高三数学复习微专题19：直线与圆

微专题19直线与圆一、基本技能练1.(2023·蚌埠三模)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是()A.相交 B.相切C.相离 D.无法确定2.(2023·宁波调研)已知直线xcosθ＋ysinθ＝1(θ∈R)与圆O：x2＋y2＝4交于A，B两点，则∠AOB＝()A.θ B.2θC.eq\f(π,3) D.eq\f(2π,3)3.(2023·武汉模拟)若两条直线l1：y＝3x＋m，l2：y＝3x＋n与圆x2＋y2＋3x＋y＋k＝0的四个交点能构成矩形，则m＋n＝()A.2 B.4C.6 D.84.折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O(0，0)，A(2，0)，C(0，1)，将矩形折叠，使O点落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是()A.[0，1] B.[0，2]C.[－1，0] D.[－2，0]5.(2023·石家庄模拟)“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝eq\r(2)，则k的取值范围为()A.[eq\r(3)－2，eq\r(3)＋2]B.(－∞，2－eq\r(3)]∪[2＋eq\r(3)，＋∞)C.[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]D.(－∞，eq\r(3)－2]∪[eq\r(3)＋2，＋∞)7.(多选)(2023·常德模拟)已知圆C：(x－a)2＋y2＝a2(a>0)与圆M：x2＋(y－4)2＝4，P，Q分别为圆C和圆M上的动点，下列说法正确的是()A.过点(2，1)作圆M的切线有且仅有一条B.存在实数a，使得圆C和圆M恰有一条公切线C.若圆C和圆M恰有3条公切线，则a＝3D.若|PQ|的最小值为1，则a＝18.已知圆C：x2＋y2＋bx＋ay－3＝0(a，b为正实数)上任意一点关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a2＋b2的最小值为()A.4 B.8C.6 D.4＋2eq\r(3)9.(2023·徐州模拟)已知圆C：x2＋y2＝4，M，N是直线l：y＝x＋4上的两点.若对线段MN上任意一点P，圆C上均存在两点A，B，使得cos∠APB＝eq\f(1,2)，则线段MN长度的最大值为()A.2 B.4C.4eq\r(2) D.4eq\r(3)10.(多选)(2023·潍坊模拟)已知圆C：x2＋y2－4y＋3＝0，一条光线从点P(2，1)射出经x轴反射，下列结论正确的是()A.圆C关于x轴的对称圆的方程为x2＋y2＋4y＋3＝0B.若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3x－2y－4＝0C.若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则|PB|＋|BA|＝2D.若反射光线与圆C交于M，N两点，则△CNM面积的最大值为eq\f(1,2)11.(2023·郑州模拟)经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为________.12.(2023·广东名校联考)在平面直角坐标系xOy中，设k∈R，直线l1：x＋ky＝0与直线l2：kx－y－2k＋1＝0交于点P.圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则|PO|·|PC|的最大值为________.二、创新拓展练13.(2023·合肥质检)已知AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点.若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则实数m的取值范围是()A.[－eq\r(2)，eq\r(2)] B.[－eq\r(3)，eq\r(3)]C.[－2，2] D.[－3，3]14.(多选)(2023·沈阳质检)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，点M是直线l：y＝－x－1上的动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是()A.切线长|MA|的最小值为eq\r(6)B.四边形ACBM面积的最小值为2eq\r(3)C.若PQ是圆C的一条直径，则eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))的最小值为7D.直线AB恒过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))15.(多选)(2023·青岛适应性检测)已知A，B是平面直角坐标系xOy中的两点，若eq\o(OB,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))(λ∈R)，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝r2(r>0)，则称B是A关于圆x2＋y2＝r2的对称点.下面说法正确的是()A.点(1，1)关于圆x2＋y2＝4的对称点是(－2，－2)B.圆x2＋y2＝4上的任意一点A关于圆x2＋y2＝4的对称点就是A自身C.圆x2＋(y－b)2＝b2(b>0)上不同于原点O的点M关于圆x2＋y2＝1的对称点N的轨迹方程是y＝eq\f(1,2b)D.若定点E不在圆C：x2＋y2＝4上，其关于圆C的对称点为D，A为圆C上任意一点，则eq\f(|AD|,|AE|)为定值16.在平面直角坐标系xOy中，圆x2＋y2＝1交x轴于A，B两点，且点A在点B的左侧，若直线x＋eq\r(3)y＋m＝0上存在点P，使得|PA|＝2|PB|，则实数m的取值范围为________.17.在平面直角坐标系xOy中，过点A(0，－3)的直线l与圆C：x2＋(y－2)2＝9相交于M，N两点，若S△AON＝eq\f(6,5)S△ACM，则直线l的斜率为________.18.(2023·义乌适考)已知A，B，D三点在圆C：(x＋2)2＋y2＝36上，△ABD的重心为坐标原点O，则△ABD周长的最大值为________.参考答案1.A[已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1，1)，将点(－1，1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1，1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交.]2.D[圆心O(0，0)到直线xcosθ＋ysinθ＝1的距离d＝eq\f(1,\r(cos2θ＋sin2θ))＝1.又圆O的半径为2，所以sin∠BAO＝eq\f(d,|OA|)＝eq\f(1,2)，所以∠BAO＝eq\f(π,6)，所以∠AOB＝π－∠BAO－∠ABO＝π－2∠BAO＝eq\f(2π,3)，故选D.]3.D[圆的方程可化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,2)－k，则该圆的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(1,2)))，且需满足k<eq\f(5,2)，因为直线l1，l2平行且与圆的四个交点能构成矩形.所以该矩形对角线的交点恰好是圆心.设该矩形一条对角线上的两顶点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝－3，y1＋y2＝－1，不妨设y1＝3x1＋m，y2＝3x2＋n，两式相加，得y1＋y2＝3(x1＋x2)＋m＋n，即－1＝3×(－3)＋m＋n，所以m＋n＝8.]4.D[如图，要想使折叠后O点落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与D重合，k即为直线l的斜率.因为kOD≥kOB＝eq\f(1,2)，由k＝－eq\f(1,kOD)，可知－2≤k<0.当折叠后点O与C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，则k的取值范围是[－2，0]，故选D.]5.A[圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，当两圆无公切线时，则两圆内含，所以两圆的圆心距|C1C2|＝eq\r(a2＋a2)<|r1－r2|＝1，解得－eq\f(\r(2),2)<a<eq\f(\r(2),2)，所以当两圆有公切线时，a≤－eq\f(\r(2),2)或a≥eq\f(\r(2),2)，所以“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件.]6.C[点O(0，0)到直线l：y＝kx＋(2－2k)的距离d＝eq\f(|2－2k|,\r(k2＋1)).由题意得坐标原点到直线l的距离d≤|OP|，所以eq\f(|2－2k|,\r(k2＋1))≤eq\r(2)，解得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，故k的取值范围为[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，故选C.]7.BC[点(2，1)到M(0，4)的距离为eq\r(（2－0）2＋（1－4）2)＝eq\r(13)>2，所以点(2，1)在圆M外，可作两条切线，故选项A错误；当圆C和圆M内切时，圆C和圆M只有一条公切线，此时有|CM|＝|r1－r2|，即|2－a|＝eq\r(a2＋16)，解得a＝－3，故选项B正确；当圆C和圆M外切时，圆C和圆M恰有3条公切线，此时有|CM|＝r1＋r2，即2＋a＝eq\r(a2＋16)，解得a＝3，故选项C正确；由两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可得出当P，Q两点在两圆心连线线段上时|PQ|取得最小值，即|PQ|＝|CM|－r1－r2时，|PQ|取得最小值为1，所以|CM|－2－a＝1，得到3＋a＝eq\r(a2＋16)，解得a＝eq\f(7,6)，故选项D错误.]8.B[圆C的圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)，－\f(a,2)))，由题意可知，圆心在直线l上，则－eq\f(b,2)－eq\f(a,2)＋2＝0，可得a＋b－4＝0，则b＝4－a.由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,4－a>0，))解得0<a<4，所以a2＋b2＝a2＋(4－a)2＝2a2－8a＋16＝2(a－2)2＋8≥8，当且仅当a＝2时，等号成立，故a2＋b2的最小值为8.故选B.]9.C[如图，圆C：x2＋y2＝4的圆心到直线l：y＝x＋4的距离d＝eq\f(|4|,\r(12＋（－1）2))＝2eq\r(2)>2＝r，所以直线l与圆C相离.当且仅当直线PA，PB均与圆C相切时，∠APB最大，不妨设切线为PE，PF(其中，E，F为切点)，因为cos∠APB＝eq\f(1,2)，所以∠APB＝eq\f(π,3)，则∠EPF≥eq\f(π,3)，所以sin∠EPC＝eq\f(2,|PC|)≥sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，解得|PC|≤4，所以线段MN长度的最大值为2eq\r(42－（2\r(2)）2)＝4eq\r(2)，故选C.]10.ABD[由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1，则圆心C(0，2)，半径为1.圆C：x2＋y2－4y＋3＝0关于x轴的对称圆的方程为x2＋y2＋4y＋3＝0，故A正确；因为反射光线平分圆C的周长，所以反射光线经过圆心C(0，2)，所以入射光线所在直线过点(0，－2)，因为入射光线经过点P(2，1)，所以入射光线所在的直线的斜率为k＝eq\f(1－（－2）,2－0)＝eq\f(3,2)，所以入射光线所在直线方程为y＋2＝eq\f(3,2)x，即3x－2y－4＝0，故B正确；由题意可知反射光线所在的直线过点P′(2，－1),则|PB|＋|BA|＝|P′B|＋|BA|＝|P′A|，因为|P′A|＝eq\r(|P′C|2－1)＝eq\r(（2－0）2＋（－1－2）2－1)＝2eq\r(3)，所以|PB|＋|BA|＝2eq\r(3)，故C错误；设∠CMN＝θ，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，则圆心C(0，2)到反射光线所在直线的距离为d＝sinθ，|MN|＝2cosθ，所以S△CMN＝eq\f(1,2)d|MN|＝sinθcosθ＝eq\f(1,2)sin2θ，所以当sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)时，△CNM面积取得最大值eq\f(1,2)，故D正确.]11.x2＋y2＋x－y－2＝0[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))整理得y＝x＋2，代入x2＋y2－4＝0，得x2＋2x＝0，解得x＝0或x＝－2，分别代入y＝x＋2得y＝2，y＝0，则圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点坐标为(0，2)，(－2，0)，设经过点P(1，1)以及(0，2)，(－2，0)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋D＋E＋F＝0，,4＋2E＋F＝0，,4－2D＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝1，,E＝－1，,F＝－2，))故经过点P(1，1)以及圆x2＋y2－4＝0与x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.]12.eq\f(5,2)[直线l1过定点O(0，0)，直线l2的方程为y＝k(x－2)＋1，直线l2过定点C(2，1).因为1×k＋k×(－1)＝0，所以l1⊥l2，即OP⊥PC，因而点P在以线段OC为直径的圆上，由勾股定理可得|OP|2＋|PC|2＝|OC|2＝5，由基本不等式可得|PO|·|PC|≤eq\f(|OP|2＋|PC|2,2)＝eq\f(5,2)，当且仅当|OP|＝|PC|＝eq\f(\r(10),2)时，等号成立，故|PO|·|PC|的最大值为eq\f(5,2).]13.A[圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的圆心(2，m)，半径r＝eq\r(3)，AB为圆C：(x－2)2＋(y－m)2＝3的一条弦，M为线段AB的中点，若|CM|2＋|OM|2＝3(O为坐标原点)，则|OM|2＝3－|CM|2＝eq\f(1,4)|AB|2，即|OM|＝eq\f(1,2)|AB|，所以OA⊥OB，即在圆C上存在A，B两点满足OA⊥OB，可得eq\r(4＋m2)≤eq\r(6)，解得m∈[－eq\r(2)，eq\r(2)].]14.ABD[圆心C(1，2)，C到l的距离为eq\f(|1＋2＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，令M(m，n)，则n＝－m－1，设切线长为l，则l＝eq\r(|MC|2－2)≥eq\r(6)，A正确；S四边形ACBM＝2S△MAC≥2×eq\f(\r(6)×\r(2),2)＝2eq\r(3)，B正确；eq\o(MP,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\o(MC,\s\up6(→))2－eq\o(CP,\s\up6(→))2＝eq\o(MC,\s\up6(→))2－2≥6，C错误；切点弦AB的方程(m－1)(x－1)＋(n－2)(y－2)＝2，将n＝－m－1代入，整理得m(x－y＋1)－(x＋3y－5)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋3y－5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\f(3,2)，))即直线AB恒过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，D正确.]15.BCD[对于A，设点A(1，1)关于圆x2＋y2＝4的对称点为B，则存在e使得eq\o(OB,\s\up6(→))＝eeq\o(OA,\s\up6(→))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eeq\o(OA,\s\up6(→))2＝2e＝4，则e＝2，所以eq\o(OB,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，2)，因此点(1，1)关于圆x2＋y2＝4的对称点是(2，2)，A错误；对于B，由题意可知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，设点A关于圆x2＋y2＝4的对称点为点B，则存在实数k，使得eq\o(OB,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝keq\o(OA,\s\up6(→))2＝4k＝4，可得k＝1，即eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))，因此，圆x2＋y2＝4上的任意一点A关于圆x2＋y2＝4的对称点就是A自身，B正确；对于C，设点M(x0，y0)，其中x0≠0，设点N(x，y)，因为点M在圆x2＋(y－b)2＝b2(b>0)上，则xeq\o\al(2,0)＋(y0－b)2＝b2，可得xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝2by0，由题意可知，存在实数m，使得eq\o(ON,\s\up6(→))＝meq\o(OM,\s\up6(→))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝mx0，,y＝my0，))所以eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝meq\o(OM,\s\up6(→))2＝m(xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0))＝2bmy0＝2by＝1，可得y＝eq\f(1,2b)，因此点N的轨迹方程为y＝eq\f(1,2b)，C正确；对于D，设点E(x1，y1)，则xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)≠4，设点D(x2，y2)，由题意可知，存在实数t，使得eq\o(OD,\s\up6(→))＝teq\o(OE,\s\up6(→))，且eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝teq\o(OE,\s\up6(→))2＝4，则t>0，所以eq\o(OD,\s\up6(→))、eq\o(OE,\s\up6(→))同向，且eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝|OD|·|OE|＝4＝|OA|2，所以eq\f(|OD|,|OA|)＝eq\f(|OA|,|OE|)，又因为∠AOD＝∠EOA，所以△AOD∽△EOA，所以eq\f(|AD|,|AE|)＝eq\f(|OA|,|OE|)为定值，D正确.]16.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，1))[由题意得A(－1，0)，B(1，0)，设P(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，得eq\r(（x＋1）2＋y2)＝2eq\r(（x－1）2＋y2)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5,3)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(16,9)，因此圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a