人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案

第页人教版八年级数学上册《幂的运算》专项练习题-附含答案实战训练实战训练一．同底数幂的乘法1．已知2m•2m•8＝211则m＝4．试题分析：将已知中的2m•2m•8化为同底数的幂然后利用同底数幂的乘法法则进行计算再根据指数相同列式求解即可．答案详解：解：2m•2m•8＝2m•2m•23＝2m+m+3∵2m•2m•8＝211∴m+m+3＝11解得m＝4．所以答案是4．2．已知2x+3y﹣2＝0求9x•27y的值．试题分析：直接利用幂的乘方运算法则将原式变形进而化简得出答案．答案详解：解：∵2x+3y﹣2＝0∴2x+3y＝2∴9x•27y＝32x•33y＝32x+3y＝32＝9．3．已知3x+2＝m用含m的代数式表示3x（）A．3x＝m﹣9 B．3x=m9 C．3x＝m试题分析：根据同底数幂的乘法法则解答即可．答案详解：解：∵3x+2＝3x×32＝m∴3x所以选：B．二．同底数幂的除法4．已知：3m＝29n＝3则3m﹣2n＝23试题分析：先利用幂的乘方变为同底数幂再逆用同底数幂的除法求解．答案详解：解：∵9n＝32n＝3∴3m﹣2n＝3m÷32n=2所以答案是：235．已知m=154344n=54340试题分析：根据积的乘方的性质将m的分子转化为以3和5为底数的幂的积然后化简从而得到m＝n再根据任何非零数的零次幂等于1解答．答案详解：解：∵m=15∴m＝n∴2016m﹣n＝20160＝1．所以答案是：1．6．已知ka＝4kb＝6kc＝92b+c•3b+c＝6a﹣2则9a÷27b＝9．试题分析：先将9a÷27b变形再由ka＝4kb＝6kc＝92b+c•3b+c＝6a﹣2分别得出abc的关系式然后联立得方程组整体求得（2a﹣3b）的值最后代入将9a÷27b变形所得的式子即可得出答案．答案详解：解：9a÷27b＝（32）a÷（33）b＝（3）2a﹣3b∵ka＝4kb＝6kc＝9∴ka•kc＝kb•kb∴ka+c＝k2b∴a+c＝2b①；∵2b+c•3b+c＝6a﹣2∴（2×3）b+c＝6a﹣2∴b+c＝a﹣2②；联立①②得：a+c=2bb+c=a−2∴c=2b−∴2b﹣a＝a﹣2﹣b∴2a﹣3b＝2∴9a÷27b＝（3）2a﹣3b＝32＝9．所以答案是：9．三．幂的乘方与积的乘方（注意整体思想的运用）7．已知2m＝a32n＝bmn为正整数则25m+10n＝a5b2．试题分析：根据积的乘方与幂的乘方及同底数幂的乘法的运算法则解答．答案详解：解：∵2m＝a32n＝b∴25m+10n＝（2m）5•（25）2n＝（2m）5•322n＝（2m）5•（32n）2＝a5b2所以答案是：a5b2．8．计算：（﹣0.2）100×5101＝5．试题分析：根据幂的乘方与积的乘方运算法则将所求的式子变形为（﹣0.2×5）100×5再求解即可．答案详解：解：（﹣0.2）100×5101＝（﹣0.2）100×5100×5＝（﹣0.2×5）100×5＝5所以答案是：5．9．若x+3y﹣3＝0则2x•8y＝8．试题分析：根据已知条件求得x＝3﹣3y然后根据同底数幂的乘法法则进行解答．答案详解：解：∵x+3y﹣3＝0∴x＝3﹣3y∴2x•8y＝23﹣3y•23y＝23＝8．所以答案是：8．四．幂的运算中的规律10．阅读材料：求1+2+22+23+24+…+22017+22018的值．解：设S＝1+2+22+23+24+…+22017+22018①将等式两边同时乘2得2S＝2+22+23+24+25+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝22019﹣1即S＝22019﹣1所以1+2+22+23+24+…+22017+22018＝22019﹣1．请你仿照此法计算：（1）1+2+22+23+24+…+29+210；（2）1+3+32+33+34+…+3n﹣1+3n（其中n为正整数）．试题分析：（1）直接利用例题将原式变形进而得出答案；（2）直接利用例题将原式变形进而得出答案．答案详解：解：（1）设S＝1+2+22+23+24+…+210①将等式两边同时乘2得：2S＝2+22+23+24+…+210+211②②﹣①得2S﹣S＝211﹣1即S＝211﹣1∴1+2+22+23+24+…+210＝211﹣1．（2）设S＝1+3+32+33+34+…+3n①将等式两边同时乘3得：3S＝3+32+33+34+…+3n+3n+1②②﹣①得3S﹣S＝3n+1﹣1即S=12（3n+1∴1+3+32+33+34+…+3n=12（3n11．（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时nn+1＜（n+1）n；当n≥3时nn+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想可以知道：20082009＞20092008．试题分析：先要正确计算（1）中的各个数根据计算的结果确定所填的符号观察所填符号总结规律．答案详解：解：（1）①∵12＝121＝2∴12＜21②∵23＝832＝9∴23＜32③∵34＝8143＝64∴34＞43④∵45＝102454＝625∴45＞54⑤∵56＝1562565＝7776∴56＞65…（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时nn+1＜（n+1）n；当n≥3时nn+1＞（n+1）n；（3）∵n＝2008＞3∴20082009＞20092008．12．求1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200的值．试题分析：依据12=1−1212+14=1−1412+14+18=答案详解：解：∵12=112+112+1…12+1∴1+2﹣1+2﹣2+2﹣3+2﹣4+…+2﹣200＝1+＝1+1−1＝2−113．探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2（1）23﹣22＝2×22﹣1×22＝2（2）24﹣23＝2×23﹣1×23＝2（3）……（1）请仔细观察写出第4个等式；（2）请你找规律写出第n个等式；（3）计算：21+22+23+…+22019﹣22020．试题分析：（1）根据给出的内容直接可以仿写25﹣24＝2×24﹣1×24＝24（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n（3）将原式进行变形即提出负号后就转化为原题中的类型利用（1）（2）的结论直接得出结果．答案详解：解：探究：22﹣21＝2×21﹣1×21＝2123﹣22＝2×22﹣1×22＝2224﹣23＝2×23﹣1×23＝23（1）25﹣24＝2×24﹣1×24＝24；（2）2n+1﹣2n＝2×2n﹣1×2n＝2n；（3）原式＝﹣（22020﹣22019﹣22018﹣22017﹣……﹣22﹣2）＝﹣2．所以答案是：1；2×22﹣1×22；2；2×23﹣1×23；3五．新定义14．定义一种新运算（ab）若ac＝b则（ab）＝c例（28）＝3（381）＝4．已知（35）+（37）＝（3x）则x的值为35．试题分析：设3m＝53n＝7根据新运算定义用m、n表示（35）+（37）得方程求出x的值．答案详解：解：设3m＝53n＝7依题意（35）＝m（37）＝n∴（35）+（37）＝m+n．∴（3x）＝m+n∴x＝3m+n＝3m×3n＝5×7＝35．所以答案是：35．15．规定两数ab之间的一种运算记作（ab）；如果ac＝b那么（ab）＝c．例如：因为23＝8所以（28）＝3．（1）根据上述规定填空：①（5125）＝3（﹣2﹣32）＝5；②若（x18）＝﹣3则x＝2（2）若（45）＝a（46）＝b（430）＝c试探究abc之间存在的数量关系；（3）若（m8）+（m3）＝（mt）求t的值．试题分析：（1）①根据新定义的运算进行求解即可；②根据新定义的运算进行求解即可；（2）根据新定义的运算进行求解即可；（3）根据新定义的运算进行求解即可．答案详解：解：①∵53＝125∴（5125）＝3∵（﹣2）5＝﹣32∴（﹣2﹣32）＝5所以答案是：3；5；②由题意得：x﹣3=1则x﹣3＝2﹣3∴x＝2所以答案是：2；（2）∵（45）＝a（46）＝b（430）＝c∴4a＝54b＝64c＝30∵5×6＝30∴4a•4b＝4c∴a+b＝c．（3）设（m8）＝p（m3）＝q（mt）＝r∴mp＝8mq＝3mr＝t∵（m8）+（m3）＝（mt）∴p+q＝r∴mp+q＝mr∴mp•mr＝mt即8×3＝t∴t＝24．16．规定两数ab之间的一种运算记作（ab）：如果ac＝b那么（ab）＝c．例如：因为23＝8所以（28）＝3．（1）根据上述规定填空：（327）＝3（51）＝0（214）＝﹣2（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：（3n4n）＝（34）小明给出了如下的证明：设（3n4n）＝x则（3n）x＝4n即（3x）n＝4n所以3x＝4即（34）＝x所以（3n4n）＝（34）．请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：（34）+（35）＝（320）试题分析：（1）分别计算左边与右边式子即可做出判断；（2）设（34）＝x（35）＝y根据同底数幂的乘法法则即可求解．答案详解：解：（1）∵33＝27∴（327）＝3；∵50＝1∴（51）＝0；∵2﹣2=1∴（214（2）设（34）＝x（35）＝y则3x＝43y＝5∴3x+y＝3x•3y＝20∴（320）＝x+y∴（34）+（35）＝（320）．所以答案是：30﹣2．六．阅读类紧扣例题化归思想17．阅读下列材料：一般地n个相同的因数a相乘a⋅a⋯a︸n个记为an．如2×2×2＝23＝8此时3叫做以2为底8的对数记为log28（即log28＝3）．一般地若an＝b（a＞0且a≠1b＞0）则n叫做以a为底b的对数记为logab（即logab＝n）．如34＝81则4叫做以3为底81的对数（1）计算以下各对数的值：log24＝2log216＝4log264＝6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果你能归纳出一个一般性的结论吗？logaM+logaN＝loga（MN）；（a＞0且a≠1M＞0N＞0）（4）根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明上述结论．试题分析：首先认真阅读题目准确理解对数的定义把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察不难找到规律：4×16＝64log24+log216＝log264；（3）由特殊到一般得出结论：logaM+logaN＝loga（MN）；（4）首先可设logaM＝b1logaN＝b2再根据幂的运算法则：an•am＝an+m以及对数的含义证明结论．答案详解：解：（1）log24＝2log216＝4log264＝6；（2）4×16＝64log24+log216＝log264；（3）logaM+logaN＝loga（MN）；（4）证明：设logaM＝b1logaN＝b2则ab1=M∴MN=a∴b1+b2＝loga（MN）即logaM+logaN＝loga（MN）．18．阅读下列材料：若a3＝2b5＝3则ab的大小关系是a＞b（填“＜”或“＞”）．解：因为a15＝（a3）5＝25＝32b15＝（b5）3＝33＝2732＞27所以a15＞b15所以a＞b．解答下列问题：（1）上述求解过程中逆用了哪一条幂的运算性质CA．同底数幂的乘法B．同底数幂的除法C．幂的乘方D．积的乘方（2）已知x7＝2y9＝3试比较x与y的大小．试题分析：（1）根据幂的乘方进行解答即可；（2）根据题目所给的求解方法进行比较．答案详解：解：∵a15＝（a3）5＝25＝32b15＝（b5）3＝33＝2732＞27所以a15＞b15所以a＞b所以答案是：＞；（1）上述求解过程中逆用了幂的乘方所以选C；（2）∵x63＝（x7）9＝29＝512y63＝（y9）7＝37＝21872187＞512∴x63＜y63∴x＜y．19．阅读下面一段话解决后面的问题．观察下面一列数：1248…我们发现这一列数从第二项起每一项与它前一项的比都等于2．一般地如果一列数从第二项起每一项与它前一项的比都等于同一个常数这一列数就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的比．（1）等比数列5﹣1545…的第四项是﹣135．（2）如果一列数a1a2a3a4…是等比数列且公比为q那么根据上述的规定有a2a1=q，a3a2=q，a4a3=…所以a2＝a1qa3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2a4＝a3q＝（a1q2）q＝a1q3…an（3）一个等比数列的第二项是10第三项是20则它的第一项是5第四项是40．试题分析：（1）由于﹣15÷5＝﹣345÷（﹣15）＝﹣3所以可以根据规律得到第四项．（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方这样就可以推出公式了；（3）由于第二项是10第三项是20由此可以得到公比然后就可以得到第一项和第四项．答案详解：解：（1）∵﹣15÷5＝﹣345÷（﹣15）＝﹣3∴第四项为45×（﹣3）＝﹣135．故填空答案：﹣135；（2）通过观察发现第n项是首项a1乘以公比q的（n﹣1）次方即：an＝a1qn﹣1．故填空答案：a1qn﹣1；（3）∵公比等于20÷10＝2∴第一项等于：10÷2＝5第四项等于20×2＝40．an＝a1qn﹣1．故填空答案：它的第一项是5第四项是40．七．整式除法（难点）20．我阅读：类比于两数相除可以用竖式运算多项式除以多项式也可以用竖式运算其步骤是：（i）把被除式和除式按同一字母的降幂排列（若有缺项用零补齐）．（ii）用竖式进行运算．（ii）当余式的次数低于除式的次数时运算终止得到商式和余式．我会做：请把下面解答部分中的填空内容补充完整．求（5x4+3x3+2x﹣4）÷（x2+1）的商式和余式．解：答：商式是5x2+3x﹣5余式是﹣x+1；我挑战：已知x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除请直接写出a、b的值．试题分析：我会做：根据“我阅读”的步骤计算填空即可；我挑战：用竖式计算令余式为0即可算出ab的值．答案详解：解：我阅读：（iii）余式是﹣x+1所以答案是：0x2﹣5x2﹣5x2﹣5x2+0x﹣5﹣x+1；我挑战：∴x4+x3+ax2+x+b＝（x2+x+1）（x2+a﹣1）+（2﹣a）x+b﹣a+1∵x4+x3+ax2+x+b能被x2+x+1整除∴（2﹣a）x+b﹣a+1＝0∴2﹣a＝0且b﹣a+1＝0解得a＝2b＝1．21．计算：3a3b2÷a2+b•（a2b﹣3ab）．试题分析：根据单项式的除法以及单项式乘以多项式进行计算即可．答案详解：解：原式＝3ab2+a2b2﹣3ab2＝a2b2．22．计算：（2a3•3a﹣2a）÷（﹣2a）试题分析：依据单项式乘单项式法则进行计算然后再依据多项式除以单项式法则计算即可．答案详解：解：原式＝（6a4﹣2a）÷（﹣2a）＝6a4）÷（﹣2a）﹣2a÷（﹣2a）＝﹣3a3+1．八．巧妙比大小化相同23．阅读下列解题过程试比较2100与375的大小．解：∵2100＝（24）25＝1625375＝（33）25＝2725而16＜27∴2100＜375请根据上述解答过程解答：比较255、344、433的大小．试题分析：根据幂的乘方的逆运算把各数化为指数相同、底数不同的形式再根据底数的大小比较即可．答案详解：解：∵255＝3211344＝8111433＝6411且32＜64＜81∴255＜433＜344．24．比较20162017与20172016的大小我们可以采用从“特殊到一般”的思想方法：（1）通过计算比较下列各式中两数的大小：（填“＞”、“＜”或“＝”）①12＜21②23＜32③34＞43④45＞54⑤56＞65…（2）由（1）可以猜测nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系：当n≤2时nn+1＜（n+1）n；当n＞2时nn+1＞（n+1）n；（3）根据上面的猜想则有：20162017＞20172016（填“＞”、“＜”或“＝”）．试题分析：（1）通过计算可比较大小；（2）观察（1）中的符号归纳nn+1与（n+1）n（n为正整数）的大小关系；（3）由（2）中的规律可直接得到答案；答案详解：解：（1）①∵12＝121＝2∴12＜21②∵23＝832＝9∴23＜32③∵34＝8143＝64∴34＞43④∵45＝102454＝625∴45＞54⑤∵56＝1562565＝7776∴56＞65（2）通过观察可以看出；n≤2时nn+1＜（n+1）n；n＞2时nn+1＞（n+1）n；（3）由（2）得到的结论；2016＞2∴20162017＞20172016．所以答案是：（1）＜＜＞＞；≤2＞2；＞．25．（1）用“＞”、“＜”、“＝”填空：35＜3653＜63（2）比较下列各组中三个数的大小并用“＜”连接：①41086164②255344433．试题分析：（1）根据底数为大于1的正数时底数相同指数越大幂越大和指数相同时底数越小幂越小填空即可；（2）①先把这3个数化为底数都为2的幂比较大小；②根据（am）n＝amn（mn是正整数）的逆运算把三个数化为指数相同的数再比较底数的大小即可．答案详解：解：（1）∵3＞1∴35＜36所以答案是：＜；∵1＜5＜6∴53＜63所以答案是：＜；（2）①∵410＝（42）5＝220164＝（42）4＝21686＝218∵220＞218＞216∴164＜86＜410；②∵255＝（25）11344＝（34）11433＝（43）11又∵25＝32＜43＝64＜34＝81∴255＜433＜344．九．幂的运算的综合提升26．已知5a＝2b＝10求1a试题分析：想办法证明ab＝a+b即可．答案详解：解：∵5a＝2b＝10∴（5a）b＝10b（2b）a＝10a∴5ab＝