2023年高考数学题型预测卷（上海） 猜题20 空间向量与立体几何（拓展）

猜题20空间向量与立体几何（拓展）

一、解答题

1.如图，在斜三棱柱48C-A4G中，AB1AC,AB-AC,侧面8旦0。为菱形，且NB/C=60。，点。

⑴求证：/上平面BBCC;

（2）求二面角C-BQ-8的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）-近

7

【分析】（1）分别延长线/）,区4交于E,连接CE,则CE即为平面AC。与平面A3C的交线，取中点F,

连接。尸，证得。尸/平面8BC。，又可证得〃/。尸从而有//平面BB&C；

（2）以C点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出面8QC与面用力B的法向量，用空间向量求二面角的余

则CE即为平面B.CD与平面ABC的交线,

因为。用=Z)C,取用C中点/，连接£)厂,

所以力尸_LB,C,DFu平面BtCD,

因为平面BC。，平面B8CC，且交线为8。,

所以OF1平面8BCC.

因为。为棱44的中点

所以。为dE的中点，所以〃/£>F,

所以/工平面8BCC；

(2)由(1)知S4=A£,因为NA4C=90。,48=AC.所以N8C£=90。，

取4G的中点G,因为侧面BBCC为菱形，且N8/C=60。，所以GCLBC,

由(1)知EC_L平面BBgC,所以GCLEC,分别以CB,CE,CG所在直线为％y，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

设BC=2,因为侧面B8CC为菱形，且NgBC=60。，

所以4(1，0,73),E(0,2,0),B(2,0,0),

贝I]*=(l,0,&CE=(0,2,0),8E=(-2,2,0),84=(-1,0,®

设平面BQC的法向量为m=(x,y,z),

CB心=0x+百z=0

则所以取加=（百,0,-1）,

CEm=02y=0

设平面BQB的法向量为”=(x,y,z),

BEn=0-x+y=0

则,所以取n=(瓜瓜1),

BB「n=0-X4-y/3z=0

所以cos<m,n>=6.年1=

2-V77

由图知二面角的平面角为钝角'所以二面角C-MO-B的余弦值为一平.

2.如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是边长为2的菱形，E,£G分别是8C,PC,4。的中点，ADA.

⑴证明：PG〃平面DM.

(2)求四棱锥P-A3co的体积.

【答案】(1)证明见解析

0)2夜

【分析】(1)由BG//DE,EF〃PB,结合面面平行的判定可得平面P8G〃平面。耳",由面面平行的性质可

证得结论：

JT

(2)由等腰三角形三线合一性质可说明四边形ABC。是边长为2,且一个内角为§的菱形，由此可得菱形

A3CD的面积：作P0J_8G,可证得P。/平面ABQ),由角度关系可求得产。，代入棱锥体积公式即可.

【解析】(1)E，G分别是BC,AQ的中点，四边形为菱形，.•.BE〃/)G,BE=DG,

••・四边形BEDG为平行四边形，,BG//DE,

又8G<Z平面。EF,。£匚平面。所，；.86〃平面。£尸；

E.F分别为8cpe的中点，，所〃尸8,

又尸平面£>所，EFu平面DEF,:.PB〃平面DEF,

又PBBG=B,尸8,3Gu平面尸6G,.・平面P3G〃平面DE尸，

PGu平面PBG,PGH平面DEF.

(2)连接8。，

A£)_L平面OEF,£>£匚平面0£/，；.4。_1。E，又ADHBC,:.BC±DE.

E为8c的中点，.•.B£>=C£>,又BC=CD,「△BCD为等边三角形,

ZBCD=,,-.S.=2S

HCDflr„=2xlx2x2x—=2>/3；

3ADI^UUHj2)、

延长5G至点。，使得P0J.8G,

由（1）知：AE>J_平面尸8G,又POu平面P8G,..AOLPO,

又BGcAD=G,36,4。（=平面480）,，「0_1平面48。。，

cosZ.PGB=-^~,:.cosZ.PGO-sinZ.PGO=./1---,

33V33

PO=PGsinNPGO=娓,

：-VSABCD=；SABCD.PO=±x2也X娓=20•

3.如图，在四棱锥P-4JCD中，E4Z）是等边三角形，底面ABCD是棱长为2的菱形，平面皿>_L平面

JT

ABCD,。是AD的中点，ZDAB=-.

(1)证明：03J_平面尸A£＞；

(2)求点。到平面R4B的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵姮

5

【分析】(1)连结8。，判断△A3。为等边三角形，证明08,AO,根据面面垂直的性质判断得到OB_L平

面PAD.

(2)等体积法转化%—=VP.AOfl求解.

【解析】(1)

证明：连结8。，

•.•底面ABC。是菱形，ND4B=1,即为等边三角形，

又。是的中点，

•平面上M>J_平面ABCO,平面24£)c平面ABC£>=A£),O8u平面A8C£),

。3_1_平面24。.

(2)设点。到平面A4B的距离为〃，易知OP=OB=&，

在白於中，PA=AB=2,PB=布,S△孙B=；X«XJ22-［半J=当，

由％得二叵h=W百xlxB解得〃=巫，

32325

点。到平面PAB的距离为姮.

5

【点睛】.

4.如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是等腰梯形，ABCD,AB=2CD=4.平面248,平

面ABC。，。为A8的中点，ZDAO=ZAOP=60°,OA=OP,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.

⑴求证：平面PCDJL平面AFGB；

(2)求平面P/)E与平面ABC。所成锐二面角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】（1）根据线面垂直判定定理以及性质定理，结合面面垂直判定定理，可得答案;

（2）建立空间直角坐标系，利用二面角的空间向量计算公式，可得答案.

【解析】（1）如图所示，取A。的中点”，连接印9,HP,

在等腰梯形ABC。中，ABCD,AB=4,8=2,ZDAO=60°.

为AB的中点，即有四边形8CDO是平行四边形，

二OD//BC,ZDOA=NCBO=ZDAO=60°.

二△04）为正三角形，/.AD=2,HDLAO.

在」AOP中，OA=OP=2,ZAOP=60°,

二一AOP为边长为2的正三角形，AP=2,PHYAO.

AP=AD,又尸为FD的中点，/.AFYPD.

VHDLAO,PHA.AO,HDcPH=H,u平面

40，平面;7〃），即平面；PDu平面/.ABLPD.

而G为PC中点，则FG//8//AB,又AF,A8u平面AFGB,PD_L平面AFGB.

:u平面PCD,：.平面PCD±平面AFGB.

（2）PHVAB,平面平面ABC。，平面E45c平面458=Afi,平面丛B,

，平面ABC£>,

.•.由（1）知，PH,HD,AB两两垂直，

以H为坐标原点，HD,HB,”P所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则”（0,0,0）,40,0,6），0（6,0,0）,E¥尚，0，

\7

于是HP=（0,0,6）,P力=（石,0,-石），DE=f-^,|,0.

（22J

设平面PDE的法向量为。=（x,y,z）,

A/3X-^3z=0,

n-PD=0,

则即x/35取x=5,则〃=(5,石,5b

n-DE=0,--x+-y=0,

22，

设平面P/5E与平面ABC。所成锐二面角为0,

:HP为平面ABCD的一个法向量，

AIWp|!——刊5后5

•COS夕=COS%HP\=―;-----r=-f=——7==—j=

11|«||wp|5X也屈・

„二口^啮’杵黑W

••・平面PDE与平面A3。所成锐二面角的正切值为空.

5

5.如图，在四棱锥P—A3CD中，E为棱AD上一点，PE±AD,PA±PC,四边形8CDE为矩形，且

BC=3,PE=BE=6,PF=Lpc,PA"^BEF.

4

(1)求证：PAJ_平面尸CD；

(2)求二面角F—A3—Q的大小.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)连接AC交座于点G,连接FG,利用线面平行的性质得RV/FG,利用平行线分线段成比

例可得线段长度，从而由勾股定理得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明线面垂直；

(2)利用线面关系，证明线线垂直，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算分别确定平面A8尸与

平面4。的法向量，根据坐标运算得二面角的余弦值，即可确定二面角大小.

【解析】(1)连接AC交8E于点G,连接FG,

因为P4〃平面BEF,平面PAC'平面=以u平面尸AC,所以RW/FG,

AFAGPFI

又BE//CD,所以一~BC~~GC~~FC~3

又OE=3,所以AE=1,A£>=4.

因为尸ES4),所以PA=占炉+蛇=2，PD=y]PE2+DE2=2^

所以？T+P£)2=A£>2,所以B4_LPZ),

又24，PC,PDexPC=P,PD,PCu平面PCD，所以PA，平面PCD.

(2)因为PA_L平面尸C£>,CDu平面尸CO,所以R4，C»,

又AOJ.CZ),PAcA£)=A,PAAOu平面PA。，所以C£>L平面PA。，

又PEu平面PAD,所以PE_L8,又PEJ.AD,AD8=。A。,。。u平面ABC。

所以PE_L平面ABCD

如图建系，

设平面ABF的一个法向量为加=(x,y,z),

AF-m=0--+=0z=2y-

则<444=>\r,取y=l,得加=(G,1,2),

[g，"=o[一+a，=0l”5

又平面AB。的一个法向量为〃=(0,0,1),

匕一、1,•，m•几2近口二瓜人

所以cos〈见〃〉=-----=一产=—，且二面角厂一AB-O为锐角，

|加||〃|2V22

jr

故二面角尸一A3—。的大小为了.

4

6.如图所示的多面体是由一个直三棱柱48。-44A与一个四棱锥拼接而成的，四边形ABC。为

直角梯形，AD//BC,ABLAD,BC=4,AB=AD=2,E,尸分别为AB,AZ)的中点.

⑴求证：EFH平面BtCDt；

(2)若直线A8与平面B0R所成角的正弦值为四，求二面角片-CR-8的余弦值.

6

【答案】(1)证明见解析

⑵走

2

【分析】(1)由三角形中位线性质可得EF〃8D〃BQ1,根据线面平行的判定定理可证得结论；

(2)以A为坐标原点可建立空间直角坐标系，设胡="(m>0),利用线面角的向量求法可构造方程求得加，

再利用二面角的向量求法求得结果.

【解析】(1)由直三棱柱ABD-ABQ的性质知：BD"B\D’,

旦尸分别为A8,AZ)的中点，.•.£尸〃30,尸〃8Q,

QBRu平面Bg,u平面Bg，二E/〃平面Bg.

(2)由直棱柱的性质得：4A，平面A88,

A8,A£)u平面A8C£),/.AA,±AB,A^IAD-

则以A为坐标原点，分别以AB,A。e所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,

设A4)=zn(/n>0),则4(0,0,0),8(2,0,0),C(2,4,0),flj(2,0,/n),Dt(0,2,m),

..AB=(2,0,0),片。=(°，4，一加)，4瓦=(-220),

设平面BCA的法向量为〃=(x,y,z),

n-B.C=4y-mz=0.、

则〈,令y=〃2,解得：x=m=4,:.n=(m.m.4)；

n•BQ]=—2x+2y=09z

设直线AB与平面Bg所成角为e,

则$皿6*=卜。$<48,〃>卜「：，|=——二萼,解得：%=2,

।।网刊2也加+166

平面Bg的一个法向量〃=(2,2,4),

又8c=(0,4,0),叫=(-2,2,2),

设平面BCD1的法向量为加=(a,A,c),

m-BC=4b=0

则〈，令〃=1,解得：b=0,c=l,.\/n=(l,0,l)；

m-BDx=-2a+2b+2c=0

.I|」"T_6_V3

1I4W2屁也2

由图可知：二面角瓦-C0-8为锐二面角，，二面角四-CA-2的余弦值为且.

2

7.如图，在四棱锥P-ABC。中，底面A3CO为菱形，AC±PE,PA=PD,E为棱AB的中点.

(1)证明：平面平面ABC£>；

(2)若P4=AQ,44)=60。，求二面角E—PD—A的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据线面、面面垂直的判定定理分析证明；

(2)建系，利用空间向量求二面角.

【解析】(1)取AO的中点。，连接OP,OB,BD,OE,

•.•底面ABC。为菱形，则AC上5。，

又O,E分别为AD,AB的中点，则OEBD,

故ACJ_QE,

注意到ACJ_PE,OEIPE=E,OE,PEu平面POE,

则AC_L平面POE,

：OEu平面POE,则ACLOE,

又•：PA=PD,E为棱AB的中点，则AO_LOE,

ACIAD=A,AClAE>=A,AC,A£>u平面ABC。，

二0丘_1_平面48。。，

且P。u平面PAD,故平面PAD_L平面ABCD.

(2)若F4=AO,N&4£>=60。，则△成£>为等边三角形，且。为AO的中点,

故08_L"),

由(1)得，如图所示建立空间直角坐标系O-^z,

设AD=2,则P(0,0,>/3),£(-,—,0),£>(-1,0,0),

22

uun/L\UUD(3出、

可得Z)P=(1,O,V3),DE=-,y,0,

nDP=x+>/3z=0

设平面尸。石的法向量〃=(x,y,z),则｛3G

〃。七=二工+2>=0

22，

取x=6,则产-3,z=-l,

所以〃=(石,-3,-1),

取平面PDA的法向量"?=(0,1,0),

r11nm33g

nylillcos<nrn>=-r-tr-=——==-----,

Jy|〃||川岳13

设二面角E—PO—A为夕Wk,1,

则cos0=3y,可得sin6=\/1-cos20=2y,

1313

8.如图，已知矩形A8CO是圆柱的轴截面，P是CO的中点，直线8P与下底面所成角的正切值为;，矩形

A8CQ的面积为12,MN为圆柱的一条母线(不与A3,CD重合).

N

(1)证明：BNLMP；

(2)当三棱锥8-MVP的体积最大时,求M到平面PBN的距离.

【答案】(1)证明见解析

⑵返

II

【分析】（1）证明助V_L平面MNC即可证明结论；

（2）设PC=a,进而结合题意得。=&,进而得%一一=*M8T2,再结合基本不等式得BN=NC=3

时，三棱锥B-MNP的体积最大，最后根据等体积法求解即可.

【解析】（1）证明：连接NC,因为BC是底面圆的直径，

所以4VC=90。，即8V_LNC,

又BN>MN,且MNcNC=N,MN,NCu平面用NC,

所以BN,平面MNC,

又MPu平面MNC,

所以BN_LMP.

PC1

（2）解：根据题意，—,设尸C=a,则3C=3。，CD=2a,

BC3

又因为8cxe£>=12,所以6a2=12,得〃=&.

所以MN=CD=26,BC=3近，

设BN=t,则NC7BC°-BN。=加一干,

由（1）可知比VJ_平面MNP,乂P到MN的距离为NC,

所以%-MvP=gtMNxNC）xBN=*>fxJ18-7+（；一）=30.

当/=i8—/,即r=3时，取等号.

所以，当8N=NC=3时，三棱锥8-MNP的体积最大.

设M到平面PBN的距离为〃，则九一s种=%-MW，即g（；BNxNp]x/2=3五,

又BN=3,NP='NC〜CP2=>/!!，

所以由：(G8NXNP]X//=30得〃=返

312)11

所以，M到平面力加的距离为更互

11

9.如图，球。是正三棱锥尸-A3C和Q-H8C的外接球，M为ABC的外心，直线AM与线段BC交于点

D,。为BC的中点，两三棱锥的高之比为PM：QM=3:1,E为以上一点，且PE:E4=5:3.

（1）证明：PE工EC；

（2）求二面角E-BC-Q的正弦值.

【答案】（1）证明见详解

3^1

14

【分析】（1）建立空间直角坐标系，求PE,EC的坐标，根据数量积的性质证明PELEC；

（2）由线面垂直判定定理证明平面BCE,求平面BCE和平面BCQ的法向量，根据向量夹角公式求二

面角E-3C-Q的正弦值.

【解析】（1）过"作版0'〃8C,交AB于AT,易证MA,MP,MM'两两垂直，建立如图所示的空间直

角坐标系M-孙z.

设AM=V5，球。的半径为R,

则在.AON中，有々=(石「，解得7?=2.

则4(6,0,0),P(0,(),3),C-半,1,0

I22

,?PE=-PA,

8

AP=(-6,0,3),所以PE=£PA=孚,0,-詈

''818o

；.P£C£=--+0+—=0,

648

二PELEC.

(2)因为AO_L8C,8C_L也，

ADP/)=O,AZ),PDu平面PA。，

所以8c上平面外。，又Rlu平面

二BC1PA.

由(1)得PALEC,又EC\BC=C,EC,8Cu平面BCE,

.♦.ft4_L平面8CE,

所以平面BCE的一个法向量为4=AP=bG,0,3).

又,：B-C-与「3，。，2(0,0,-1),

CB=(0,3,0),CQ=.

设平面BCQ的法向量为％=(x,y,z),

CB•%=3y=0,

则CQ.%=*x+|y_z=o,

令x=2,则y=。，z=5/3，

=(2,0,@为平面BCQ的一个法向量.

设二面角E-8C-Q的平面角为e,

即日=屈伏㈤卜品｛=益万$又同0,兀]，

."•sin0=A/1-COS20=.

14

故二面角E-BC-。的正弦值为通.

14

10.如图甲，在四边形P8C£>中，PD//BC,PB=BC=CD=AD=PA.现将AABP沿AB折起得图乙，点M

是PO的中点.证明：

(1)PC±AB；

(2)PC_L平面43M.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)如图，取AB的中点E,连接尸E,CE,AC,由题意可证△PBA、△A8C是正三角形，则PELA8、

ECLAB.根据线面垂直的判定定理和性质即可证明；

(2)如图，取PC的中点N,连接MN,BN,Ml]MNIIAB,即A,B,N,M四点共面，得BNLPC.由(1),

结合线面垂直的判定定理即可证明.

【解析】(1)如图，取AB的中点E,连接PE,CE,AC,

•••A£>=3C且A£>〃BC,故四边形ABCD是平行四边形，

，AB=C。且48//CO.

又PB=PA^CD,

：.PA=PB=AB,即APBA是正三角形，

J.PELAB,在图甲中，NPAB=6(f，则ZABC=60°,

由AB=8C,知△ABC是正三角形，ECLAB.

又PEEC=E,PE、ECu平面尸EC,

平面PEC,又PCu平面PEC,

：.AB±PC.

(2)如图，取PC的中点N,连接MN,BN,

是尸。的中点，:.MNHCD.由(1)知AB〃CD,

：.MN//AB,：.A,B,N,M四点共面.

♦:PB=BC,：.BN±PC.

由(1)AB_LPC,又AB'?BNB,48、BNi平面ABNM,

PCI.平面ABNM,即PCI.平面ABM.

2兀

11.如图1,在J1BC中，AB=AC=4,ZBAC=—,E为BC的中点，F为AB上一点，且防上他.现

将ABEF沿EF翻折到尸，如图2.

Si图2

(1)证明：EFlAB'.

7T

（2）已知/8'必=1,求四棱锥3'-ACE尸的体积.

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据条件，证明平面AFB',再由线面垂直的性质得到线线垂直即可；

（2）根据条件，求出四棱锥B'-ACEF的底面面积和高，再求出四棱锥8,-ACEF的体积即可.

【解析】（1）证明：在ABC中，EFVAB,

AEF1AF，EFA.FB,

"：AFr>FB'=F,AFu平面AfB',Wu平面A阳',

EF工平面AFB'，又Affu平面AFB',

/.EFVAB.

(2)作切交A3于M,

,/EF工平面AFB',B'Mu平面AFB',B'M±EF,

又ABcEF=F,ABu平面ACEF,EFu平面ACEF,

氏M_L平面ACEF.

2兀

在中，AB=AC=4,ZBAC=—,

3

.•.NC8A=f,fiC=4j3,又E为8F的中点，EFLAB,

6

:.EF=>/3,BF=3,5LZB'FA=~,：.B'M=—.

32

，四边形ACE/7的面积S.CEF=SABC-S0EF=gx4x4xsin百=上^,

：・四棱锥8'-ACEF的体积VB._ACEFSACEF=^x^-x^-=^-.

12.如图所示，正方形AADQ与矩形ABC。所在平面互相垂直，AB=2AD^2,A.DnAD^O,E为线段

A8上一点.

(1)当OE〃平面。BC,求证：E为A3的中点;

(2)在线段48上是否存在点E,使得平面。平面ARC?若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理

由.

【答案】⑴见解析;

(2)存在，当AE=g时，平面。QEJ_平面ARC.

【分析】(1)由题意可知。为A2的中点，由线面平行的性质定理可得0E〃22,即可得证；

(2)由面面垂直的性质定理可得AC,只需满足ACLCE,即可得AC,平面〃。E,从而有平面

DQE，平面ARC，故只需找出4CJ_Z)E成立时，AE的长度即可.

【解析】(1)证明：因为为正方形，AQcA"=。，

所以。为4R的中点，

又因为0E〃平面RBC,平面ABRc平面=,OEu平面ABR,

所以OE〃BR,

又因为。为AR的中点，所以E为A8的中点;

(2)存在，当AE=；时，平面平面AQC,理由如下:

设ACc£)E=尸，

3

因为A4QD为正方形，所以RO_LA。,

又因为45=平面期ROc平面45C£),平面AAQQ!•平面ABC。，OQu平面"1AO,

所以RO_L平面ABC£),

又因为ACu平面ABCZ),所以。AC,

又因为在矩形ABC。中，AB=2,AD=l,

1Ap1

当AE=一时，在Rt/XADE中，tanZADE=——=-,

2AD2

在Rt/XABC中，tanZBAC=^=1

AB2

所以ZAOE=NBAC,

又因为NBAD=ZBAC+ADAC=90°,

所以ZAOE+NZMC=90。，则ZA/T>=90。，

所以AC_LOE,

又因为DEID»=D,DE,。。u平面。QE,

所以ACL平面ROE,

又因为ACu平面ARC,所以平面。QE_L平面4£>C.

13.如图，在四棱柱A8C3-ABCR中，已知底面ABC。是菱形,

AC=2BD=2AA=4,AC,±CCt,AAt±BD,E是侧棱BB,上一点.

（1）若BE=BR证明：CG_L平面A£E：

Q）若BE=gB、E,求二面角E—AG—C的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵可

【分析】（1）由5。1平面4。64得8。，6。，进而证明CG，GE,再结合已知和判定定理即可证明；

（2）过G作GFLAC,垂足为尸，进而证明GF，平面A8C。，再以0为坐标原点，OB,OC所在直线

分别为X，丁轴建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【解析】（1）证明：如图，设AC,BD交于点0,连接G。，AG，

因为四边形ABCD是菱形，AC=4,BD=2,

所以8Z)_LAC,BC=B\C\=5

因为A4,ACu平面ACGA，MAC=A,

所以平面ACC14,

AB

因为GOu平面ACCa，所以BOLC0,

连接BQ,DC,,所以BG=Z)G，

因为AG_LCG，所以CQ=gAC=2,

所以BJ=B£=布.

因为BE=qE,所以BBI，GE,所以Cq^GE.

因为4G，C|Eu平面AC|E,AC「C\E=C\,

所以CC_L平面AGE.

(2)解：过C1作C/，AC,垂足为尸，

因为91平面4CGA，C/u平面ACCM，所以BD，GF,

又GF，AC,AC,3£>u平面A8CD,ACBD=O,所以C/J•平面A8CD

如图，以。为坐标原点，OB,OC所在直线分别为x,y轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),5(1,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),弓(0,1，6),

所以AR=(0,3,月，CC；=BB；=(O,-L，⑹,

1\(1月1

因为BE=；B]E,所以BE=gB4=0,--,^-,

贝亭)，所以

易知平面ACCM的一个法向量为i=。,0,0),设平面4GE的法向量为m=(x,y,z),

3y+Gz=0

AC.-m=0

则,即5G八

AE-m=0x+—y+——z=0

33

2

令y=i,则z=-6，%=一§，所以优=

设二面角E-AG-C的大小为。，

2

所以|8$。|=帘=73=>/io

〃-7胴I[pI。’

所以sina=M0,即二面角E-AG-C的正弦值为迎.

1010

14.如图，在三棱台ABC-OE/中，平面OE84_L平面ABC,平面J_平面ABC,AB：BE：DE=4：5：

1.

C

(1)求证：AD±BC；

(2)若AABC是等边三角形，试问：棱BE上是否存在一点H,使得二面角“一AC-3的平面角为?？若存在,

求出黑的值；若不存在，请说明理由.

HB

【答案】（1）证明见解析

⑵存在,总

【分析】（1）在平面ABC内，过C点作直线/，回，过B点作直线帆_LAC,由面面垂直的性质得出相，4）,

HAD,结合线面垂直的判定以及定义得出AZ）

（2）以点A为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【解析】（I）在平面ABC内，过C点作直线过B点作直线m_LAC,

因为平面£>E8A_L平面ABC,平面。£BAc平面ABC=AB,/u平面ABC,

所以/人平面DEN4.

因为A£>u平面。E8A,所以同理可证，〃_LA£）.

因为/,为相交直线，I,机u平面ABC,所以AD_L平面ABC

又5Cu平面ABC,所以AO工BC.

(2)设£>E=1,则AB=4,BE=5,

易得四边形DE8A为直角梯形，所以AD=j8E2-(AB-Z)E)2=4,

以点A为原点，以AB,AQ和平面ABE。的一个法向量的方向分别为x轴、z轴、轴的正方向建立空间直

角坐标系，如图所示，

z,

则A（0,0,0）,3（4,0,0）,C（2,2A/3,0）,£＞（0,0,4）,

则m=仅2G0）,AB=（4,0,0）,AO=（0,0,4）,

i3

则BE=BA+AD+DE=~AB+AD+-AB=-^AB+AD=（-3,0,4）,

设WJAH=AB+BH=AB+AB£=（4-3A,0,42）,

易知4=（0,0,1）是平面ABC的一个法向量.

uu

设平面AHC的法向量为%=（x,%z）,

…n-AC=02x+2\/3y=0

人2=即］（4-3/l）x+44z=0'

取z=36一46,则x=4百%，

因此〃2=（4e21/1,3月"4名）是平面AHC的一个法向量.

TT

假设存在点”，使得二面角"-AC-6的平面角为w，

则cos^JcosH屋J%闻「|34闽

、3'（「2）1匐闷,48/12+1622+3（3/1-4）2

12

化简得17万—216之+144=0,解得4=万或2=12（舍去），

因此棱BE上存在一点”，使得二面角H-4C-B的平面角为£,此时空=

3HB

15.如图，点C在直径为A8的半圆。上，8垂直于半圆。所在的平面，BC〃平面A0E.昱CD/1BE.

D

(1)证明：平面">E_L平面AC。

(2)若AC=1,AB=5异面直线AE>与破所成的角是45。，求三棱锥A-BCE的外接球的表面积

【答案】(1)证明见解析；

(2)67t.

【分析】(1)根据给定条件，证明5C/平面AC。，再借助线面平行可得3C〃OE,然后利用线面垂直的

判定、面面垂直的判定推理作答.

(2)取AE的中点连接确定球心为M,再计算球半径及表面积作答.

【解析】(1)因为点C在半圆。上，A8为直径，则BCJ.AC,而C£)_L平面ABC,8Cu平面ABC,

于是COL3C,

又AC8=C,AC,CZ)u平面AC。，则有8cl平面AC£>,由以>//3E知点B,C,£>,E共面，

又BC〃平面ADE,平面BCOEc平面4)E=£>E,BCu平面8C0E,

因此BC7/DE,即有平面AC。，又OE在平面ADE内，

所以平面4)EJ■平面AC。

(2)由(1)知，CDLAC,因为CD"BE,则-4)C为AO与BE所成的角，即NAOC=45,

则C£>=AC=1,平行四边形88E中，BE=CD=1,因为C£>_L平面ABC,则有平面ABC,

ABu平面A8C,则又8C_LAC,CD8c=C,CD,8Cu平面BC£)E,

于是4^_1_平面38£,而CEu平面3cDE,从而取AE的中点M,连接CM,8M,如图，

因此8A/=AM=EM=CM,则点M是三棱锥A-BCE的外接球球心，UnAE2=AB2+BE2=6,

所以三棱锥A-BCE的外接球表面积S=4n-AM2=4jt-(-^A£)2=n-AE2=6兀.

16.正四棱锥P-4?C。中，Afi=2,PO=3,其中。为底面中心，”为上靠近户的三等分点.

(1)求四面体M-ACP的体积；

(2)是否存在侧棱抬上一点N,使面CMN与面ABCD所成角的正切值为血？若存在，请描述点N的位置;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴:

(2)存在侧棱PB上一点、N,使面CMN与面A8CD所成角的正切值为0，此时BN=『P或BN=甘BP

【分析】(1)连接AC,8。交于点。，过M作于点。，根据〃位置可得“Q,以△E4C为底,

MQ为高可得四面体体积;

(2)以。为坐标原点，OC,OD,0P分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，利用坐标法，结合二

面角确定点N位置.

【解析】(1)

如图所示，连接AC,BD交于点、0,过M作MQ，。尸于点。，

由四棱锥P-ABCO为正四棱锥，且。为底面中心，

得AC=B£>=2正，D0=^BD=y/2,P。1平面ABC。，BD1AC,

：.POLBD,

又POIAC=A,PO,ACu平面PAC,

.•.3。，平面PAC,

又MQLPO,则

因为"为PO匕靠近P的三等分点，

则加。=；。。=孝，且•平面PAC,

所以Vw=；SvQ-MQ=；T-ACPO-MQ=；xgx20x3x¥=|；

设平面CMN与平面A3C£）所成角为。，则tan。=也，cos0=——，

3

如图所示，以。为坐标原点，0C,。。，OP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系,

则0（0,0,0）,3（0,-夜,0）,C（a,0,0）,P（0,0,3）,

因为“为上靠近P的三等分点，

iuiuuuir

则Io,],2,且OP=（0,0,3）,CM=【夜flBP=（0,72,3）,

、3

UUUlUUULIU,J—\

设BN=4BP（04/l4l）,BN=（O,j2/l,3夭）,

则N（0,在1-0,32）,OV=（->/2,72A-^,3A）,

设平面CMN的法向量为〃=（x,y,z）,

-V2x+^-y+2z=0

CM几=0

则,即

CN-n=0-V2x+（V22-V2）y+32z=0

令y=94-6,则。=卜彳一10,9/1-6,3a/1-4五），

又由（1）得P0上平面ABC。,

UL1I

则平面ABC。的法向量为。P=（0,0,3）,

3（3&-4垃）

uunr

所以cos。=cosOPB

3•49/1-10/+（9/1-6『+（3夜/-4夜）

解得泻或，g

所以存在侧棱抬上一点N,使面CMN与面ABCD所成角的正切值为近，此时8N=|〃P或BN=,BP.

17.如图，四棱锥的底面为正方形，/＞£＞，底面ABC。，M是线段产。的中点，设平面皿＞与平

面尸BC的交线为/.

(1)证明/〃平面BCM

(2)已知PD=AD=I,。为/上的点，若尸5与平面QC。所成角的正弦值为是正，求线段QC的长.

3

(3)在(2)的条件下，求二面角。-CQ-M的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵|"|=6

(3)1

【分析】(1)先证明AO〃平面P8C,结合线面平行的性质定理可证/〃平面8CW；

(2)建立空间直角坐标系，设Q(，"，0,1),计算出平面QC。的一个法向量为〃=(1,0,-，〃)，结合P5与平面QCD

所成角的正弦值为是逅解出〃?=1,进而可得QC的长；

3

(3)分别计算二面角两个半平面的法向量，结合空间角的向量求法即可求解.

【解析】(1)在正方形ABC£＞中，AD//BC,

因为AD0平面P8C,8Cu平面P8C,所以平面P8C,

又因为ADu平面小£),平面R4DC平面P8C=/,所以4。〃/,BC//1

因为BCu平面

MBC,平面MBC,所以/〃平面

(2)如图建立空间直角坐标系。-孙z,

因为PD=A£>=1,则有0(0,0,0),C(0,l,0),A(l,0,0),P(0,0,l),80,1,0),

UUL

设则有DC=(0,l,0),丑=(加,0,1),尸8=(1,1,-1),

,、DCn=0fy=0

设平面QCD的法向量为"=x,y,z,则，即'八，令x=l,则2=一凡所以平面Qd>的

[DQn=01〃?x+z=0

一个法向量为"=(l,o,F),则cos(/〃,、P八B\)=丽n-PB=61+402+m+1

因为所与平面QC。所成角的正弦值为是如，

3

所以Icos/tt,=J：，=半，

1\71区品有i3

解得m=l,所以|QC|=/.

(3)由(2)可知平面QC。的一个法向量为〃=(1,0,-1)

因为“是线段尸D的中点，所以

于是=设平面MCQ的法向量机=(x,y,z)

I”n[-x+y-z=0

QC-171=0',

则〈，即〈1八.令z=2,得y=l,x=-l,/n=(z-l,l,2)

MCm=o.y--乙z=o

/\mn-3V3i

8s六丽[二万后=一5"'所以二面角D-CQ-M的正弦值为]

2

18.如图，四面体A8C。的