椭圆的简单几何性质教案

PAGEPAGE1椭圆的简单几何性质授课教师：刘燕授课班级：高二（9）（10）班一、教学目标1.知识与技能：掌握椭圆的简单几何性质，学会由椭圆的标准方程探索椭圆的简单几何性质的方法与步骤。2.过程与方法：（1）通过探究，掌握椭圆的简单几何性质，培养猜想能力，合情推理能力，养成发现问题，提出问题的意识；（2）通过探究活动培养学生观察、发现、归纳的能力；培养分析、抽象、概括的能力，加强数形结合等数学思想的培养。3.情感态度与价值观：（1）在民主开放的课堂气氛中，培养学生敢想、敢说、敢于探索、发现、创新的精神；（2）通过探究，体验挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情；通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。二、教学重点与难点：教学重点：掌握椭圆的简单几何性质，在教学过程中渗透类比、数形结合等思想方法。教学难点：由曲线方程来研究其几何性质，由几何性质研究曲线方程,用数形结合的思想方法研究离心率。三、学生状况分析及教学设计意图：本届学生数学基础很薄弱，没有掌握比较好的学习方法，在初中阶段形成了把数学学习等同于一般学科的学习习惯，记忆的多，模仿的多，被动的多，思考的少，创新的少，主动的少。高二（2）、（3）班是普通班，数学科成绩较同年级重点班相比低一个层次，因此在教学中对教材的剪裁、课时的安排、内容的调整颇费心思，每堂课的教学设计都应激发学生学习数学的动机，培养学生学习数学的兴趣，多让学生体验“成功”的快乐，培养其自主学习的意识。四、教学用具：电脑，课件，几何画板，三角板，圆规。五、教学方法：讲授法、启发法、讨论法、情境教学法。六、教学过程设计：（一）创设情境，欣赏图片这节课我们继续研究有关椭圆的相关知识，我们先看一个图片：提出问题：教师：为什么国家大剧院最终会选择了椭球形设计呢？其根本原因是椭球形非常美观，这源于椭圆的美！那么椭圆到底美在何处？它又具有哪些特性？让我们一起来研究——椭圆的简单几何性质，以方程为研究对象。设计意图通过“国家大剧院”这样一个令人关注的话题引入，有利于激发学生的兴趣，充分调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的民族自豪感和自信心，同时图片演示增强直观体验和感性认识。师生活动教师：展示课件。学生：观看课件。（二）探究问题，观察发现1.椭圆的范围引导学生观察椭圆的图形得出椭圆的范围，进而用代数的方法，由椭圆的标准方程得出椭圆的范围。教师推导出横坐标的范围，由学生类比得出纵坐标的范围结论：椭圆在直线x=±a和直线y=±b所围成的矩形里(如图)．形依于数，数寓于形，数形相互依存，数形结合的思想是研究数学问题常用到的思想，也是一个重要的方法练习1：讨论下列椭圆的范围。（1）；（2）。【设计意图】让学生感受、体验到新知识的获取需要不断地去积累已有知识。组织学生通过数形结合的思想得到结论，能够使学生真正的动脑思考，动手实践，体验在学习中获得成功的快乐。【师生活动】教师：引导学生通过观察椭圆的图形得出椭圆的范围并通过代数的方法，由椭圆的标准方程得出椭圆的范围。学生：在老师的引导下，观察、推导出椭圆的范围，并独立完成练习1以加深对椭圆范围的理解。【学情预设】在《椭圆的定义及其标准方程》中，学生已由椭圆的定义探究过||=，||=||=，因而本节课在引导学生从观察椭圆的图形得出椭圆的范围应不存在问题，横坐标的范围的推导也比较容易，且提示学生由类比方法得到椭圆纵坐标的范围也是可行的。注：如果不以《椭圆的定义及其标准方程》探究过||=||=,||=||=作铺垫，本节教材“观察图2.1-7，容易看出椭圆上的点的横坐标、纵坐标的的范围”是不妥当的。学生也回答不出来。2.对称性探究一：设为椭圆上任意一点，（1）点关于轴对称的点的坐标是,______该椭圆上,这说明椭圆关于对称。 （2）点关于轴对称的点的坐标是,______该椭圆上,这说明椭圆关于对称。（3）点关于原点的对称点的坐标是,_______该椭圆上,这说明椭圆关于对称。得出结论：椭圆是关于轴、轴对称的轴对称图形，也是关于原点对称的中心对称图形。一般地，曲线方程中，以代，若方程不变，则曲线关于轴对称，以代，若方程不变，则曲线关于轴对称，曲线方程中，以代，同时以代，若方程不变，则曲线关于原点中心对称。该结论以表格形式呈现给学生。曲线对称性的判断：条件结论以代，若方程不变则曲线方程关于对称以代，若方程不变则曲线方程关于对称以代，以代，若方程不变则曲线方程关于原点对称练习2说出下列曲线的对称性：（1）曲线关于对称；（2）曲线关于对称；（3）曲线关于对称。【设计意图】通过探究一之（1），让学生观察椭圆的图形，得出椭圆关于轴对称的结论，并用类比的方法，得到椭圆关于轴对称、关于原点对称，让学生的推理能力、归纳的能力得到提高，通过练习2，考查学生对已有知识的掌握程度和利用新知识解决问题的能力，估计学生能解决问题，能体验到成功学习的快乐，享受学习的乐趣。【师生活动】教师：设计问题，启发学生通过观察图形，利用对称知识得出结论。学生：在教师的启发下观察，思考，类比，归纳；并独立完成练习2。【学情预设】由于在学案中，已经给出有关对称性的知识回顾，估计学生在该探究过程中能顺利完成任务。3.顶点教师：显然，椭圆与它的对称轴有四个交点，试写出这四个点的坐标。提示：轴、轴是椭圆的对称轴，求椭圆与对称轴的交点坐标，就是椭圆与轴、轴的交点坐标，轴、轴上的点的坐标有什么特征。学生求出结果：教师：给出定义，我们把椭圆与对称轴的交点就叫做椭圆的顶点。指出，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。显然长轴长|A1A2|＝2，短轴长|B1B2|＝2，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长，此时长轴在x轴上。【设计意图】本过程可以由老师引导启发学生先求出椭圆与坐标轴的交点坐标，然后给出椭圆顶点的定义，求交点的过程交给学生，让学生参与。【学情预设】估计在学生理解椭圆顶点的定义时，把椭圆与对称轴的交点错误的理解成椭圆与轴、轴的交点，所以，在讲述过程中予以强调。4.离心率探究二：在同一坐标系下，利用前面所学过的椭圆的性质画出下列曲线的简图：（1）；（2）；（3）；（4）。启发式提问：教师：1、请同学们观察这些方程什么量相同？什么量不同？它们所对应的图形的形状有何不同？2、在椭圆的半长轴长不变的条件下，椭圆的扁平程度与什么量有关系？学生回答后教师归纳：与有关本质也就是与有关，因为，即椭圆的扁平程度与有关，并给出离心率的定义。离心率1）定义：椭圆焦距与长轴长之比。2）定义式：3）范围：4）考察椭圆形状与的关系（1）越接近于1，越接近于，的值越，椭圆越；（2）越接近于0，越接近于0，的值越，椭圆就越接近于；（3）当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形就变为，方程为。结论：离心率越大，椭圆越；离心率越小，椭圆越。5）考察椭圆形状与、的关系（1）在右图中标示出、、，记。（2）将、、用的某种三角函数值表示出来。（3）研究的大小与的大小关系，的大小与椭圆的扁平程度的关系。（4）类比并得出结论：、的大小同样能刻画椭圆的扁平程度。借助集合画板演示，并指出椭圆的离心率可以理解为，在椭圆长轴不变的前提下，两个焦点离开椭圆中心的程度，之所以我们用定义离心率，是为了给今后我们研究圆锥曲线的统一性质带来方便。练习3比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）椭圆和椭圆（2）椭圆和椭圆【设计意图】为了让学生能真正理解离心率的意义，教学中利用数形结合的思想，从几个具体的椭圆标准方程入手，通过对图形的观察、方程的验证，从数的方面，发现了椭圆形状与的本质联系，使学生体验了学习数学的乐趣，感悟和体会了特殊到一般、由具体到抽象的认识问题的一般方法和数形结合、归纳、类比等数学思想方法的运用。师生活动借助动画演示，结合教师启发引导，帮助学生理解离心率的定义及离心率对椭圆形状的影响。及时的梳理概括有利于加深学生对离心率定义的理解，并使学生更深刻地掌握椭圆的几何性质。【学情预设】离心率是本节课的重点，也是本节课的难点，同时也是最能渗透数学思想和方法的知识点，估计对普通班的学生有一定的难度，教学中较合适的方法是启发、讲授、讨论相结合，尤其是、对椭圆形状的刻画，是本节课最难的点，因而采用的启发方式比较直接。（三）例题讲解为了加深对椭圆的几何性质的认识，掌握用描点法画图的基本方法，给出如下例题：例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴的长，离心率、焦点和顶点的坐标本例题是对椭圆基本性质的归纳，简单，但要严格要求学生认真书写。七、课堂小结要求课堂填写（）的性质，课后完成（）的性质。标准方程F1F2MF1F2MyxOyxOF2F1M（）图形性质范围对称性顶点离心率八、