高考数学二轮复习 124分项练10 直线与圆 文试题

12＋4分项练10直线与圆1．(2018·襄阳调研)已知点P(1,2)和圆C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是()A．R B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，0))答案C解析圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝1－eq\f(3,4)k2，因为过P有两条切线，所以P在圆外，从而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4＋k＋4＋k2>0，,1－\f(3,4)k2>0，))解得－eq\f(2\r(3),3)<k<eq\f(2\r(3),3).2．(2018·拉萨模拟)已知点P在圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0上运动，则点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是()A．4B.eq\r(5)C.eq\r(5)＋1D.eq\r(5)－1答案D解析圆C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1，圆心C(2,1)，半径为1，先求圆心到直线的距离eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2－2－5)),\r(12＋22))＝eq\r(5)>1，则圆上一点P到直线l：x－2y－5＝0的距离的最小值是eq\r(5)－1.3．(2018·泉州质检)已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，现给出下列四个命题：p1：∀k∈R，l与C相交；p2：∃k0∈R，l与C相切；p3：∀r>0，l与C相交；p4：∃r0>0，l与C相切．其中真命题为()A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p答案A解析因为圆C是以(1,0)为圆心，以r为半径的圆，而直线l是过点(1,0)，且斜率是k的直线，所以无论k，r取何值，都有直线过圆心，所以有∀k∈R，∀r>0，都有l与C相交，所以真命题有p1，p3.4．(2018·河北省衡水市武邑中学调研)若直线l：mx＋ny－m－n＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n≠0))将圆C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝4的周长分为2∶1两部分，则直线l的斜率为()A．0或eq\f(3,2) B．0或eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)答案B解析由题意知，直线l将圆分成的两部分中劣弧所对圆心角为eq\f(2π,3)，又圆心为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))，半径为2，则圆心到直线的距离为1，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3m＋2n－m－n)),\r(m2＋n2))＝1，解得m＝0或eq\f(m,n)＝－eq\f(4,3)，所以直线l的斜率为k＝－eq\f(m,n)＝0或eq\f(4,3).5．(2018·湖南师大附中月考)与圆x2＋(y－2)2＝2相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A．2条B．3条C．4条D．6条答案B解析直线过原点时，设方程为y＝kx，利用点到直线的距离等于半径可求得k＝±1，即直线方程为y＝±x；直线不过原点时，设其方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1(a≠0)，同理可求得a＝4，直线方程为x＋y＝4，所以符合题意的直线共3条，故选B.6．(2018·广东省佛山市顺德区调研)已知圆O1的方程为x2＋y2＝1，圆O2的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋a))2＋y2＝4，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1，3，－3)) B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(5，－5，3，－3))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－1)) D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，－3))答案A解析d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1,3，－3.7．(2018·河北省衡水中学模拟)若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B的距离之比为eq\r(2)，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(\r(2),3)答案A解析以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，0))，设P(x，y)，则eq\r(\f(x－12＋y2,x＋12＋y2))＝eq\r(2)，化简得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋3))2＋y2＝8，当点P到AB(x轴)距离最大时，△PAB的面积取得最大值，由圆的性质可得，△PAB面积的最大值为eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2).8．已知点A(2,3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,4)))∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]答案B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过点P(1,1)，kPA＝eq\f(3－1,2－1)＝2，kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象(图略)得k≤eq\f(3,4)或k≥2，故选B.9．已知点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，m))，P是圆C：(x－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2a＋4))2＝4上任意一点，若线段PQ的中点M的轨迹方程为x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1，则m的值为()A．1B．2C．3D．4答案D解析设P(x，y)，PQ的中点为Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(x－1,2)，,y0＝\f(y＋m,2).))因为点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，y0))在圆x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－1))2＝1上，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y＋m,2)－1))2＝1，即(x－1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋m－2))2＝4.将此方程与方程(x－a)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2a＋4))2＝4比较可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,2a－4＝－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－2))，))解得m＝4.10．(2018·四川省绵阳市南山中学模拟)若圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)，则直线l的斜率的取值范围是()A．[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)] B．[－2－eq\r(3)，eq\r(3)－2]C．[－2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)] D．[－2－eq\r(3)，2－eq\r(3)]答案B解析圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0可化为(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－2))2＝18，则圆心为(－2,2)，半径为3eq\r(2)，则由圆x2＋y2＋4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq\r(2)可得，圆心到直线l：ax＋by＝0的距离d≤3eq\r(2)－2eq\r(2)＝eq\r(2)，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－2a＋2b)),\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，则a2＋b2－4ab≤0，若b＝0，则a＝0，故不成立，故b≠0，则上式可化为1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))≤0.由直线l的斜率k＝－eq\f(a,b)，可知上式可化为k2＋4k＋1≤0，解得－2－eq\r(3)≤k≤－2＋eq\r(3).11．(2018·甘肃省西北师范大学附属中学诊断)若直线l：ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为()A.eq\r(5)B．5C．2eq\r(5)D．10答案B解析由直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M的周长，可知直线必过圆M的圆心，由圆的方程可得圆M的圆心坐标为(－2，－1)，代入直线方程ax＋by＋1＝0可得2a＋b又由(a－2)2＋(b－2)2表示点(2,2)与直线2a＋b由点到直线的距离公式得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2×2＋2－1)),\r(5))＝eq\r(5)，所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值为d2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))2＝5.12．(2017·全国Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，则λ＋μ的最大值为()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2答案A解析以A为坐标原点，分别以AD，AB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．设BD与圆C切于点E，连接CE，则CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即圆C的半径为eq\f(2\r(5),5)，∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).设P(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ为参数)，而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(\r(5),5)cosθ，λ＝y0＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ.两式相加，得λ＋μ＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，当且仅当θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.13．设直线l1：(a＋1)x＋3y＋2－a＝0，直线l2：2x＋(a＋2)·y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为________，若l1∥l2，则实数a的值为________．答案－eq\f(8,5)－4解析若l1⊥l2，则2(a＋1)＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋2))＝0，整理可得5a求解关于实数a的方程可得a＝－eq\f(8,5).若l1∥l2，则eq\f(a＋1,2)＝eq\f(3,a＋2)≠eq\f(2－a,1)，据此可得a＝－4.14．(2018·赣州适应性考试)以抛物线y2＝8x的焦点为圆心且与直线kx－y＋2＝0相切的圆中，最大面积的圆的方程为________________．答案(x－2)2＋y2＝8解析由题意可知，圆的圆心为F(2,0)，直线是过定点M(0,2)的动直线，当满足直线和FM垂直时，其圆心到直线的距离最大，即圆的半径最大，此时满足圆的面积最大，且半径为r＝eq\r(2－02＋0－22)＝2eq\r(2)，所以面积最大的圆的方程是(x－2)2＋y2＝8.15．在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－6x－4y＋8＝0与x轴的两个交点分别为A，B，其中A在B的右侧，以AB为直径的圆记为圆N，过点A作直线l与圆M，圆N分别交于C，D两点．若D为线段AC的中点，则直线l的方程为________．答案x＋2y－4＝0解析由题意得圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5，令y＝0，得x＝2或x＝4，所以A(4,0)，B(2,0)．则圆N的方程为(x－3)2＋y2＝1，由题意得直线l的斜率存在，所以设直线l：y＝k(x－4)．联立直线l的方程和圆M的方程消去y，得(1＋k2)x2－(8k2＋4k＋6)x＋16k2＋16k＋8＝0，所以4＋xC＝eq\f(8k2＋4k＋6,1＋k2)，①联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－32＋y2＝1，,y＝kx－4k，))得(1＋k2)x2－(8k2＋6)x＋16k2＋8＝0，所以4＋xD＝eq\f(8k2＋6,1＋k2)，②依题意得xC＋4＝2xD，③解①②③得k＝－eq\f(1,2).所以直线l的方程为x＋2y－4＝0.16．已知圆C1：(x－2cosθ)2＋