概率论与数理统计课后习题答案chapter2

习题解答1．现有10件产品，其中6件正品，4件次品。从中随机抽取2次，每次抽取1件，定义两个随机变量、如下：试就下面两种情况求的联合概率分布和边缘概率分布。（1）第1次抽取后放回；（2）第1次抽取后不放回。解（1）依题知所有可能的取值为.因为所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：01011（2）类似于（1），可求得所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：010112.已知10件产品中有5件一级品，2件废品。现从这批产品中任意抽取3件，记其中的一级品数与废品数分别为、，求的联合概率分布和边缘概率分布。解依题知、所有可能的取值分别为及，故所以的联合概率分布及关于、边缘概率分布如下表为：012012030013.已知随机变量、的概率分布分别为0101-101且，求（1）和的联合概率分布；（2）.解（1）因为所以01-10010101-100101可得，，，.故的联合概率分布为01-1000101(2)由(1)知.4.设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）常数；（2）关于、的边缘概率密度；（3）；（4）；（5）.解（1）由联合概率密度分的性质知，即，求得.（2）当时，有.当时，有.所以关于的边缘概率密度为同理可得关于的边缘概率密度为（3）.1xoy1xoyy=+xoyy=xoyy=x=.5．设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度；（2）.解（1）当时，有；当时，有.所以关于的边缘概率密度为同理可得关于的边缘概率密度为（2）由条件概率的定义知而；；于是.6．设二维随机向量的联合概率密度为试求：（1）关于、的边缘概率密度；（2）.解（1）当时，有；当时，有.所以关于的边缘概率密度为同理当时，有；当时，有.所以关于的边缘概率密度为（2）.7.某公司经理和他的秘书定于本周星期日中午12点至下午1点在办公室会面，并约定先到者等20分钟后即可离去，试求二人能会面的概率。解记经理和他的秘书到达办公室的时间分别为12点分与12点分。依题可假定服从区域上的均匀分布，其联合概率密度为2060xoy602060xoy6020（图中所示阴影部分）可表示为于是习题解答1.设随机变量与相互独立同分布，且，，则().（A）（B）（C）（D）解由与相互独立同分布知的联合概率分布为001011于是有2.设随机变量相互独立同分布，且，，求行列式的分布列。解，而、的概率分布分别为：010101由于相互独立，所以与也独立同分布，故的概率分布为-101-1013.设二维随机向量服从矩形区域上的均匀分布，且求与的联合概率分布。解依题的概率分布为；；；.即010014.求习题第4，5，6题中的联合分布函数。解（习题第4题）当时，有；当时，有.所以的联合分布函数为（习题第5题）当时，有；当时，有；当时，有；当时，有；当时，有.所以的联合分布函数为（习题第6题）类似地可求得的联合分布函数为5．设二维随机向量的联合概率密度为求的联合分布函数。解当时，有；当时，有；当时，有；当时，有；当时，有.所以的联合分布函数为6.设随机变量与相互独立，其概率密度函数分别为求：（1）常数；（2）随机变量的概率密度函数。解(1).（2）因与相互独立，故的联合概率密度为于是当时，有；当时，有；当时，有；利用分布函数法求得的概率密度函数为7.设的联合分布函数为求：（1）常数；（2）的联合概率密度；（3）的边缘分布函数和边缘概率密度；（4），，；（5）判断与的独立性。解（1）依分布函数的性质知；；解得，.(2);(3)依联合分布函数的性质知，;所以的边缘概率密度分别为，.(4)，，(5)因为所以与相互独立.8.设某仪器由两个部件构成，用、分布表示两个部件的寿命（单位：小时），已知的联合分布函数为试求：（1）求的两个边缘分布函数；（2）求联合概率密度与边缘概率密度；（3）与是否独立；（4）两个部件寿命都超过100小时的概率。解（1）当时，有；当时，有.所以关于的边缘分布函数为类似地关于的边缘分布函数为(2)当时，有所以联合概率密度为相应地其边缘概率密度分别为(3)因为所以与相互独立。(4)所求事件的概率为9.设与相互独立，且服从的指数分布，服从的指数分布，试求：（1）联合概率密度与边缘概率密度；（2）；