人教版七年级数学下册《相交线与平行线中的四种几何模型》专项练习题-附含答案

第页人教版七年级数学下册《相交线与平行线中的四种几何模型》专项练习题-附含答案类型一、猪脚模型例．问题情境：如图①直线点EF分别在直线ABCD上．(1)猜想：若试猜想______°；(2)探究：在图①中探究之间的数量关系并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②若求的度数．【答案】(1)(2)；证明见详解(3)【详解】（1）解：如图过点作∵∴．∴．∵∴∴．∵∴∠P=80°．故答案为：；（2）解：理由如下：如图过点作∵∴．∴．∴∵．（3）如图分别过点、点作、∵∴．∴．∴∵∴∴故答案为：．【变式训练1】已知直线直线EF分别与直线ab相交于点EF点AB分别在直线ab上且在直线EF的左侧点P是直线EF上一动点（不与点EF重合）设∠PAE＝∠1∠APB＝∠2∠PBF＝∠3．(1)如图当点在线段上运动时试说明∠1＋∠3＝∠2；(2)当点P在线段EF外运动时有两种情况．①如图2写出∠1∠2∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示猜想∠1∠2∠3之间的关系（不要求证明）．【答案】(1)证明见详解(2)①；证明见详解；②；证明见详解【详解】（1）解：如图4所示：过点作∵∴∴∵∴；（2）解：①如图5过点作∵∴∴∵∴；②如图6过点作∵∴∴∵∴．【变式训练2】阅读下面内容并解答问题．已知：如图1直线分别交于点．的平分线与的平分线交于点．(1)求证：；(2)填空并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上分别作的平分线与的平分线交于点得到图2则的度数为．②如图3直线分别交于点．点在直线之间且在直线右侧的平分线与的平分线交于点则与满足的数量关系为．【答案】(1)见解析(2)①；②结论：【详解】（1）证明：如图过作平分平分在中；（2）解：①如图2中由题意平分平分故答案为：；②结论：．理由：如图3中由题意平分平分故答案为：．【变式训练3】如图：(1)如图1直接写出的度数．(2)如图2点为直线间的一点平分平分写出与之间的关系并说明理由．(3)如图3与相交于点点为内一点平分平分若直接写出的度数．【答案】(1)∠BED=66°；(2)∠BED=2∠F见解析；(3)∠BED的度数为130°．【详解】（1）解：（1）如图作EF∥AB∵直线AB∥CD∴EF∥CD∴∠ABE=∠1=45°∠CDE=∠2=21°∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F理由是：过点E作EG∥AB延长DE交BF于点H∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG∴∠5=∠1+∠2∠6=∠3+∠4又∵BF平分∠ABEDF平分∠CDE∴∠2=∠1∠3=∠4则∠5=2∠2∠6=2∠3∴∠BED=2(∠2+∠3)又∠F+∠3=∠BHD∠BHD+∠2=∠BED∴∠3+∠2+∠F=∠BED综上∠BED=∠F+12∠BED即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H延长GE到I∵∠BGD=60°∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°∴∠2+∠1=35°即2(∠2+∠1)=70°∵BF平分∠ABEDF平分∠CDE∴∠ABE=2∠2∠CDE=2∠1∴∠BEI=∠ABE+∠BGE=2∠2+∠BGE∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+(∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°∴∠BED的度数为130°．类型二、铅笔模型例．问题情景：如图1AB∥CD∠PAB＝140°∠PCD＝135°求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后立即口答出：∠APC＝85°请补全她的推理依据．如图2过点P作PE∥AB因为AB∥CD所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°∠PCD＝135°所以∠APE＝40°∠CPE＝45°∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3AD∥BC当点P在A、B两点之间运动时∠ADP＝∠α∠BCP＝∠β求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）请直接写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论）两直线平行同旁内角互补；（2）理由见解析；（3）或【详解】解：（1）如图2过点P作PE∥AB因为AB∥CD所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∠A+∠APE＝180°∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∠PAB＝140°∠PCD＝135°所以∠APE＝40°∠CPE＝45°∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行同旁内角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β理由如下：如图3所示过P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E同（2）可知：∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线时如图5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE∠β=∠CPE∴∠CPD=∠α-∠β．综上所述∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【变式训练1】已知直线AB∥CD（1）如图（1）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．若∠A=140°∠C=150°则∠AGC的度数是多少？（2）如图（2）点G为AB、CD间的一点联结AG、CG．∠A=x°∠C=y°则∠AGC的度数是多少？（3）如图（3）写出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之间有何关系？直接写出结论．【答案】（1）70°；（2）∠AGC=（x+y）°；（3）∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【详解】解：（1）如图过点G作GE∥AB∵AB∥GE∴∠A+∠AGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∠A=140°∴∠AGE=40°．∵AB∥GEAB∥CD∴GE∥CD．∴∠C+∠CGE=180°（两直线平行同旁内角互补）．∵∠C=150°∴∠CGE=30°．∴∠AGC=∠AGE+∠CGE=40°+30°=70°．（2）如图过点G作GF∥AB∵AB∥GF∴∠A=AGF（两直线平行内错角相等）．∵AB∥GFAB∥CD∴GF∥CD．∴∠C=∠CGF．∴∠AGC=∠AGF+∠CGF=∠A+∠C．∵∠A=x°∠C=y°∴∠AGC=（x+y）°．（3）如图所示过点E作EM∥AB过点F作FN∥AB过点G作GQ∥CD∵AB∥CD∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD．∴∠BAE=∠AEM∠MEF=∠EFN∠NFG=∠FGQ∠QGC=∠GCD（两直线平行内错角相等）．∴∠AEF=∠BAE+∠EFN∠FGC=∠NFG+GCD．∵∠EFN+∠NFG=∠EFG∴∠BAE+∠EFG+∠GCD=∠AEF+∠FGC．【变式训练2】问题情境：如图1AB∥CD∠PAB＝130°∠PCD＝120°求∠APC度数．思路点拨：小明的思路是：如图2过P作PE∥AB通过平行线性质可分别求出∠APE、∠CPE的度数从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3连接AC通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4延长AP交DC的延长线于E通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5AD∥BC点P在射线OM上运动当点P在A、B两点之间运动时∠ADP＝∠α∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合）请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】问题解决：110°；问题迁移：（1）∠CPD＝∠α+∠β理由见解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α理由见解析【详解】解：小明的思路：如图2过P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°∠CPE＝180°﹣∠C＝60°∴∠APC＝50°+60°＝110°故答案为：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β理由如下：如图5过P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图6过P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当P在BO之间时∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图7过P作PE∥AD交CD于E∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC∴∠α＝∠DPE∠β＝∠CPE∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．类型三、锄头模型例．已知AB∥CD．点M在AB上点N在CD上．（1）如图1中∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中NE平分∠FNDMB平分∠FME且2∠E＋∠F＝180°求∠FME的度数；（3）如图4中∠BME＝60°EF平分∠MENNP平分∠END且EQ∥NP则∠FEQ的大小是否发生变化若变化请说明理由若不变化求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变30°【详解】解：（1）过E作EH∥AB如图1∴∠BME＝∠MEH∵AB∥CD∴HE∥CD∴∠END＝∠HEN∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2过F作FH∥AB∴∠BMF＝∠MFK∵AB∥CD∴FH∥CD∴∠FND＝∠KFN∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FNDMB平分∠FME∴∠FME＝∠BME＋∠BMF∠FND＝∠FNE＋∠END∵2∠MEN＋∠MFN＝180°∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°解得∠BMF＝60°∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小没发生变化∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END∵EF平分∠MENNP平分∠END∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END）∠ENP＝∠END∵EQ∥NP∴∠NEQ＝∠ENP∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME∵∠BME＝60°∴∠FEQ＝×60°＝30°．【变式训练1】（1）如图（1）AB∥CD猜想∠BPD与∠B、∠D的关系说出理由．（2）观察图（2）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系并说明理由．（3）观察图（3）和（4）已知AB∥CD猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D理由见解析【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB∴∠B+∠BPE=180°∵AB∥CDEF∥AB∴EF∥CD∴∠EPD+∠D=180°∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2过点P作PE∥AB∵AB∥CD∴PE∥AB∥CD∴∠1=∠B∠2=∠D∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3）∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD∴∠1=∠D∵∠1=∠B+∠BPD∴∠D=∠B+∠BPD即∠BPD=∠D-∠B；如图（4）∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD∴∠1=∠B∵∠1=∠D+∠BPD∴∠B=∠D+∠BPD即∠BPD=∠B-∠D．【变式训练2】已知点为平面内一点于．（1）如图1点在两条平行线外则与之间的数量关系为______；（2）点在两条平行线之间过点作于点．①如图2说明成立的理由；②如图3平分交于点平分交于点．若求的度数．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105°【详解】解：（1）如图1AM与BC的交点记作点O∵AM∥CN∴∠C=∠AOB∵AB⊥BC∴∠A+∠AOB=90°∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2过点B作BG∥DM∵BD⊥AM∴DB⊥BG∴∠DBG=90°∴∠ABD+∠ABG=90°∵AB⊥BC∴∠CBG+∠ABG=90°∴∠ABD=∠CBG∵AM∥CNBG∥DM∴∠C=∠CBG∠ABD=∠C；②如图3过点B作BG∥DM∵BF平分∠DBCBE平分∠ABD∴∠DBF=∠CBF∠DBE=∠ABE由（2）知∠ABD=∠CBG∴∠ABF=∠GBF设∠DBE=α∠ABF=β则∠ABE=α∠ABD=2α=∠CBG∠GBF=∠AFB=β∠BFC=3∠DBE=3α∴∠AFC=3α+β∵∠AFC+∠NCF=180°∠FCB+∠NCF=180°∴∠FCB=∠AFC=3α+β△BCF中由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°∵AB⊥BC∴β+β+2α=90°∴α=15°∴∠ABE=15°∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．类型四、齿距模型例．如图AB∥EF设∠C＝90°那么xyz的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【详解】解：作CG//ABDH//EF∵AB//EF∴AB//CG//HD//EF∴∠x=∠1∠CDH=∠2∠HDE=∠