可知,fxae；。在12期成立，显然a0,所以xe

xa

设EAACx

,X12，所以gx1e'0,所以gx在12上单调递增,

13

gxg1e,故e—即a，即a的最小值为ei.

ae

故选:C.

1平,则

7.已知为锐角,cos-().

42

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1V5

【答案】D

【解析】

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出.

8.记S“为等比数列斗的前n项和，若S,5,S621s2S).

，则

8

A.120B.85C.85D.120

【答案】C

【解析】

【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据〜4的关系即可解出:

8

方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解.

a

【详解】方法一：设等比数列,a的公比为q

首项为I

若”’，贝仁66al32a,3s2,与题意不符，所以q1：

a1q4a1q6a1q2

由S.5,S21s121-J-------①,

065,--------

可得，1q1q1q

由①可得，1q2q121,解得:q24,

a1q811

所以S2-------4q1q4511685.

81q1q

故选：C.

方法二：设等比数列aQ

的公比为

因为S45,S621s2,所以r',否则S0

4

从而，S2,S4S2,S6S4,S8s

成等比数列,

6

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S

所以有，5S2飞21s25，解得：21或S?--

当S?1时，S2）S4S2,S6S4,S8S6）即为'"j,

易知，S2164,即S85

8.

58'22U

22U

当S?i时，&a2%ata】a21q1q,

与S5矛盾，舍去.

4

故选：C.

ss

【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握‘4的关

8

系，从而减少相关量的求解，简化运算.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.己知圆锥的顶点为P,底面圆心为0,AB为底面直径，APB120,PA2,点C在底面圆周上，

且二面角PAC0为45°,则（）.

A.该圆锥的体积为“B.该圆锥的侧面积为4占

C.AC2&D.aPAC的面积为6

【答案】AC

【解析】

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性

【详解】依题意，APB120,PA2,所以OPLOA0B

A选项，圆锥的体积为y兀邪1n,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为口琳22®i,B选项错误；

C选项，设D是AC的中点，连接“，

则…f2所以PD0是二面角PAC0的平面角，

贝IjPD045,所以OP0D1,

故ADCDJTh狐,则AC2式，C选项正确；

D选项，PD乖―fF，所以SPAC?2&g2，D选项错误.

22

故选：AC.

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10.设0为坐标原点，直线yy[31邂物线5y22pxp0雌g,且与C交于M,N两点,

1为C的准线，则().

A.p2B.|MN|-

C.以MN为直径的圆与1相切D.0MN为等腰三角形

【答案】AC

【解析】

【分析】先求得焦点坐标，从而求得「，根据弦长公式求得।L根据圆与等腰三角形的知识确定正确答

案

t详解】A选项：直线y3xW过点10，所以抛物线C：y'2pxp°的崖点

所以J1p2,2p4,则A选项正确，且抛物线C的方程为y24x.

乙

B选项：设MX1,,Nx2,y,

2

2IVAUAUUA.1V

illy3x,

y消去并化简得

1-1-I

解得X|3X2-，所以|xtx2p3-2—,B选项错误

ooo

cM,,,L..I"，1'，ILHU且以1口UF匚向〃刀'J/V,,,

C选项：设MN的中点为A,d”d”d,

因为d|ddz||MF||NF|||MNI，

乙乙乙

即A到直线1的距离等于MN的一半，所以以MN为直径的圆与直线1相切，C选项正确.

D选项：直线y禽xl,即WTyy0,

0到直线脚xyV30的距离为d#,

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所以三角形OMN的面积为L—

23

1

由上述分析可知y]-1

3

所以|0M|N

所以三角形OMN不是等腰三角形,D选项错误.

a0既有极大值也有极小值，则（).

A.be0B.ab0C.b28ac0D.ac0

【答案】BCD

【解析】

【分析】求出函数f（x）的导数f（X）,由已知可得f在'”'上有两个变号零点，转化为一元二次方

程有两个不等的正根判断作答.

kPax2bx

【详解】函数f（x）alnx-=的定义域为',求导得f（X）3b2c2c

xxXx2X3x3

因为函数f（x）既有极大值也有极小值，则函数f（X）在上有两个变号零点,而a0,

因此方程ax?bx2c0有两个不等的正根x“x°

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Ab28ac0

于是％%—0,即有b?8ac0,ab0,“二显然Mbc0,即1",A错误，BCD

a

2c

W—on

a

正确.

故选：BCD

(0D

12.在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的

概率为1；发送1时，收到0的概率为““，收到1的概率为1.考虑两种传输方案：单次

传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号

需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的

即为译码(例如，若依次收到1,0,1,则译码为1).

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1)(1)2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为(1)2

c.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为a)2(1)3

D.当0Q5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概

率

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求

出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.

【详解】对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1

接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为Q)a)a)(1)d产，A正确；

对于B,三次传输，发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件，

是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，

它们相互独立，所以所求概率为a)Q)a/，B正确；

对于C,三次传输，发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0>1,0,1、0,1,1和1,1,1的事件

和，

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它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为；(1yQyay(i2),c错误；

对于D,由选项C知，三次传输，发送0,则译码为0的概率’“'2(12),

单次传输发送0,则译码为0的概率P1，而°

因此PPa)^2)(1)(1)(12)0,即PP,D正确

故选：ABD

【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，

相互独立事件的积是解题的关键.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,b满足卜b|星|ab||2ab|,则忖

，______・

【答案】小

【解析】

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令cIb,结合数量积的运算

律运算求解.

【详解】法一：因为卜b||2ab|,即ab'第b?，

功rrrrrrr

则a2abb24a24abb2-整理得a22ab0>

又因为|ab|晶，即ab?3，

喈2nf3GrJ|小

,所以।।

法二：设cJb,则卜|瓜abc2b,2ab2cb,

rrr

r22r2rrr2r2rrr

由题意可得：c2b2cb,则c4cb4b4c4cbb2,

整理得：z「即M卜|晶

故答案为：事.

14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥，所

得棱台的体积为一

【答案】28

【解析】

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

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的体积公式直接运算求解

21

【详解】方法一：由于一一，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为一44632,

3

截去的正四棱锥的体积为L2234,

3

所以棱台的体积为32428

方法二：棱台的体积为:3164Jl6428

故答案为：28.

工B

8

11己知直线与c：x1-y24交于A,B两点，写出满足“ABC面积为丁”的m

5

的一个值_____.

【答案】2（2,241中任意一个皆可以）

22

【解析】

【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长|AB,以及点C到直线””的距离，结合面积公式即可解出.

【详解】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|2j4d2,

所以入说-d24/d2解得：d正,

2555

,|12g,24有+224

解得：m2或m

@5AJlm25Jlm25

故答案为：2（22；1中任意一个皆可以）.

22

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16已知函数1A51,1*,如图A,B是直线y4曲线'AJI

的两个交点,若〔AB

则f31

【答案】同

2

【解析】

2冗

【分析】设Axp-,Bx2,-,依题可得，/占不，结合万的解可得，XX

21T

22

f—B0以及即可得f(x)sin4x—JI,进而求得

从而得到的值，再根据33

【详解】设Ax1,Bx,1,由|AB|几一日冗

p2一可得一，

6xx6

21

1JI5n

由sinx—可知，x—2k兀或x—2kn,kZ,由图可知,

266

5兀2n2n

X1314.

为6百于‘即一T

8,

因为f-nsin-0,所以乙2,，即-Jikn,kZ.

3333

所以f(x)sin4x—nkmsin4x—mkm,

33

22

所以fxsin4x—n或fxsin4x—n,

33

rvv2

vV2

又因为,,所以f(x)sin4x—nfJIsin4冗—JI

o3

故答案为：叵

2

的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质,

【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数

以及特殊角的三角函数值是解题关键.

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四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17.记ABC的内角的对边分别为已知’3。的面积为3c为中点，且

JT

(1)若ADC—,求tanB；

3

(2)若bzc28,求he.

5

⑵bc2.

【解析】

【分析】(1)方法1,利用三角形面积公式求出a,再利用余弦定理求解作答；方法2,利用三角形面积公

“生，a小，边上的高，利用直角三角形求解作答•

式求出，作出

(2)方法1,利用余弦定理求出a,再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答；方法2,利用向量

运算律建立关系求出a,再利用三角形面积公式求出ADC即可求解作答.

【小问1详解】

方法1：在ABC中，因为D为中点，ADC,-AD1,

o

A

BDEC

111衣匹LABC—'解得a4,

则SADC-ADDCsinADC-IT

2222822

在4ABD中，ADB由余弦定理得c2BD2AD22BDADcosADB,

即c241221(1)7,解得c乖ri,n7415"

则cosB—=——-----，

2近214

sinBJlcos2BJl(^^-)2

DsinB小

所以tanB.......-

cosB5

方法2：在ABC中，因为D为中点，ADC，和1,

0

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更，解得a4,

则sADCLADDCsinADC-15

222

在ACD中，由余弦定理得b2CD2AD22CDADeosADB，

即b?4122113,解得b2

手,有AC2AD24CD,则CAD协

2

nR

C一，过A作AEBC于E,于是CEACcosC-AEACsinC*BE

62f

CC1,nAE>/3

所以tanB...

BE5

【小问2详解】

11

c2—a12-a1cos(冗ADC)

42

方法1：在AABD与ACD中，由余弦定理得

12

b2—a712-a1cosADC

42

整理得La

22b2C2,而b2c28,则a2事,

2

1/1也，解得sinJI

又SADCsinADCADC1,而0ADC口，于是ADC

222

所以bcJAD2CD22.

BC

方法2：在ABC中，因为D为中点，则2ADABAC,又CBABAC,

2,

于是4AD-CB(ABAC)2(ABAC)22(b2c2)16,即4a216,解得a2.

1邪1正,JI

又SADCsinADC解得sinADC1,而0ADCn,于是ADC

222

7

所以bcVAIPCD2.

6n为奇数

1&q为等差数列，b,记S”，T”分别为数列q,hS32

n2an>n为偶数的前n项和，

4

T316.

(1)求q的通项公式;

(2)证明：当n5时，TS.

nn

【答案】(l)a2n3；

n

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（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设等差数列q的公差为d,用与d表示S及I，即可求解作答

n

（2）方法1,利用（1）的结论求出Sn,bn,再分奇偶结合分组求和法求出Tn,并与S作差比较作答；方

法2,利用（1）的结论求出Scbn,再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出T”，并与S作差比较作答

n

【小问1详解】

n2k1

设等差数列今的公差为d,而bq6,kN

n2an,n2k

则«马池2a22冉2d,bjA6为2d6,

T曰'6d32

于7IX7解得可5d2,aa(nl)d2n3

4d1216.

所以数列q的通项公式是a2n3.

n

【小问2详解】

n(52n3)2n3n2kl,k

方法1：由（1）知，sn24n,bnN,

n24nGn2k

当n为偶数时，/h>2(n1)34n66n1,

13(6n1)n37

Tn——n'2-n,

2222

1

-n)(n24n)n(nD0,

当n5时，'Sn因此rSn，

22

3/m27/611

—(nD—(nD[4(n1)2-n

nTTnlN5,

当为奇数时，n2222

5

5)(n24n)—(n2)(n5)0,

当n5时，'Sn—n因此1；%，

22

所以当n5时，Ts.

nn

n(52n1n22n3n2kLk

方法2：由（1）知,S4n,b„N,

n2~4n6n2k

12(n1)3n144n6nIn27

当n为偶数时，工bn1)(bbn)_n

a2T-222

71

-n2—A(n24n)—n(n])0,因此TS,

当n5时，TnSn

2222

n,则

当为奇数时，若

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［、12n3n1144(n1)6n1

TnSAb")他b”h.i)-------------------------------------------------------------------------------

2222

3n2-n5,显然I；h1满足上式，因此当n为奇数时，T2n2£n5,

22i门n22

2

当n5时，*Sn(|-n,-1n5)(h4n)L(n2)(n5)0,因此T”S.

2n

所以当n5时,TSn.

n

19.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p（c）；误诊率是将未患病者判定为阳

性的概率，记为八”.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

pc0.5求临界值c和误诊率qc

(1)当漏诊率％时,

CA41VUXLz

（2）设函数-4,当。时，求的解析式，并求岖间的最

小值.

【答案】（1）C97.5,…

0008c0.82,95c100

(2)f(c)最小值为“

0.01c098*100c105

【解析】

【分析】（1）