高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 课时达标38 空间点、直线、平面之间的位置关系试题

第38讲空间点、直线、平面之间的位置关系[解密考纲]考查点、线、面的位罝关系，常以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的(C)A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析直线a，b平行时，由“l⊥a，l⊥b”eq\o(⇒,/)“l⊥α”；“l⊥α”⇒“l⊥a，l⊥b”，所以“l⊥a，l⊥b”是“l⊥α”的必要不充分条件．2．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面解析连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，∴A1，C1，C，∴A1C⊂平面ACC1A∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A又M∈平面AB1D1，∴M为平面ACC1A1与AB1D1同理O，A为平面ACC1A1与平面AB1D1∴A，M，O三点共线．3．正方体A1C中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是(AA．相交 B．异面 C．平行 D．垂直解析如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．4．已知空间中有三条线段AB，BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是(D)A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解析若三条线段共面，如果AB，BC，CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线．5．(2018·黑龙江哈尔滨六中期中)下列命题正确的个数是(B)①梯形的四个顶点在同一平面内；②三条平行直线必共面；③有三个公共点的两个平面必重合；④每两条相交且交点各不相同的四条直线一定共面．A．1 B．2 C．3 D．4解析对于①，由于梯形为平面图形，故四个顶点在同一平面内，所以①正确；对于②，如三棱柱的三条侧棱相互平行但不共面，故三条平行线可共面，也可不共面，所以②不正确；对于③，当这三点共线时，两个平面可以不重合，故③不正确；对于④，由平面的性质可得满足条件的四条直线必共面，故④正确．综上，①④正确．故选B．6．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是(A)解析方法一对于B项，如图所示连接CD，因为AB∥CD，M，Q分别是所在棱的中点，所以MQ∥CD，所以AB∥MQ，又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，所以AB∥平面MNQ，同理可证C，D项中均有AB∥平面MNQ.故选A．方法二对于A项，设正方体的底面对角线的交点为O(如图所示)，连接OQ，则OQ∥AB，因为OQ与平面MNQ有交点，所以AB与平面MNQ有交点，即AB与平面MNQ不平行．故选A．二、填空题7．已知a，b为异面直线，直线c∥a，则直线c与b的位置关系是__相交或异面__.解析直线的位置关系有三种：相交、异面、平行．因为a，b为异面直线，c∥a，所以c与b不平行，故c与b可能相交或异面．8．四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是腰长为a的等腰三角形，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有__6__对．解析由题意可得PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，BD⊥PC，AD⊥PB，即互相垂直的异面直线共有6对．9．如图所示，正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，将此正方形沿EF折成直二面角后，异面直线AF与BE所成角的余弦值为__eq\f(1,2)__.解析如图，取BC的中点H，连接FH，AH，∴BE∥FH，∴∠AFH即为异面直线AF与BE所成的角．过A作AG⊥EF于G，则G为EF的中点．连接HG，HE，则△HGE是直角三角形．设正方形边长为2，则EF＝eq\r(2)，HE＝eq\r(2)，EG＝eq\f(\r(2),2)，∴HG＝eq\r(2＋\f(1,2))＝eq\f(\r(10),2)，∴AH＝eq\r(\f(5,2)＋\f(1,2))＝eq\r(3).由余弦定理知cos∠AFH＝eq\f(AF2＋HF2－AH2,2·AF·HF)＝eq\f(12＋22－3,2×1×2)＝eq\f(1,2).三、解答题10．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，求异面直线A1M与解析如图，连接D1M，可证D1M⊥又∵A1D1⊥DN，A1D1，MD1⊂平面A1MD1，A1D1∩MD1＝D1，∴DN⊥平面A1MD1，∴DN⊥A1M，即异面直线A1M与11．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BCeq\f(1,2)AD，BEeq\f(1,2)FA，G，H分别为FA,FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解析(1)证明：由已知FG＝GA，FH＝HD，可得GHeq\f(1,2)AD.又BCeq\f(1,2)AD，∴GHBC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)由BEeq\f(1,2)AF，G为FA的中点，知BEFG，∴四边形BEFG为平行四边形．∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．12．如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．(1)求证：AE与PB是异面直线；(2)求异面直线AE和PB所成角的余弦值；(3)求三棱锥A－EBC的体积．解析(1)证明：假设AE与PB共面，设平面为α.因为A∈α，B∈α，E∈α，所以平面α即为平面ABE，所以P∈平面ABE，这与P∉平面ABE矛盾，所以AE与PB是异面直线．(2)取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，所以∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成的角，因为∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，PA⊥平面ABC，所以AF＝eq\r(3)，AE＝eq\r(2)，EF＝eq\r(2)，由余弦定理得cos∠AEF＝eq\f(2＋2－3,2×\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,4)，所以异面直线AE和PB所成角的余弦值为eq\