2023-2024学年人教A版必修第一册 　两角和与差的正弦、正切 学案

两角和与差的正弦、正切学习目标胸中有蓝图1.能利用两角和与差的余弦公式、诱导公式推导证明两角和与差的正弦公式.(逻辑推理)2.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导证明两角和与差的正切公式.(逻辑推理)3.理解两角和与差的正弦、正切公式,并能利用公式解决简单的三角函数式的求值、化简和证明问题.(逻辑推理、数学运算)【情境导学】乔布斯描述苹果电脑是“思想的自行车”——一种能够使人们的思想达到想象中任何角落的工具,并且功能多样,他用类比介绍了这一引领信息时代的创新发明.我们一旦开始给予类比密切的关注,就会发现它在生活中随处可见,类比可以推动创新.由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式?用类比的方法,由sin(α+β)能推导出sin(α-β)吗?一、两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Sα+βsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβα,β∈R两角差的正弦Sα-βsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβα,β∈R点睛两角和与差的正弦公式的理解(1)两角和与差的正弦公式的左端为两角和与差的正弦,右端为α,β的异名三角函数积的和与差,可以简记为“正余余正,符号相同”,前者指展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦,余弦乘正弦;后者是指展开后的两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同;(2)α,β可以是单个角,也可以是两个角的和与差,在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体.二、两角和与差的正切公式名称简记符号公式使用条件两角和的正切Tα+βtan(α+β)=tanα+tanβα,β,α+β≠kπ+π2(k∈Z)且tanαtanβ两角差的正切Tα-βtan(α-β)=tanα,β,α-β≠kπ+π2(k∈Z)且tanαtanβ点睛两角和与差正切公式的理解(1)在两角和与差的正切公式中,角α,β,α+β,α-β均不等于kπ+π2(k∈Z),这是由正切函数的定义域决定的(2)公式的结构特征及符号特征如下:①公式Tα±β的右侧为分式形式,其中分子为tanα与tanβ的和或差,分母为1与tanαtanβ的差或和.②符号变化规律可简记为“分子同,分母反”.思考你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗?提示:(1)tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).(2)1-tanαtanβ=tanα(3)tanα+tanβ+tanαtanβtan(α+β)=tan(α+β).(4)tanαtanβ=1-tanα【教材深化】1.两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系2.使用和(差)公式时不仅要会正用,还要能够逆用公式,如化简sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)时,不要将cos(α+β)和sin(α+β)展开,而是应采用整体思想,作如下变形:sinβcos(α+β)-cosβsin(α+β)=sin[β-(α+β)]=sin(-α)=-sinα.3.两角和与差的正切公式变形公式Tα±β在逆用时,一方面要熟记公式的结构,只要见到tanα±tanβ,tanαtanβ时,要有灵活应用公式Tα±β的意识,就不难想到解题思路.另一方面要注意常值代换.如tanπ4=1,tanπ6=33,tanπ3=3等.要特别注意tan(=1+tanα1-tanα,tan(π4【自我小测】1.辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (√)提示:根据公式的推导过程可得.(2)任意α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ成立. (×)提示:不符合公式.(3)sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin82°. (×)提示:因为sin56°cos26°-cos56°sin26°=sin(56°-26°)=sin30°,故原式错.(4)任意α,β∈R,tan(α+β)=tanα+tanβ成立. (×)提示:不符合公式.2.(教材改编·练习BT1)sin46°cos16°-sin44°sin164°= ()A.-12 B.C.32 D.-【解析】选B.sin46°cos16°-sin44°sin164°=sin46°cos16°-cos46°sin16°=sin(46°-16°)=sin30°=123.(教材改编·例5)下列式子结果为3的是________.(填序号)

①tan25°+tan35°+3tan25°tan35°;②2(sin35°cos25°+cos35°cos65°);③1+tan15°④1-【解析】对于①,由于tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),所以tan25°+tan35°+3tan25°tan35°=tan(25°+35°)1-3tan25°tan35°=tan(25°+35°)=3;对于②,由于cos65°=sin25°,所以2(sin35°cos25°+cos35°cos65°)=2(sin35°cos25°+cos35°sin25°)=2sin60°=3;对于③,因为tan45°=1,1+tan15°1-tan15°对于④,因为tan45°=1,1-tan15°1+tan15°答案:①②③类型一两角和与差正弦公式的应用(数学运算)[例1](1)2sin40°+sin20°cos20A.3 B.62 C.1 D.【解析】选A.原式=2sin(60=2×32cos20°-2×(2)若α,β为锐角,且满足cosα=45,cosα+β=513,则sin【解析】由α,β为锐角,且满足cosα=45cosα+β=513,可得sinα=35,sin所以sinβ=sinα+β-α=sinα+βcosα-cos答案:33(3)(2023·潍坊高一检测)若π4<β<π<α<3π2,且cos(α+β)=-210,sin2β=45,则α-【解析】因为π4<β<π,所以π2<2sin2β=45>0,所以π2<2β<π,所以π4<β所以-π2<-β<-π又π<α<3π2,所以π2<α-β<因为π2<2β<π,sin2β=45,所以cos2β=-又5π4<α+β<2π,cos(α+β)=-2所以sin(α+β)=-72所以sin(α-β)=sin(α+β)-2β=sin(α+β)cos2β=-7210×(-35)-(-210)×所以α-β=3π4答案:3π【总结升华】1.解决给角求值问题的方法(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形.(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式.2.解决给值求值问题的方法在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、拼角技巧,同时分析角之间的关系,利用角的代换化异角为同角,具体做法是:(1)当条件中有两角时,一般把“所求角”表示为已知两角的和或差;(2)当条件中只有一个已知角时,可利用诱导公式把所求角转化为已知角.【即学即练】1.(2023·烟台高一检测)计算:2sin20°sin10°-1tan10A.-2 B.2C.-3 D.3【解析】选C.原式=2sin20°sin10°-cos10°=2(12cos10°-32sin102.已知cos(π4-α)=35,sin(5π4+β)=-1213,α∈(π4,3π4),β∈(0,π4),则sin(αA.-1665 B.C.-6365 D.【解析】选B.因为α∈(π4,3π4),所以(π4-α)∈(-π2,0),又cos(π4-所以sin(π4-α)=-1-co因为β∈(0,π4),所以(π4+β)∈(π4,又sin(5π4+β)=sin(π+π4+β)=-sin(π4+β)=-1213,所以sin(π4+所以cos(π4+β)=1-si又(α+β)=(π4+β)-(π4-α所以sin(α+β)=sin[(π4+β)-(π4-α)]=sin(π4+β)cos(π4-α)-cos(π4+β)sin=1213×35-513×(-453.已知0<β<α<π2,点P(1,43)为角α的终边上一点,且sinαsinπcosαcosπ2+β=3314,则角A.π12 B.π6 C.π4 【解析】选D.因为|OP|=7,所以sinα=437,cosα=17.由已知sinαcosαcosπ2+β=3314,根据诱导公式化简得sinαcosβ-cosαsinβ=3314因为0<β<α<π2,所以0<α-β<π所以cos(α-β)=1-sin所以sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=437×1314-17×因为0<β<π2,所以角β=π类型二两角和与差正切公式的应用(逻辑推理、数学运算)[例2](1)(2023·德州高一检测)若tan(π4-α)=-2,则sinαsin2A.52 C.-52 D.-【解析】选C.由tan(π4-α)=-2可得1-tanα1+tan故sinαsin2αcos而sin2α+3cos2α=sin2α+3cos故tanαsin2α+3即sinαsin2(2)(2023·枣庄高一检测)已知sinα-2cosα=5,则tan(α-π4)=________【解析】对sinα-2cosα=5两边同时平方可得:(sinα-2cosα)2=5,sin2所以tan2解得tanα=-12所以tan(α-π4)=tanα答案:-3(3)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆交于A,B两点.已知A,B的横坐标分别为210,255①tan(α+β)的值;②α+2β的值.【解析】①由已知条件及三角函数的定义可知,cosα=210,cosβ=255.因为α为锐角,故sinα=1-cos同理可得sinβ=55.因此tanα=7,tanβ=1即tan(α+β)=tanα+tanβ1②tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]=-3+121-(-3)×12=-1.又0<α<π2,0<β由tan(α+2β)=-1得α+2β=34π【总结升华】1.公式Tα+β,Tα-β应用的解题策略(1)公式Tα+β,Tα-β中有tanα·tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)),三者知二可求出第三个;(2)化简过程中注意“1”与“tanπ4”,“3”与“tanπ3”2.解决给值求角问题的选择原则(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正余弦函数值,选正弦或余弦函数,若角的范围是0,π2,选正弦或余弦函数均可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围是(-π2,π【即学即练】1.求值:(1)cos75°-(2)tan36°+tan84°-3tan36°tan84°.【解析】(1)原式=1-tan75°1+tan75°(2)原式=tan120°(1-tan36°tan84°)-3tan36°tan84°=tan120°-tan120°tan36°tan84°-3tan36°tan84°=tan120°=-3.2.(2023·大连高一检测)已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α∈(0,π4),β∈(π(1)求tanα的值;(2)求2α-β的值.【解析】(1)由题意可得:tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-β)(2)由(1)可知:tanα=13则tan(2α-β)=tan[(α-β)+α]=tan(α-因为0<α<π4,π2<则0<2α<π2,-π<-β<-π可得-π<2α-β<0,故2α-β=-3π4【补偿训练】(2023·青岛高一检测)已知6cos(α-π2)+sin(α+π(1)求tanα的值;(2)若β∈(0,π2),且cos(π4+β)=55,求α+【解析】(1)因为6cos(α-π2)+sin(α+π所以6sinα+cosα-2cosα+3sinα=(2)因为β∈(0,π2),所以π4<π4+β且cos(π4+β)=55,所以sin(π4+β)所以cosβ=cos(π4+β)-π4=55所以sinβ=1010,则tanβ=1所以tan(α+β)=tanα+tanβ又因为α+β∈(0,3π4)所以α+β=π4类型三辅助角公式的应用(逻辑推理、数学运算)[例3](2023·沈阳高一检测)已知函数f(x)=22(sin2x+cos2x)+1(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的最大值及相应自变量x的值.【解析】(1)因为f(x)=22(sin2x+cos2x)+1=sin(2x+π4所以函数f(x)的最小正周期T=2π2(2)当2x+π4=π2+2kπ,k∈Z,即x=π8+kπ,k∈Z时,函数f(x)取最大值,【备选例题】已知a=(3,-1),b=(sinx,cosx),x∈R,f(x)=a·b,求函数f(x)的最小正周期,值域,单调递增区间.【解析】