几类不同增长的函数模型-课件

几类不同增长的函数模型1.三种函数模型的性质(1)指数函数①解析式：___________；②单调性：在(0，+∞)上的增减性：_______；③图象的变化：随x增大逐渐与___轴平行.y=ax(a＞1)增函数y(2)对数函数①解析式：______________；②单调性：在(0，+∞)上的增减性：________；③图象的变化：随x增大逐渐与___轴平行.y=logax(a＞1)增函数x(3)幂函数①解析式：___________；②单调性：在(0,+∞)上的增减性：_______；③图象的变化：随___值不同而不同.y=xn(n＞0)增函数n2.三种函数的增长速度的比较函数y=ax(a＞1)、y=logax(a＞1)、y=xn(n＞0)在区间(0,+∞)上：(1)单调性:____函数；(2)增长速度：y=ax(a＞1)：随着x的增大，y增长速度__________，会远远大于y=xn(n＞0)的增长速度，y=logax(a＞1)的增长速度_________；(3)存在一个x0,当x>x0时，有___________.增越来越快越来越慢ax>xn>logax1.函数y=x2与y=2x在(4，+∞)上哪一个增长得更快些？提示：由图象可知.y=2x的增长速度远远快于y=x2的增长速度.Oyx248y=x2y=2x16128422.在区间(0,+∞)上，当a＞1，n＞0时，是否总有logax＜xn＜ax成立？提示：不是，但总存在x0，使得当a＞1,n＞0，x>x0时，logax＜xn＜ax成立.3.在函数y=3x，y=log3x，y=3x，y=x3中增长速度最快的是_____________________.【解析】由各函数的增长差异可判断出y=3x的增长速度最快.答案：y=3x1.三类函数模型的增长差异(1)对于幂函数y=xn，当x＞0，n＞0时，y=xn才是增函数，当n越大时，增长速度越快.(2)指数函数与对数函数的递增前提是a＞1，又它们的图象关于y=x对称，从而可知，当a越大，y=ax增长越快；当a越小，y=logax增长越快，一般来说，ax＞logax(x＞0,a＞1).(3)指数函数与幂函数，当x＞0，n＞0，a＞1时，可能开始时有xn＞ax，但因指数函数是“爆炸型”函数，当x大于某一个确定值x0后，就一定有ax＞xn.2.三种函数模型的表达形式及其增长特点(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)=abx+c(a，b，c为常数，a＞0，b＞1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”.(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)=mlogax+n(m，n，a为常数，m＞0，a＞1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化的越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”.(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)=axα+b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型.

函数模型的增长差异【技法点拨】函数模型增长差异问题的处理技巧(1)处理的关键是确定变量间的关系，不能仅仅根据自变量较大时对应的函数值比较，还要看函数值的变化趋势.(2)对数函数模型适合描述先快后慢，增长速度比较平缓的变化规律，指数函数模型适合描述先慢后快，增长速度急剧上升的变化规律，依据其规律可帮助快速的选择函数模型.【典例训练】1.某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格相比，变化的情况是()(A)增长了7.84%(B)减少了7.84%(C)减少了9.5%(D)不增不减2.研究函数y=0.5ex-2,y=ln(x+1),y=x2-1在［0,+∞)上的增长情况.【解析】1.选B.设该商品原价为a，则四年后的价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=a×1.22×0.82=0.9216a，所以a-0.9216a=0.0784a=7.84%a，故变化的情况是减少了7.84%.2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象(如图),从图象上可以看出函数y=0.5ex-2的图象首先超过了函数y=ln(x+1)的图象,然后又超过了y=x2-1的图象,即存在一个x0满足-2=x02-1,当x＞x0时,ln(x+1)<x2-1<0.5ex-2.y=-2Oyxy=x2-1y=ln(x+1)【思考】处理函数模型增长差异问题的关键是什么？提示：处理函数模型增长差异问题的关键是确定变量间的关系.

图象信息迁移题【技法点拨】图象信息题的解答策略(1)明确横轴、纵轴的意义，分析题中的具体含义．(2)从图象形状上判定函数模型.(3)抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等.(4)通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题.【典例训练】1.如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y＝f(x)的图象大致为四个选项中的()2.如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费_____元;(2)通话5分钟，需付电话费_____元;(3)如果t≥3，则电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为_______.【解析】1.选C.设AB＝a，则y＝，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在y轴上方．故选C.2.(1)由图象可知，当t≤3时，电话费都是3.6元.(2)由图象可知，当t=5时，y=6，需付电话费6元.(3)当t≥3时，y关于t的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y=kt+b，则解得故电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为y=1.2t(t≥3).答案：(1)3.6(2)6(3)y=1.2t(t≥3)【互动探究】题2中的已知条件不变，若通话费用为4.5元，则通话时间是多少？【解析】由题2的解析结合图象可知，当y=4.5元时，通话时间超过3分钟，故电话费与时间满足函数关系式y=1.2t(t≥3),∴4.5=1.2t,∴t=3.75(分钟).故若通话费用为4.5元时，通话时间为3.75分钟.【思考】解决本题1,2的关键是什么？提示：(1)解决本题1的关键是根据条件建立面积y关于x的关系式;(2)解决本题2的关键是读懂题目所给函数图象，借助图象处理问题.

两种方案的选择【技法点拨】“四步走”解函数应用题第一步:阅读、理解题意,认真审题.读懂题中的文字叙述,理解叙述所反映的实际背景,领悟从背景中概括出来的数学实质.审题时要抓住题目中的关键量,善于联想、化归,实现应用问题向数学问题的转化.第二步:引进数学符号,建立数学模型.一般地，设自变量为x,函数为y,并用x表示各相关量,然后根据已知条件,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为一个数学问题,实现问题的数学化,即所谓建立数学模型.第三步:利用数学方法将得到的常规数学问题(即数学模型)解答,求得结果.第四步:再转译成具体问题作出解答.【典例训练】1.某公司为了适应市场需求，对产品结构做了重大调整．调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与产量x的关系，则可选用()(A)一次函数(B)二次函数(C)指数型函数(D)对数型函数2.某工厂生产某种产品,每件产品的出厂价为50元,其成本价为25元,因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出,为了净化环境,工厂设计两套方案对污水进行处理,并准备实施.方案一:工厂的污水先净化处理后再排出,每处理1立方米污水所用原料费2元,并且每月排污设备损耗费为30000元;方案二:工厂将污水排到污水处理厂统一处理,每处理1立方米污水需付14元的排污费.问:(1)工厂每月生产3000件产品时,你作为厂长,在不污染环境,又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品,你作为厂长,又该如何决策呢?【解析】1.选D.一次函数保持均匀的增长，不符合题意；二次函数在对称轴的两侧有增也有降；而指数型函数是“爆炸式”增长，不符合“增长越来越慢”，因此，只有对数型函数最符合题意，先快速增长，后来越来越慢．2.解题流程.求值判断下结论构造函数设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1=(50-25)x-2×0.5x-30000=24x-30000,y2=(50-25)x-14×0.5x=18x.(1)当x=3000时，y1=42000,y2=54000，∵y1＜y2(2)当x=6000时，y1=114000,y2=108000，∵y1＞y2应选择方案二处理污水应选择方案一处理污水【想一想】(1)解决题1的关键点是什么？(2)解决题2时的方法是什么？提示：(1)解决题1的关键点是了解到此函数增长的情况初期增长迅速，后来越来越慢.(2)解决题2时的方法是先把每种方案都列出来，然后进行比较，最后作出选择.【规范解答】巧用函数图象比较大小【典例】(12分)已知函数f(x)=2x和g(x)=x3，在同一坐标系下作出它们的图象，结合图象比较f(8)，g(8)，f(2012)，g(2012)的大小.【解题指导】【规范解答】列表x…

-10123…f(x)…1248…g(x)…-101827…………………2分描点、连线,得如图所示图象：

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4分则函数f(x)=2x对应的图象为C2，函数g(x)=x3对应的图象为C1①.…………

6分∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,f(9)=512,g(10)=1000,f(10)=1024,∴f(1)＞g(1),f(2)＜g(2),f(9)＜g(9),f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2＜2012②.………………

8分从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x);当x＞x2时，f(x)＞g(x),………………

10分且g(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(2012)＞g(2012)＞g(8)＞f(8)③.

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12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示及解题启示总结如下：(注：此处的①②③见规范解答过程)失分警示①在解答过程中若在①处把函数的对应图象找错，直接影响后面的函数值大小的判断，在考试中最多给2分,是考试中常出现的失分点.②在解答过程中，虽①处解答正确，但却没能由特殊值的函数值的大小，总结出两函数图象交点x1，x2的范围，即②处的1＜x1＜2,9＜x2＜10,∴x1＜8＜x2