数学教案高中教学

数学教案高中教学

数学教案高中教学篇1教学目标：

(1)了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题

(2)进一步理解曲线的方程和方程的曲线

(3)初步把握求曲线方程的方法

(4)通过本节内容的教学，培育学生分析问题和转化的能力

教学重点、难点：求曲线的方程

教学用具：计算机

教学方法：启发引导法，讨论法

教学过程：

引入

1.提问：什么是曲线的方程和方程的曲线

学生思考并回答，老师强调

2.坐标法和解析几何的意义、基本问题

对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点用方程表示曲线，通过讨论方程的性质间接地来讨论曲线的性质，这一讨论几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何，解析几何的两大基本问题就是：

(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程

(2)通过方程，讨论平面曲线的性质

事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题.而且要先讨论如何求出曲线方程，再讨论如何用方程讨论曲线.本节课就初步讨论曲线方程的求法

问题

如何根据已知条件，求出曲线的方程

概括总结通过学生讨论，师生共同总结：

分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

首先应有坐标系其次设曲线上任意一点然后写出表示曲线的点集再代入坐标最后整理出方程，并证明或修正.说得更正确一点就是：

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标

(2)写出适合条件的点的集合

(3)用坐标表示条件，列出方程

(4)化方程为最简形式

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解假如求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明

上述五个步骤可简记为：建系设点写出集合列方程化简修正

下面再看一个问题：

小结师生共同总结：

(1)解析几何讨论讨论问题的方法是什么?

(2)如何求曲线的方程?

(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价.各步骤的作用，哪步重要，哪步应留意什么?

作业课本第72页练习1，2，3

数学教案高中教学篇21.预习教材，问题导入

根据以下提纲，预习教材P54～P57，回答下列问题.

(1)在教材P55的“探究”中，怎样获得样本?

提示：将这批小包装饼干放入一个不透明的袋子中，搅拌均匀，然后不放回地摸取.

(2)最常用的简洁随机抽样方法有哪些?

提示：抽签法和随机数法.

(3)你认为抽签法有什么优点和缺点?

提示：抽签法的优点是简洁易行，当总体中个体数不多时较为便利，缺点是当总体中个体数较多时不宜采纳.

(4)用随机数法读数时可沿哪个方向读取?

提示：可以沿向左、向右、向上、向下等方向读数.

2.归纳总结，核心必记

(1)简洁随机抽样：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，假如每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简洁随机抽样.

(2)最常用的简洁随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法.

(3)一般地，抽签法就是把总体中的N个个体分段，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n的样本.

(4)随机数法就是利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样.

(5)简洁随机抽样有操作简便易行的优点，在总体个数不多的情况下是行之有效的.

[问题思考]

(1)在简洁随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次被抽到有关吗?

提示：在简洁随机抽样中，总体中的每个个体在每次抽取时被抽到的可能性相同，与第几次被抽到无关.

(2)抽签法与随机数法有什么异同点?

提示：

相同点①都属于简洁随机抽样，并且要求被抽取样本的

总体的个体数有限

②都是从总体中逐个不放回地进行抽取

不同点①抽签法比随机数法操作简洁

②随机数法更适用于总体中个体数较多的时候，而抽签法适用于总体中个体数较少的情况，所以当总体中的个体数较多时，应当选用随机数法，可以节约大量的人力和制作号签的成本

数学教案高中教学篇3一、单元教学内容

(1)算法的基本概念

(2)算法的基本结构：挨次、条件、循环结构

(3)算法的基本语句：输入、输出、赋值、条件、循环语句

二、单元教学内容分析

算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。随着现代信息技术飞速进展，算法在科学技术、社会进展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特殊指出的是，中国古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在中学教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对详细数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用通过仿照、操作、探究，学习设计程序框图表达解决问题的过程体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，进展有条理的思考与表达的能力，提高规律思维能力

三、单元教学课时安排：

1、算法的基本概念3课时

2、程序框图与算法的基本结构5课时

3、算法的基本语句2课时

四、单元教学目标分析

1、通过对解决详细问题过程与步骤的分析体会算法的思想，了解算法的含义

2、通过仿照、操作、探究，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在详细问题的解决过程中理解程序框图的三种基本规律结构：挨次、条件、循环结构。

3、经历将详细问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句：输入、输出、斌值、条件、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

4、通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学进展的贡献。

五、单元教学重点与难点分析

1、重点

(1)理解算法的含义

(2)把握算法的基本结构

(3)会用算法语句解决简洁的实际问题

2、难点

(1)程序框图

(2)变量与赋值

(3)循环结构

(4)算法设计

六、单元总体教学方法

本章教学采纳启发式教学，辅以观察法、发现法、练习法、讲解法。采纳这些方法的原因是学生的规律能力不是很强，只能通过对实例的专心领会及一定的练习才能把握本节知识。

七、单元展开方式与特点

1、展开方式

自然语言→程序框图→算法语句

2、特点

(1)螺旋上升分层递进

(2)整合渗透前呼后应

(3)三线合一横向贯穿

(4)弹性处理多样选择

八、单元教学过程分析

1.算法基本概念教学过程分析

对生活中的实际问题通过对解决详细问题过程与步骤的分析(喝茶，如二元一次方程组求解问题)，体会算法的思想，了解算法的含义，能用自然语言描述算法。

2.算法的流程图教学过程分析

对生活中的实际问题通过仿照、操作、探究，经历通过设计流程图表达解决问题的过程，了解算法和程序语言的区分在详细问题的解决过程中，理解流程图的三种基本规律结构：挨次、条件分支、循环，会用流程图表示算法。

3.基本算法语句教学过程分析

经历将详细生活中问题的流程图转化为程序语言的过程，理解表示的几种基本算法语句：赋值语句、输入语句、输出语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。能用自然语言、流程图和基本算法语句表达算法，

4.通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学进展的贡献。

九、单元评价设想

1.重视对学生数学学习过程的评价

关注学生在数学语言的学习过程中，是否对用集合语言描述数学和现实生活中的问题布满爱好在学习过程中，能否体会集合语言正确、简洁的特征是否能乐观、主动地进展自己运用数学语言进行沟通的能力。

2.正确评价学生的数学基础知识和基本技能

关注学生在本章(节)及今后学习中，让学生集中学习算法的初步知识，主要包括算法的基本结构、基本语句、基本思想等。算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分，在其他相关部分还将进一步学习算法

数学教案高中教学篇4教学目标

1.使学生把握的概念,图象和性质.

(1)能根据定义推断形如什么样的函数是,了解对底数的限制条件的合理性,明确的定义域.

(2)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出的图象,能从数形两方面熟悉的性质.

(3)能利用的性质比较某些幂形数的大小,会利用的图象画出形如的图象.

2.通过对的概念图象性质的学习,培育学生观察,分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思想方法.

3.通过对的讨论,让学生熟悉到数学的应用价值,激发学生学习数学的爱好.使学生擅长从现实生活中数学的发现问题,解决问题.教学建议

教材分析

(1)是在学生系统学习了函数概念,基本把握了函数的性质的基础上进行讨论的,它是重要的基本初等函数之一,作为常见函数,它既是函数概念及性质的第一次应用,也是今后学习对数函数的基础,同时在生活及生产实际中有着广泛的应用,所以应重点讨论.

(2)本节的教学重点是在理解定义的基础上把握的图象和性质.难点是对底数在和时,函数值变化情况的区分.

(3)是学生完全陌生的一类函数,对于这样的函数应怎样进行较为系统的理论讨论是学生面临的重要问题,所以从的讨论过程中得到相应的结论固然重要,但更为重要的是要了解系统讨论一类函数的方法,所以在教学中要特殊让学生去体会讨论的方法,以便能将其迁移到其他函数的讨论.

教法建议

(1)关于的定义根据课本上说法它是一种形式定义即解析式的特征必须是的样子,不能有一点差异,诸如,等都不是.

(2)对底数的限制条件的理解与熟悉也是熟悉的重要内容.假如有可能尽量让学生自己去讨论对底数,指数都有什么限制要求,老师再给予补充或用详细例子加以说明,由于对这个条件的熟悉不仅关系到对的熟悉及性质的分类讨论,还关系到后面学习对数函数中底数的熟悉,所以一定要真正了解它的由来.

关于图象的绘制,虽然是用列表描点法,但在详细教学中应避开描点前的盲目列表计算,也应避开盲目的连点成线,要把表列在关键之处,要把点连在恰当之处,所以应在列表描点前先把函数的性质作一些简洁的讨论,取得对要画图象的存在范围,大致特征,变化趋势的大概熟悉后,以此为指导再列表计算,描点得图象.

数学教案高中教学篇5一、教材

《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。

二、学情

学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；且在上节的学习过程中把握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；把握利用方程组的方法来求直线的交点；具有用坐标法讨论点与圆的位置关系的基础；具有一定的数形结合解题思想的基础。

三、教学目标

（一）知识与技能目标

能够正确用图形表示出直线与圆的三种位置关系；可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简洁推断出直线与圆的关系。

（二）过程与方法目标

经历操作、观察、探究、总结直线与圆的位置关系的推断方法，从而熬炼观察、比较、概括的规律思维能力。

（三）情感态度价值观目标

激发求知欲和学习爱好，熬炼乐观探究、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。

四、教学重难点

（一）重点

用解析法讨论直线与圆的位置关系。

（二）难点

体会用解析法解决问题的数学思想。

五、教学方法

根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。在教学中采纳小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，老师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。

六、教学过程

（一）导入新课

老师借助多媒体创设泰坦尼克号的情景，并从中抽象出数学模型：已知冰山的分布是一个半径为r的圆形区域，圆心位于轮船正西的l处，问，轮船如何航行能够避开撞到冰山呢？如何行驶便又会撞到冰山呢？

老师引导学生回顾初中已经学习的直线与圆的位置关系，将所想到的航行路线转化成数学简图，即相交、相切、相离。

设计意图：在已有的知识基础上，提出新的问题，有利于保持学生知识结构的连续性，同时开阔视野，激发学生的学习爱好。

（二）新课教学——探究新知

老师提问如何推断直线与圆的位置关系，学生先独立思考几分钟，然后同桌两人为一组沟通，并整理出本组同学所想到的思路。在整个沟通讨论中，老师既要有对正确熟悉的赞赏，又要有对错误见解的分析及对该学生的激励。

推断方法：

（1）定义法：看直线与圆公共点个数

即讨论方程组解的个数，详细做法是联立两个方程，消去x（或y）后所得一元二次方程，推断△和0的大小关系。

（2）比较法：圆心到直线的距离d与圆的半径r做比较，

（三）合作探究——深化新知

老师进一步抛出疑问，对比两种方法，由学生观察实践发现，两种方法本质相同，但比较法只适合于直线与圆，而定义法适用范围更广。老师展现较为基础的题目，学生解答，总结思路。

已知直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1，推断它们的位置关系？

让学生自主探究，讨论沟通，并阐述自己的解题思路。

当已知了直线与圆的方程之后，圆心坐标和半径r易得到，问题的关键是如何得到圆心到直线的距离d，他的本质是点到直线的距离，便可以直接利用点到直线的距离公式求d。类比前面所学利用直线方程求两直线交点的方法，联立直线与圆的方程，组成方程组，通过方程组解得个数确定直线与圆的交点个数，进一步确定他们的位置关系。最后明确解题步骤。

（四）归纳总结——巩固新知

为了将结论由特殊推广到一般引导学生思考：

可由方程组的解的不怜悯况来推断：

当方程组有两组实数解时，直线l与圆C相交；

当方程组有一组实数解时，直线l与圆C相切；

当方程组没有实数解时，直线l与圆C相离。

活动：我将抽取两位同学在黑板上扮演，并在巡视过程中对部分学生加以指导。最后对黑板上的两名学生的解题过程加以分析完善。通过对基础题的练习，巩固两种推断直线与圆的位置关系推断方法，并使每一个学生获得后续学习的信心。

（五）小结作业

在小结环节，我会以口头提问的方式：

（1）这节课学习的主要内容是什么？

（2）在数学问题的解决过程中运用了哪些数学思想？

设计意图：启发式的课堂小结方式能让学生主动回顾本节课所学的知识点。也促使学生对知识网络进行主动建构。

作业：在学生回顾本堂学习内容明确两种解题思路后，老师让学生对比两种解法，那种更简捷，明确本节课主要用比较d与r的关系来解决这类问题，对用方程组解的个数的推断方法，要求学生课外做进一步的探究，下一节课汇报。

七、板书设计

我的板书本着简介、直观、清晰的原则，这就是我的板书设计。

数学教案高中教学篇6．1任意角

教学目标

（一）知识与技能目标

理解任意角的概念（包括正角、负角、零角）与区间角的概念。

（二）过程与能力目标

会建立直角坐标系讨论任意角，能推断象限角，会书写终边相同角的集合；把握区间角的集合的书写．

（三）情感与态度目标

1．提高学生的推理能力；

2．培育学生应用意识．教学重点

任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点

终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．

教学过程

一、引入：

1．回顾角的定义

①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。

②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

二、新课：

1．角的有关概念：

①角的定义：

角可以看成平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

②角的名称：

③角的分类：A

正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

④留意：

⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；

⑵零角的终边与始边重合，假如α是零角α=0°；

⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．

⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度？

2．象限角的概念：

①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．

例1．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角．

⑴60°；⑵120°；⑶240°；⑷300°；⑸420°；⑹480°；

答：分别为1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：教材P3面

终边相同的角的表示：

全部与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S＝{β|β=α+

k·360°，

k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．留意：⑴k∈Z

⑵α是任一角；

⑶终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差

360°的整数倍；

⑷角α+k·720°与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的全部角．

例2．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并推断它们是第几象限角．

⑴－120°；

⑵640°；

⑶－950°12’．

答：⑴240°，第三象限角；

⑵280°，第四象限角；

⑶129°48’，第二象限角；

例4．写出终边在y轴上的角的集合（用0°到360°的角表示）．解:{α|α=90°+n·180°，n∈Z}．

例5．写出终边在y?x上的角的集合S,并把S中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来．

4．课堂小结

①角的定义；

②角的分类：

正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角

负角：按顺时针方向旋转形成的角

③象限角；

④终边相同的角的表示法．

5．课后作业：

①阅读教材P2-P5；

②教材P5练习第1-5题；

③教材习题第1、2、3题思考题：已知α角是第三象限角，则2α，

解：？?角属于第三象限，

？k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z)即(2k+1)360°＜2α＜(2k+1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角．又k·180°+90°＜

各是第几象限角？

＜k·180°+135°(k∈Z)．

＜n·360°+135°(n∈Z)，

当k为偶数时，令k=2n(n∈Z)，则n·360°+90°＜此时，

属于第二象限角

＜n·360°+315°(n∈Z)，

当k为奇数时，令k=2n+1(n∈Z)，则n·360°+270°＜此时，

属于第四象限角

因此

属于第二或第四象限角．

.2弧度制

（一）

教学目标

（二）知识与技能目标

理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．

（三）过程与能力目标

能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题

（四）情感与态度目标

通过新的度量角的单位制（弧度制）的引进，培育学生求异创新的精神；通过对弧度制与角度制下弧长公式、扇形面积公式的对比，让学生感受弧长及扇形面积公式在弧度制下的简洁美．教学重点

弧度的概念．弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明．教学难点

“角度制”与“弧度制”的区分与联系．

教学过程

一、复习角度制：

初中所学的角度制是怎样规定角的度量的？规定把周角的作为1度的角，用度做单位来度量角的制度叫做角度制．

二、新课：

1．引入：

由角度制的定义我们知道，角度是用来度量角的，角度制的度量是60进制的，运用起来不太便利。在数学和其他许多科学讨论中还要常常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？

2．定义

我们规定，长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制．在弧度制下，1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圆心角？所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？

（2）引导学生完成P6的探究并归纳：弧度制的性质：

①半圆所对的圆心角为

②整圆所对的圆心角为

③正角的弧度数是一个正数．

④负角的弧度数是一个负数．

⑤零角的弧度数是零．

⑥角α的弧度数的绝对值|α|=。

4．角度与弧度之间的转换：

①将角度化为弧度：

②将弧度化为角度：

5．常规写法：

①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数．

②弧度与角度不能混用．

弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积．

例1．把67°30’化成弧度．

例2．把？rad化成度．

例3．计算：

(1)sin4

(2)．

8．课后作业：

①阅读教材P6–P8；

②教材P9练习第1、2、3、6题；

③教材P10面7、8题及B2、3题．

数学教案高中教学篇7教学目标

1、明确等差数列的定义。

2、把握等差数列的通项公式，会解决知道中的三个，求另外一个的问题

3、培育学生观察、归纳能力。

教学重点

1、等差数列的概念；

2、等差数列的通项公式

教学难点

等差数列“等差”特点的理解、把握和应用

教具打算

投影片1张

教学过程

(I)复习回顾

师：上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面看一些例子。（放投影片）

(Ⅱ)讲授新课

师：看这些数列有什么共同的特点？

1，2，3，4，5，6①

10，8，6，4，2，…；②

生：乐观思考，找上述数列共同特点。

对于数列①(1≤n≤6)；(2≤n≤6)

对于数列②-2n(n≥1)(n≥2)

对于数列③(n≥1)(n≥2)

共同特点：从第2项起，第一项与它的前一项的差都等于同一个常数。

师：也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点。具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数。

一、定义：

等差数列：一般地，假如一个数列从第2项起，每一项与空的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

如：上述3个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，-2。

二、等差数列的通项公式

师：等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：

若将这n-1个等式相加，则可得：

即：即：即：……

由此可得：师：看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项。

如数列①(1≤n≤6)

数列②：(n≥1)

数列③：(n≥1)

由上述关系还可得：即：则：=如：

三、例题讲解

例1：(1)求等差数列8，5，2…的第20项

(2)-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？假如是，是第几项？

解：(1)由n=20，得(2)由得数列通项公式为：由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n，使得-401=-5-4(n-1)成立解之得n=100，即-401是这个数列的第100项。

(Ⅲ)课堂练习

生：（口答）课本P118练习3

（书面练习）课本P117练习1

师：组织学生自评练习（同桌讨论）

(Ⅳ)课时小结

师：本节主要内容为：①等差数列定义。

即(n≥2)

②等差数列通项公式(n≥1)

推导出公式：(V)课后作业

1、课本P118习题，2

2、（1）预习内容：课本P116例2P117例4

（2）预习提纲：

①如何应用等差数列的定义及通项公式解决一些相关问题？

②等差数列有哪些性质？

数学教案高中教学篇8一、探究式教学模式概述

1、探究式教学模式的含义。探究式教学就是学生在老师引导下，像科学家发现真理那样以类似科学探究的方式来展开学习活动，通过自己大脑的独立思考和探究，去弄清事物进展变化的起因和内在联系，从中探究出知识规律的教学模式。它的基本特征是老师不把跟教学内容有关的内容和认知策略直接告知学生，而是制造一种适宜的认知和合作环境，让学生通过探究形成认知策略，从而对教学目标进行一种全方位的学习，实现学生从被动学习到主动学习，培育学生的科学探究能力、创新意识和科学精神白话文。可见，探究式教学主张把学习知识的过程和探究知识的过程统一起来，充分发挥学生学习的自主性和参加性。

2、堂探究式教学的实质。课堂探究式教学的实质是使学生通过类似科学家科学探究的过程来理解科学探究概念和科学规律的本质，并培育学生的科学探究能力。详细地说，它包括两个相互联系的方面：一是有一个以“学”为中心的探究性学习环境。在这个环境中有丰富的教学资源，而且这些资源是围绕某个知识主题来展开的。这个学习环境具有民主和谐的课堂气氛，它使学生很少感到有压力，能自主寻找所需要的信息，提出自己的设想，并以自己的方式检验其设想。二是老师可以给学生提供必要的帮助和指导，使学生在讨论中能明确方向。这说明探究式教学的本质特征是不直接把与教学目标有关的概念和认知策略告知学生，取而代之的是老师制造出一种智力沟通和社会交往的环境，让学生通过探究自己发现规律。

3、探究式教学模式的特征。

（1）问题性。问题性是探究式教学模式的关键。能否提出对学生具有挑战性和吸引力的问题，使学生产生问题意识，是探究教学成功与否的关键所在。恰当的问题会激起学生强烈的学习愿望，并引发学生的求异思维和制造思维。现代教育心理学讨论提出：“学生的学习过程和科学家的探究过程在本质上是一样的，都是一个发现问题、分析问题、解决问题的过程。”所以培育学生的问题意识是探究式教学的重要使命。

（2）过程性。过程性是探究式教学模式的重点。爱因斯坦说：“结论总以完成的形式出现，读者体会不到探究和发现的喜悦，感觉不到思想形成的生动过程，也就很难达到清晰、全面理解的境界。”探究式教学模式正是考虑到这些人的认知特点来组织教学的，它强调学生探究知识的经历和获得新知识的亲身感悟。

（3）开放性。开放性是探究式教学模式的难点。探究式教学模式总是综合合作学习、发现学习、自主学习等学习方式的长处，培育学生良好的学习态度和学习方法，提倡和进展多样化的学习方式。探究式教学模式要面对大量开放性的问题，教学资源和探究的结论面对生活、生产和科研是开放的，这一切都为老师的教与学生的学带来了机遇与挑战。

二、教学设计案例

1、教学内容：数字排列中3、9的探究式教学。

2、教学目标。

（1）知识与技能：把握数字排列的知识，能灵活运用所学知识。

（2）过程与方法：在探究过程中把握分析问题的方法和规律推理的方法。

（3）情感态度与价值观：培育学生观察、分析、推理、归纳等综合能力，让学生体会到熟悉客观规律的一般过程。

3、教学方法：谈话探究法，讨论探究法。

4、教学过程。

（1）创设情境。老师：在高中数学第十章的教学中，有关数字排列的问题占有重要位置。我们曾经做过的有关数字排列的题目，如“由若干个数字排列成偶数”、“能被5整除的数”等问题，只要使排列成的数的个位数字为偶数，则这个数就是偶数，当排列成的数的个位数字为0或5时，则这个数就能被5整除。那么能被3整除的数，能被9整除的数有何特点？

（2）提出问题。

问题1：在用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（）

A、36个B、18个C、12个D、24个

问题2：在用0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的自然数中，有多少个能被6整除的五位数？

（3）探究思考。点评：乍一看问题1，对于由若干个数字排列成9的倍数的问题，如：81、72、63、54、45、36、27、18、9这些能够被9整除的数的个位数字依次是1、2、3、4、5、6、7、8、9。因此，要考察能被9整除的数，不能只考虑个位数字了。于是，需另辟蹊径，探究能被9整除的数的特点，寻求解决问题的途径。

老师：同学们观察81、72、63、54、45、36、27、18、9这些数，甚至再写出几个能被9整除的数，如981、1872等，看看它们有何特点？

学生：它们都满足“各位数字之和能被9整除”。

老师：此结论的正确性如何？

学生：老师，我们证明此结论的正确性，好吗？

老师：好。

学生：证明：不妨以n是一个四位数为例证之。

设n=1000a+100b+10c+d（a，b，c，d∈N）依条件，有a+b+c+d=9m（m∈N）

则n=1000a+100b+10c+d

=（999a+a）+（99b+b）+（9c+c）+d

=（999a+99b+9c）+（a+b+c+d）

=9（111a+11b+c）+9m

=9（111a+11b+c+m）

∵a，b，c，m∈N

∴111a+11b+c+m∈N

所以n能被9整除

同理可证定理的后半部分。

老师：看来上述结论正确。所以得到如下定理。

定理：假如一个自然数n各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数n就能够被9整除；假如一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。

老师：利用该定理可解决“能被3、9整除”的数字排列问题，请同学们先解答问题1。

学生：尝试1+4+5+6=16，1+3+4+5=13，2+3+4+5=14，2+4+5+6=17，1+2+3+4=10，1+2+5+6=14。

老师：启发学生观察这些数字有何特点？提问学生。

学生：可以看出只要从1、2、3、4、5、6这六个数中，选取的四个数字中含1（或2），或者同时含1、2，选取的四个数字之和都不是9的倍数。

老师：请学生们继续尝试选取其他数字试一试。

学生：3+4+5+6=18是9的倍数。

老师：因此用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的数，就是由3、4、5、6进行全排列所得，共有=24（个）。

故应选D。

（4）学以致用。

问题2：在用0、1、2、3、4、5这六个数字组成没有重复数字的自然数中，有多少个能被6整除的五位数？

老师：从上面的定理知：假如一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。同学们对问题2有何想法？

学生讨论：

学生1：被6整除的。五位数必须既能被2整除，又能被3整除，故能被6整除的五位数，即为各位数字之和能被3整除的五位偶数。

学生2：由于1+2+3+4+5=15，能被3整除，所以选取的5个数字可分两类：一类是5个数字中无0，另一类是5个数字中有0（但不含3）。

学生3：第一类：5个数字中无0的五位偶数有。

第二类：5个数字中含有0不含3的五位偶数有两类，第一，0在个位有个；第二，个位是2或4有，所以共有+。

学生4：由分类计数原理得：能被6整除的无重复数字的五位数共有++=108（个）。

（5）概括强化。

重点：了解数字排列问题的特点，理解把握数字排列中3、9问题的规律。

难点：数字排列知识的灵活应用。

关键：证明的思路以及定理的得出。

新学知识与已知知识之间的区分和联系：已知知识“由若干个数字排列成偶数”、“能被5整除的数”等问题，只要使排列成的数的个位数字为偶数，则这个数就是偶数，当排列成的数的个位数字为0或5时，则这个数就能被5整除”。新学知识“假如一个自然数n各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数n就能够被9整除；假如一个自然数n各个数位上的数字之和能被3整除，那么这个数n就能够被3整除。都是数字排列知识，要学会灵活应用。

（6）作业。请同学们自拟练习题，以求达到娴熟解决此类问题的目的。

总之，探究式教学模式是针对传统教学的种种弊端提出来的，新课程改革强调转变课程过于留意知识的传授和过于强调接受式学习的状况，提倡学生主动参加乐于探究、勤于动手，让学生经历科学探究过程，学习科学讨论方法，并强调获得知识、技能的过程成为学会学习和形成价值观的过程，以培育学生的探究精神、创新意识和实践能力。

数学教案高中教学篇9教学目标

（1）理解四种命题的概念；

（2）理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；

（3）理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；

（4）初步把握反证法的概念及反证法证题的基本步骤；

（5）通过对四种命题之间关系的学习，培育学生规律推理能力；

（6）通过对四种命题的存在性和相对性的熟悉，进行辩证唯物主义观点教育；

（7）培育学生用反证法简洁推理的技能，从而进展学生的思维能力。

教学重点和难点

重点：四种命题之间的关系；

难点：反证法的运用。

教学过程设计

一、导入新课

练习

1、把下列命题改写成“若p则q”的形式：

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）正方形的四条边相等。

2、什么叫互逆命题？上述命题的逆命题是什么？

将命题写成“若p则q”的形式，关键是找到命题的条件p与q结论。

假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互道命题。

上述命题的道命题是“若一个四边形的四条边相等，则它是正方形”和“若两条直线平行，则同位角相等”。

值得指出的是原命题和逆命题是相对的。我们也可以把逆命题当成原命题，去求它的逆命题。

3、原命题真，逆命题一定真吗？

“同位角相等，两直线平行”这个原命题真，逆命题也真。但“正方形的四条边相等”的原命题真，逆命题就不真，所以原命题真，逆命题不一定真。

学生活动：

口答：

（1）若同位角相等，则两直线平行；

（2）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

设计意图：

通过复习旧知识，打下学习否命题、逆否命题的基础。

二、新课

设问命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？

叙述可以将原命题的条件和结论分别否定，构成“同位角不相等，则两直线不平行”，这个命题叫原命题的否命题。

提问你能由原命题“正方形的四条边相等”构成它的否命题吗？

学生活动：

口答：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

老师活动：

叙述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题。

若用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┐p和┐q分别表示p和q的否定。

板书原命题：若p则q；

否命题：若┐p则q┐。

提问原命题真，否命题一定真吗？举例说明？

学生活动：

讲论后回答：

原命题“同位角相等，两直线平行”真，它的否命题“同位角不相等，两直线不平行”不真。

原命题“正方形的四条边相等”真，它的否命题“若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等”不真。

由此可以得原命题真，它的否命题不一定真。

设计意图：

通过设问和讨论，让学生在自己举例中讨论如何由原命题构成否命题及推断它们的真假，调动学生学习的乐观性。

老师活动：

提问命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题和否命题外，还可以不行以构成别的命题？

学生活动：

讨论后回答

总结可以将这个命题的条件和结论互换后再分别将新的条件和结论分别否定构成命题“两条直线不平行，则同位角不相等”，这个命题叫原命题的逆否命题。

老师活动：

提问原命题“正方形的四条边相等”的逆否命题是什么？

学生活动：

口答：若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形。

老师活动：

叙述一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个命题就叫做原命题的逆否命题。

原命题是“若p则q”，则逆否命题为“若┐q则┐p。

提问“两条直线不平行，则同位角不相等”是否真？“若一个四边形的四条边不相等，则不是正方形”是否真？若原命题真，逆否命题是否也真？

学生活动：

讨论后回答

这两个逆否命题都真。

原命题真，逆否命题也真。

老师活动：

提问原命题的真假与其他三种命题的真

假有什么关系？举例加以说明？

总结

1、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

2、原命题为真，它的否命题不一定为真。

3、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

设计意图：

通过设问和讨论，让学生在自己举例中讨论如何由原命题构成逆否命题及推断它们的真假，调动学生学的乐观性。

老师活动总结。

数学教案高中教学篇101、集合与函数概念实习作业

一、教学内容分析

《一般高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。——《实习作业》。本节课程体现数学文化的特色，学生通过了解函数的进展历史进一步感受数学的魅力。学生在自己动手收集、整理资料信息的过程中，对函数的概念有更深刻的理解；感受新的学习方式带给他们的学习数学的乐趣。

二、学生学习情况分析

该内容在《一般高中课程标准实验教科书·数学（1）》（人教A版）第44页。学生第一次完成《实习作业》，乐观性高，有热忱和新鲜感，但缺乏阅历，所以需要老师精心设计，做好打算工作，充分体现老师的“导演”角色。特殊在分组时留意学生的合理搭配（成果的好坏、家庭有无电脑、男女生比例、口头表达能力等），选题时，各组之间尽量不要重复，尽量多地选不同的题目，可以让全部的学生在学习共享的过程中受到更多的数学文化的熏陶。

三、设计思想

《标准》强调数学文化的重要作用，体现数学的文化的价值。数学教育不仅应该帮助学生学习和把握数学知识和技能，还应该有助于学生了解数学的价值。让学生逐步了解数学的思想方法、理性精神，体会数学家的创新精神，以及数学文明的深刻内涵。

四、教学目标

1、了解函数概念的形成、进展的历史以及在这个过程中起重大作用的历史事件和人物；

2、体验合作学习的方式，通过合作学习品尝共享获得知识的快乐；

3、在合作形式的小组学习活动中培育学生的领导意识、社会实践技能和民主价值观。

五、教学重点和难点

重点：了解函数在数学中的核心地位，以及在生活里的广泛应用；

难点：培育学生合作沟通的能力以及收集和处理信息的能力。

六、教学过程设计

课堂打算

1、分组：4～6人为一个实习小组，确定一人为组长。老师需要做好协调工作，确保每位学生都参加。

2、选题：根据个人爱好初步确定实习作业的题目。老师应该到各组中去了解选题情况，尽量多地选择不同的题目。

数学教案高中教学篇11整体设计

教学分析

本节通过图象变换，揭示参数φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，讨论函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是讨论函数图象变换的一个延长，也是讨论函数性质的一个直观反映.这节是本章的一个难点.

如何经过变换由正弦函数y=sinx来猎取函数y=Asin(ωx+φ)的图象呢?通过引导学生对函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律的探究，让学生体会到由简洁到复杂、由特殊到一般的化归思想；并通过对周期变换、相位变换先后挨次调整后，将影响图象变换这一难点的突破，让学生学会抓住问题的主要冲突来解决问题的基本思想方法通过对参数φ、ω、A的分类讨论，让学生深刻熟悉图象变换与函数解析式变换的内在联系.

本节课建议充分利用多媒体，提倡学生自主探究，在老师的引导下，通过图象变换和“五点”作图法，正确找出函数y＝sinx到y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，这也是本节课的重点所在.

三维目标

1.通过学生自主探究，理解φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响，A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

2.通过探究图象变换，会用图象变换法画出y=Asin(ωx+φ)图象的简图，并会用“五点法”画出函数y=Asin(ωx+φ)的简图.

3.通过学生对问题的自主探究，渗透数形结合思想.培育学生的独立意识和独立思考能力.学会合作意识，培育学生理解动与静的辩证关系，擅长从运动的观点观察问题，培育学生解决问题抓主要冲突的思想.在问题逐步深入的讨论中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观.

重点难点

教学重点:用参数思想分层次、逐步讨论字母φ、ω、A变化时对函数图象的形状和位置的影响，把握函数y=Asin(ωx+φ)图象的简图的作法.

教学难点:由正弦曲线y=sinx到y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程.

课时安排

2课时

教学过程

第1课时

导入新课

思路1.(情境导入)在物理和工程技术的许多问题中，都要遇到形如y=Asin(ωx+φ)的函数(其中A、ω、φ是常数).例如，物体做简谐振动时位移y与时间x的关系，沟通电中电流强度y与时间x的关系等，都可用这类函数来表示.这些问题的实际意义往往可从其函数图象上直观地看出，因此，我们有必要画好这些函数的图象.揭示课题:函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

思路2.(直接导入)从解析式来看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?从图象上看，函数y=sinx与函数y=Asin(ωx+φ)存在着怎样的关系?接下来，我们就分别探究φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.

推动新课

新知探究

提出问题

①观察沟通电电流随时间变化的图象，它与正弦曲线有何关系？你认为可以怎样讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响？

②分别在y=sinx和y=sin(x+)的图象上各恰当地选取一个纵坐标相同的点，同时移动这两点并观察其横坐标的变化，你能否从中发现，φ对图象有怎样的影响？对φ任取不同的值，作出y=sin(x+φ)的图象，看看与y＝sinx的图象是否有类似的关系？

③请你概括一下如何从正弦曲线动身，经过图象变换得到y=sin(x+φ)的图象.

④你能用上述讨论问题的方法，讨论探究参数ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响吗？为了作图的便利，先不妨固定为φ=，从而使y=sin(ωx+φ)在ω变化过程中的比较对象固定为y=sin(x+).

⑤类似地，你能讨论一下参数A对y=sin(2x+)的图象的影响吗？为了讨论便利，不妨令ω=2，φ=.此时，可以对A任取不同的值，利用计算器或计算机作出这些函数在同一坐标系中的图象，观察它们与y=sin(2x+)的图象之间的关系.

⑥可否先伸缩后平移？怎样先伸缩后平移的？

活动:问题①，老师先引导学生阅读课本开头一段，老师引导学生思考讨论问题的方法.同时引导学生观察y=sin(x+)图象上点的坐标和y=sinx的图象上点的坐标的关系，获得φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的详细熟悉.然后通过计算机作动态演示变换过程，引导学生观察变化过程中的不变量，得出它们的横坐标总是相差的结论.并让学生讨论探究.最后共同总结出:先分别讨论参数φ、ω、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响，然后再整合.

图1

问题②，由学生作出φ取不同值时，函数y=sin(x+φ)的图象，并探究它与y=sinx的图象的关系，看看是否仍有上述结论.老师引导学生获得更多的关于φ对y=sin(x+φ)的图象影响的阅历.为了讨论的便利，不妨先取φ=，利用计算机作出在同一直角坐标系内的图象，如图1，分别在两条曲线上恰当地选取一个纵坐标相同的点A、B，沿两条曲线同时移动这两点，并保持它们的纵坐标相等，观察它们横坐标的关系.可以发现，对于同一个y值，y=sin(x+)的图象上的点的横坐标总是等于y=sinx的图象上对应点的横坐标减去.这样的过程可通过多媒体课件，使得图中A、B两点动起来(保持纵坐标相等)，在变化过程中观察A、B的坐标、xB-xA、|AB|的变化情况，这说明y=sin(x+)的图象，可以看作是把正弦曲线y=sinx上全部的点向左平移个单位长度而得到的，同时多媒体动画演示y=sinx的图象向左平移使之与y=sin(x+)的图象重合的过程，以加深学生对该图象变换的直观理解.再取φ=，用同样的方法可以得到y=sinx的图象向右平移后与y=sin(x)的图象重合.

假如再变换φ的值，类似的情况将不断出现，这时φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的铺垫已经完成，学生关于φ对y=sin(x+φ)的图象的影响的一般结论已有了大致轮廓.

问题③，引导学生通过自己的讨论熟悉φ对y=sin(x+φ)的图象的影响，并概括出一般结论:

y=sin(x+φ)(其中φ≠0)的图象，可以看作是把正弦曲线上全部的点向左(当φ>0时)或向右(当φ1时)或伸长(当00，ω>0)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)上全部点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0由此我们得到了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象变化的影响情况.一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0)的图象，可以看作用下面的方法得到:先画出函数y＝sinx的图象再把正弦曲线向左(右)平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ)的图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍，得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.

⑥引导学生类比得出.其挨次是:先伸缩横坐标(或纵坐标)，再伸缩纵坐标(或横坐标)，最后平移.但学生很容易在第三步出错，可在图象变换时，对比变换，以引起学生留意，并体会一些细节.

由此我们完成了参数φ、ω、A对函数图象影响的探究.老师适时地引导学生回顾思考整个探究过程中体现的思想:由简洁到复杂，由特殊到一般的化归思想.

讨论结果:①把从函数y=sinx的图象到函数y=Asin(ωx+φ)的图象的变换过程，分解为先分别考察参数φ、ω、A对函数图象的影响，然后整合为对y=Asin(ωx+φ)的整体考察.

②略.

③图象左右平移，φ影响的是图象与x轴交点的位置关系.

④纵坐标不变，横坐标伸缩，ω影响了图象的形状.

⑤横坐标不变，纵坐标伸缩，A影响了图象的形状.

⑥可以.先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移)，但要留意第三步的平移.

y=sinx的图象

得y=Asinx的图象

得y=Asin(ωx)的图象

得y=Asin(ωx+φ)的图象.

规律总结:

先平移后伸缩的步骤程序如下:

y=sinx的图象

得y=sin(x+φ)的图象

得y=sin(ωx+φ)的图象

得y=Asin(ωx+φ)的图象.

先伸缩后平移的步骤程序(见上).

应用示例

例1画出函数y=2sin(x-)的简图.

活动:本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.

(1)引导学生从图象变换的角度来探究，这里的φ＝，ω＝，A＝2，激励学生根据本节所学内容自己写出得到y=2sin(x-)的图象的过程:只需把y＝sinx的曲线上全部点向右平行移动个单位长度，得到y=sin(x-)的图象再把后者全部点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)，得到y=sin(x-)的图象再把所得图象上全部点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到函数y=2sin(x-)的图象，如图4所示.

图4

(2)学生完成以上变换后，为了进一步把握图象的变换规律，老师可引导学生作换个挨次的图象变换，要让学生自己独立完成，仔细体会变化的实质.

(3)学生完成以上两种变换后，就得到了两种画函数y=2sin(x-)，简图的方法，老师再进一步的启发学生能否利用“五点法”作图画出函数y=2sin(x-)的简图，并激励学生动手按“五点法”作图的要求完成这一画图过程.

解:方法一:画出函数y=2sin(x-)简图的方法为

y=sinxy=sin(x-)

y=sin(x-)

y=2sin(x-).

方法二:画出函数y=2sin(x-)简图的又一方法为

y=sinxy=sinx

y=2sinxy=2sin(x-)=2sin(x-).

方法三:(利用“五点法”作图——作一个周期内的图象)

令X=x-，则x=3(X+).列表:

X

π

2π

X

2π

5π

Y

2

-2

描点画图，如图5所示.

图5

点评:学生独立完成以上探究后，对整个的图象变换及“五点法”作图会有一个新的熟悉.但老师要强调学生留意方法二中第三步的变换，左右平移变换只对“单个”x而言，这点是个难点，学生极易出错.对于“五点法”作图，要强调这五个点应该是使函数取最大值、最小值以及曲线与x轴相交的点.找出它们的方法是先作变量代换，设X=ωx+φ，再用方程思想由X取0，π，2π来确定对应的x值.

变式训练

山东威海一模统考，12要得到函数y=sin(2x+)的图象，只需将函数y=sinx的图象()

A.向左平移个单位，再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B.向右平移个单位，再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

C.向左平移个单位，再把全部点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

D.向右平移个单位，再把全部点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变

答案:C

山东菏泽一模统考，7要得到函数y=2sin(3x)的图象，只需将函数y＝2sin3x的图象()

A.向左平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向右平移个单位

答案:D

例2将y=sinx的图象怎样变换得到函数y=2sin(2x+)+1的图象?

活动:可以用两种图象变换得到.但无论哪种变换都是针对字母x而言的由y=sin2x的图象向左平移个单位长度得到的函数图象的解析式是y=sin2(x+)而不是y=sin(2x+)，把y=sin(x+)的图象的横坐标缩小到原来的，得到的函数图象的解析式是y=sin(2x+)，而不是y=sin2(x+).

解:方法一:①把y=sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=sin(x+)的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=sin(2x+)的图象；③将所得图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sin(2x+)的图象；④最后把所得图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象.

方法二:①把y=sinx的图象的纵坐标伸长到原来的2倍，得y=2sinx的图象；②将所得图象的横坐标缩小到原来的，得y=2sin2x的图象；③将所得图象沿x轴向左平移个单位长度，得y=2sin2(x+)的图象；④最后把图象沿y轴向上平移1个单位长度得到y=2sin(2x+)+1的图象.

点评:三角函数图象变换是个难点.本例很好地巩固了本节所学知识方法，关键是老师引导学生理清变换思路和各种变换对解析式的影响.

变式训练

1.将y=sin2x的图象怎样变换得到函数y=cos(2x-)的图象?

解:y=sin2x=cos(-2x)=cos(2x-).

在y=cos(2x-)中以x-a代x，有y=cos［2(x-a)-］=cos(2x-2a-).根据题意，有2x-2a-=2x-，得a=-.

所以将y=sin2x的图象向左平移个单位长度可得到函数y=cos(2x-)的图象.

2.如何由函数y=3sin(2x+)的图象得到函数y=sinx的图象？

方法一:y=3sin(2x+)y=sin(2x+)

y=sin(x+)y=sinx.

方法二:y=3sin(2x+)=3sin2(x+)y=3sin2x

y=sin2xy=sinx.

山东高考，4要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos(x-)的图象()

A.向右平移个单位B.向右平移个单位

C.向左平移个单位D.向左平移个单位

答案:A

知能训练

课本本节练习1、2.

解答:

1.如图6.

点评:第(1)(2)(3)小题分别讨论了参数A、ω、φ对函数图象的影响，第(4)小题则综合讨论了这三个参数对y=Asin(ωx+φ)图象的影响.

2.(1)C(2)B(3)C.

点评:判定函数y=A1sin(ω1x+φ1)与y=A2sin(ω2x+φ2)的图象间的关系.为了降低难度，在A1与A2，ω1与ω2，φ1与φ2中，每题只有一对数值不同.

课堂小结

1.由学生自己回顾总结本节课探究的知识与方法，以及对三角函数图象及三角函数解析式的新的熟悉，使本节的总结成为学生凝练提高的平台.

2.老师强调本节课借助于计算机讨论并画出y=Asin(ωx+)的图象，并分别观察参数φ、ω、A对函数图象变化的影响，同时通过详细函数的图象的变化，领会由简洁到复杂、特殊到一般的化归思想.

作业

1.用图象变换的方法在同一坐标系内由y=sinx的图象画出函数y=sin(-2x)的图象.

2.要得到函数y=cos(2x-)的.图象，只需将函数y=sin2x的图象通过怎样的变换得到?

3.指出函数y=cos2x+1与余弦曲线y=cosx的关系.

解答:1.∵y=sin(-2x)=sin2x，作图过程:

y=sinxy=sin2xy=sin2x.

2.∵y=cos(2x-)=sin[+(2x-)]=sin(2x+)=sin2(x+)，

∴将曲线y=sin2x向左平移个单位长度即可.

3.∵y=cos2x+1，

∴将余弦曲线y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，再将所得曲线上全部的点向上平移1个单位长度，即可得到曲线y=cos2x+1.

设计感想

1.本节图象较多，学生活动量大，因此本节设计的主要指导思想是充分利用信息技术工具，从整体上探究参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)图象整体变化的影响.这符合新课标精神，符合教育课改新理念.现代教育要求学生在富有的学习动机下主动学习，合作探究，老师仅是学生主动学习的激发者和引导者.

2.对于函数y=sinx的图象与函数y=Asin(ωx+φ)的图象间的变换，由于“平移变换”与“伸缩变换”在“挨次”上的差别，直接会对图象平移量产生影响，这点也是学习三角函数图象变换的难点所在，设计意图旨在通过对比让学生领悟它们的异同.

3.学习过程是一个认知过程，学生内部的认知因素和学习情景的因素是影响学生认知结构的变量.假如学生本身缺乏学习动机和原有的认知结构，外部的变量就不能发挥它们的作用，但外部变量所提供的刺激也能使内部能力引起学习.

(设计者:张云全)

第2课时

导入新课

思路1.(直接导入)上一节课中，我们分别探究了参数φ、ω、A对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响及“五点法”作图.现在我们进一步熟悉把握函数y=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，φ≠0)的图象变换及其物理背景.由此展开新课.

思路2.(复习导入)请同学们分别用图象变换及“五点作图法”画出函数y=4sin(x-)的简图，学生动手画图，老师适时的点拨、订正，并让学生回答有关的问题.在学生回顾与复习上节所学内容的基础上展开新课.

推动新课

新知探究

提出问题

①在上节课的学习中，用“五点作图法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象时，列表中最关键的步骤是什么？

②(1)把函数y＝sin2x的图象向平移个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图象；(2)把函数y＝sin3x的图象向平移个单位长度得到函数y＝sin(3x＋)的图象；(3)如何由函数y＝sinx的图象通过变换得到函数y＝sin(2x+)的图象？

③将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位长度，所得到的曲线是y=sinx的图象，试求函数y=f(x)的解析式.

对这个问题的求解现给出以下三种解法，请说出甲、乙、丙各自解法的正误.(多媒体出示各自解法)

甲生:所给问题即是将y=sinx的图象先向右平移个单位长度，得到y=sin(x-)的图象，再将所得的图象上全部点的横坐标缩短到原来的，得到y=sin(2x-)，即y=cos2x的图象，∴f(x)=cos2x.

乙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin(x++φ)=sinx，∴A=，=1，+φ=0，

即A=，ω=2，φ=-.∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.

丙生:设f(x)=Asin(ωx+φ)，将它的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y=Asin(x+φ)的图象，再将所得的图象向左平移个单位长度，得到y=Asin[(x+)+φ]=Asin(x++φ)=sinx，

∴A=，=1，+φ=0.

解得A=，ω=2，φ=-，

∴f(x)=sin(2x-)=cos2x.

活动:问题①，复习巩固已学三种基本变换，同时为导入本节课重、难点创设情境.让学生回答并回忆A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象变化的影响.引导学生回顾“五点作图法”，既复习了旧知识，又为学生正确使用本节课的工具提供必要的保障.

问题②，让学生通过实例综合以上两种变换，再次回顾比较两种方法平移量的区分和导致这一现象的根本原因，以此培育训练学生变换的逆向思维能力，训练学生对变换实质的理解及使用诱导公式的综合能力.

问题③，甲生的解法是考虑以上变换的“逆变换”，即将以上变换倒过来，由y=sinx变换到y=f(x)，解答正确.乙、丙两名同学都是采纳代换法，即设y=Asin(ωx+φ)，然后按题设中的变换得到两次变换后图象的函数解析式，这种思路清晰，但值得留意的是:乙生的解答过程中存在实质性的错误，就是将y=Asin(x+φ)的图象向左平移个单位长度时，把y=Asin(x+φ)函数中的自变量x变成x+，应该变换成y=Asin[(x+)+φ]，而不是变换成y=Asin(x++φ)，虽然结果一样，但这是巧合，丙同学的解答是正确的

三角函数图象的“逆变换”一定要留意其挨次，比如甲生解题的过程中假如交换了挨次就会出错，故在对这种方法不是很娴熟的情况下，用丙同学的解法较合适(即待定系数法).平移变换是对自变量x而言的，比如乙同学的变换就出现了这种错误.

讨论结果:①将ωx+φ看作一个整体，令其分别为0，，π，，2π.

②(1)右，；(2)左，；(3)先y＝sinx的图象左移，再把全部点的横坐标压缩到原来的倍(纵坐标不变).

③略.

提出问题

①回忆物理中简谐运动的相关内容，并阅读本章开头的简谐运动的图象，你能说出简谐运动的函数关系吗？

②回忆物理中简谐运动的相关内容，回答:振幅、周期、频率、相位、初相等概念与A、ω、φ有何关系.

活动:老师引导学生阅读并适时点拨.通过让学生回忆探究，建立与物理知识的联系，了解常数A、ω、φ与简谐运动的某些物理量的关系，得出本章开头提到的“简谐运动的图象”所对应的函数解析式有如下形式:y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.物理中，描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离这个简谐运动的周期是T=，这是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间这个简谐运动的频率由公式f==给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数ωx+φ称为相位x=0时的相位φ称为初相.

讨论结果:①y=Asin(ωx+φ)，x∈［0，+∞)，其中A>0，ω>0.

②略.

应用示例

例1图7是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:

(1)这个简谐运动的振幅、周期和频率各是多少?

(2)从O点算起，到曲线上的哪一点，表示完成了一次往复运动?如从A点算起呢?

(3)写出这个简谐运动的函数表达式.

图7

活动:本例是根据简谐运动的图象求解析式.老师可引导学生再次回忆物理学中学过的相关知识，并提