高考数学一轮复习 第十四单元 椭圆、双曲线、抛物线 高考达标检测（三十八）双曲线命题3角度-用定义、求方程、研性质 理试题

高考达标检测（三十八）双曲线命题3角度——用定义、求方程、研性质一、选择题1．若双曲线C1：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,8)＝1与C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4eq\r(5)，则b＝()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B由题意得，eq\f(b,a)＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4eq\r(5)⇒c＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(5)⇒b＝4.2．椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>n>0)与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的公共焦点为F1，F2，若P是两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是()A．m－a B．m2－a2C.eq\f(m－a,2) D.eq\r(m)－eq\r(a)解析：选B由题意，不妨设P在双曲线的右支上，则|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2∴|PF1|＝m＋a，|PF2|＝m－a，∴|PF1|·|PF2|＝m2－a2.3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积为()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(2),8) D.eq\f(\r(2),16)解析：选C双曲线C1：2x2－y2＝1，即eq\f(x2,\f(1,2))－y2＝1，所以左顶点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0))，渐近线方程y＝±eq\r(2)x，过点A与渐近线y＝eq\r(2)x平行的直线方程为y＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),2)))，即y＝eq\r(2)x＋1.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\r(2)x，,y＝\r(2)x＋1，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(\r(2),4)，,y＝\f(1,2)，))所以该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积S＝eq\f(1,2)|OA|·|y|＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),8).4．已知双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝6，P是E右支上一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆在边AF2上的切点为Q，若|AQ|＝eq\r(3)，则E的离心率为()A．2eq\r(3) B.eq\r(5)C.eq\r(3) D.eq\r(2)解析：选C如图，设△PAF2的内切圆在边PF2上的切点为M，在AP上的切点为N，则|PM|＝|PN|，|AQ|＝|AN|＝eq\r(3)，|QF2|＝|MF2|，由双曲线的对称性可得，|AF1|＝|AF2|＝|AQ|＋|QF2|＝eq\r(3)＋|QF2|，由双曲线的定义可得，|PF1|－|PF2|＝|PA|＋|AF1|－|PM|－|MF2|＝eq\r(3)＋|QF2|＋|AN|＋|NP|－|PM|－|MF2|＝2eq\r(3)＝2a，解得a＝eq\r(3)，又|F1F2|＝6，则c＝3，故离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3).5．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\r(5)C.eq\r(2) D．2解析：选C将x＝c代入双曲线方程可得|y|＝eq\f(b2,a)，因为以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为eq\f(b2,a)，又双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，所以eq\f(bc,\r(b2＋a2))＝eq\f(b2,a)，化简可得a＝b，则双曲线的离心离为eq\r(2).6．(2018·东北四校联考)已知点F1，F2为双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点P在双曲线C的右支上，且满足|PF2|＝|F1F2|，∠F1F2P＝120°，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(3)＋1,2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\r(3) D.eq\r(5)解析：选A如图，在△PF1F2中，|PF2|＝|F1F2|＝2又∠F1F2P＝120°，由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·cos120°＝12c2，所以|PF由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝2eq\r(3)c－2c＝2(eq\r(3)－1)故双曲线的离心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2c,2\r(3)－1c)＝eq\f(\r(3)＋1,2).7．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，A为右顶点，P为双曲线左支上一点，若eq\f(|PF2|2,|PF1|－|OA|)存在最小值为12a，则双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2\r(6),5) D.eq\f(\r(3),5)解析：选A设|PF1|－|OA|＝m，则eq\f(|PF2|2,|PF1|－|OA|)＝eq\f(3a＋m2,m)＝m＋eq\f(9a2,m)＋6a≥12a，当且仅当m＝3a时取等号，∴|PF1|＝4∴4a≥c－a，∴5a≥∴25a2≥a2＋b2，∴eq\f(b,a)≤2eq\r(6)，设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为α，则0＜tanα≤2eq\r(6)，∴cosα≥eq\f(1,5)，∴双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为eq\f(1,5).8．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某一条渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ＝60°且eq\o(OQ,\s\up7(→))＝5eq\o(OP,\s\up7(→))，则双曲线C的离心率为()A．2 B.eq\f(\r(21),3)C.eq\f(\r(7),2) D．3解析：选B如图，因为∠PAQ＝60°，|AP|＝|AQ|，所以△QAP为等边三角形．设|AQ|＝2R，因为eq\o(OQ,\s\up7(→))＝5eq\o(OP,\s\up7(→))，所以|PQ|＝2R，|OP|＝eq\f(1,2)R.又渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，A(a,0),取PQ的中点M，则|AM|＝eq\f(|ab|,\r(a2＋b2))，由勾股定理可得(2R)2－R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|ab|,\r(a2＋b2))))2，所以(ab)2＝3R2(a2＋b2)．①在△OQA中，eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)R))2＋2R2－a2,2·\f(5,2)R·2R)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(21,4)R2＝a2.②联立①②并结合c2＝a2＋b2，可得c2＝eq\f(7,4)b2＝eq\f(7,4)(c2－a2)，即3c2＝7a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\f(7,3))＝eq\f(\r(21),3).二、填空题9．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,3)－y2＝1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P，Q，其焦点是F1，F2，则四边形F1PF2Q的面积是________．解析：由题意得，双曲线的右准线x＝eq\f(3,2)与两条渐近线y＝±eq\f(\r(3),3)x的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，±\f(\r(3),2))).不妨设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1(－2,0)，F2(2,0)，故四边形F1PF2Q的面积是eq\f(1,2)|F1F2|·|PQ|＝eq\f(1,2)×4×eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10．(2017·山东高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋eq\f(p,2)，|BF|＝y2＋eq\f(p,2)，|OF|＝eq\f(p,2)，由|AF|＋|BF|＝y1＋eq\f(p,2)＋y2＋eq\f(p,2)＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)－\f(y2,b2)＝1，,x2＝2py))消去x，得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，所以y1＋y2＝eq\f(2pb2,a2)，所以eq\f(2pb2,a2)＝p，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(2),2)x.答案：y＝±eq\f(\r(2),2)x11．已知F1，F2为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F2作双曲线渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|2－|PF2|2＝c2，则双曲线的离心率e＝__________.解析：设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(b,a)x，F2(c,0)到渐近线的距离为d＝|PF2|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，cos∠POF2＝eq\f(\r(c2－b2),c)＝eq\f(a,c)，在△POF1中，|PF1|2＝|PO|2＋|OF1|2－2|PO|·|OF1|·cos∠POF1＝a2＋c2－2ac·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,c)))＝3a2＋c2，则|PF1|2－|PF2|2＝3a2＋c2－b2＝4a2＝c∴e＝eq\f(c,a)＝2.答案：212．过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，与双曲线的渐近线交于C，D两点，若|AB|≥eq\f(3,5)|CD|，则双曲线的离心率e的取值范围为__________．解析：设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为(c,0)，将x＝c代入双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f(b2,a)，令Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，∴|AB|＝eq\f(2b2,a).将x＝c代入y＝±eq\f(b,a)x，得y＝±eq\f(bc,a)，令Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(bc,a)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(bc,a)))，∴|CD|＝eq\f(2bc,a).∵|AB|≥eq\f(3,5)|CD|，∴eq\f(2b2,a)≥eq\f(3,5)·eq\f(2bc,a)，即b≥eq\f(3,5)c，则b2＝c2－a2≥eq\f(9,25)c2，即eq\f(16,25)c2≥a2，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(25,16)，即e≥eq\f(5,4).答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，＋∞))三、解答题13．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.解：(1)∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq\r(3)，点(eq\r(3)，0)是双曲线的一个顶点，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\r(3)，,a＝\r(3)，))解得c＝3，b＝eq\r(6)，∴双曲线的方程为eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1.(2)双曲线eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1的右焦点为F2(3,0)，∴经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝eq\f(\r(3),3)(x－3)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－\f(y2,6)＝1，,y＝\f(\r(3),3)x－3，))得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(6,5)，x1x2＝－eq\f(27,5).所以|AB|＝eq\r(1＋\f(1,3))×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(27,5))))＝eq\f(16\r(3),5).14．已知椭圆C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＞2，求k的取值范围．解：(1)设双曲线C2的方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，故双曲线C2的方程为eq\f(x2,3)－y2＝1.(2)将y＝kx＋eq\r(2)代入eq\f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq\r(2)kx－9＝0.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0，,Δ＝－6\r(2)k2＋361－3k2＝361－k2＞0，))∴k2＜1且k2≠eq\f(1,3).①设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq\f(－9,1－3k2).∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq\r(2))(kx2＋eq\r(2))＝(k2＋1)x1x2＋eq\r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq\f(3k2＋7,3k2－1).又∵eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＞2，即x1x2＋y1y2＞2，∴eq\f(3k2＋7,3k2－1)＞2，即eq\f(－3k2＋9,3k2－1)＞0，解得eq\f(1,3)＜k2＜3.②由①②得eq\f(1,3)＜k2＜1，故k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)).1．(2018·江西吉安一中测试)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，|CD|＝2x，其中x∈(0,1)，以A，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C，D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x∈(0,1)，不等式t<e1＋e2恒成立，则t的最大值为()A.eq\r(3) B.eq\r(5)C．2 D.eq\r(2)解析：选B由平面几何知识可得|BD|＝|AC|＝eq\r(1＋4x)，所以e1＝eq\f(2,\r(1＋4x)－1)，e2＝eq\f(2x,\r(1＋4x)＋1)，所以e1e2＝1.因为e1＋e2＝e1＋eq\f(1,e1)＝eq\f(2,\r(1＋4x)－1)＋eq\f(\r(1＋4x)－1,2)在x∈(0,1)上单调递减，所以e1＋e2>eq\f(2,\r(1＋4)－1)＋eq\f(\r(1＋4)－1,2)＝eq\r(5).因为对任意x∈(0,1)，不等式t<e1＋e2恒成立，所以t≤eq\r(5)，即t的最大值为eq\r(5).2．设A1，A2分别为双曲线C：eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的上、下顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率kMA1·kMA2>2，则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(6),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\