第03讲 一元一次方程的应用（知识解读+真题演练+课后巩固）（解析版）

第03讲一元一次方程的应用 进一步经历运用方程解决实际问题的过程。提高学生找等量关系列方程的能力。培养学生的抽象、概括、分析和解决问题的能力。【题型1和、差、倍、分问题】【题型2行程问题】距离=速度·时间【题型3工程问题】工作量=工效×工时工程问题常用等量关系：先做的+后做的=完成量【题型4顺水逆水问题】顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；顺水逆水问题常用等量关系：顺水路程=逆水路程【题型5商品利润问题】售价=定价；利润问题常用等量关系：售价-进价=利润【题型6分配问题】【题型7配套问题】【题型8数字与日历问题】【题型9方案选择问题】【题型10分段计费问题】【题型11隧道或过桥问题】【题型12几何图形问题】【题型1和、差、倍、分问题】【典例1】（2023•萍乡模拟）某顾客在商场搞活动期间，分别以7折和9折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款386元，这两种商品原价总和为500元，求甲、乙两种商品的原价．【答案】甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【解答】解：设甲商品的原价为x元，则乙商品的原价为（500﹣x）元，根据题意得：0.7x+0.9（500﹣x）＝386，解得：x＝320，则500﹣x＝180．答：甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【变式1-1】（2023•仙游县校级模拟）某校为2023级初一新生采购1000套校服，已知购买一套男生校服需花费135元，购买一套女生校服需花费150元，本次采购花费143700元，求该校采购的男生校服和女生校服的套数．【答案】该校采购的男生校服420套，女生校服580套．【解答】解：设该校采购的男生校服x套，女生校服（1000﹣x）套，由题意知，135x+150（1000﹣x）＝143700，去括号得，135x+150000﹣150x＝143700，移项合并得，﹣15x＝﹣6300，系数化为1得，x＝420，∴1000﹣x＝580（套），∴该校采购的男生校服420套，女生校服580套．【变式1-2】（2023•萍乡模拟）某顾客在商场搞活动期间，分别以7折和9折的优惠购买了甲、乙两种商品，共付款386元，这两种商品原价总和为500元，求甲、乙两种商品的原价．【答案】甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【解答】解：设甲商品的原价为x元，则乙商品的原价为（500﹣x）元，根据题意得：0.7x+0.9（500﹣x）＝386，解得：x＝320，则500﹣x＝180．答：甲商品的原价为320元，乙商品的原价为180元．【变式1-3】（2022秋•昆都仑区校级期末）某单位要从商场购入A、B两种物品，预计需要花费620元，其中A种物品每件4元，B种物品每件10元，且购买A种物品的数量比B种物品的2倍还多20件．（1）求购买A、B两种物品各多少件？（2）实际购买时正赶上商场搞促销活动，A种物品按8折销售，B种物品按9折销售，则该单位此次购买可以省多少钱？【答案】解：（1）答：购买A种物品80件，购买B种物品30件；（2）94元．【解答】解：（1）设购买B种物品x件，则购买A种物品（2x+20）件，依题意得：4（2x+20）+10x＝620，解得：x＝30．所以2x+20＝80．答：购买A种物品80件，购买B种物品30件；（2）620﹣4×80×0.8﹣10×30×0.9＝94（元）．答：学校此次购买可以省94元．【题型2行程问题】【典例2】（2023春•杨浦区期末）一列动车从甲站开往乙站，若动车以180千米/小时的速度行驶，能准时到达乙站，现在动车以160千米/小时的速度行驶了2小时后把速度提高到240千米/小时，也能准时到达乙站，求甲、乙两站之间的距离．【答案】甲、乙两站之间的距离为480千米．【解答】解：设甲、乙两站之间的距离为x千米，根据题意可得：，解得：x＝480，答：甲、乙两站之间的距离为480千米．【变式2-1】（2023春•杜尔伯特县期末）A、B两地相距840千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过10小时相遇．已知甲、乙两车的速度比是5：7．甲、乙两车的速度各是多少？【答案】甲车的速度是35千米/时，乙车的速度是49千米/时．【解答】解：设甲车的速度是5x千米/时，则乙车的速度是7x千米/时，根据题意得：10×5x+10×7x＝840，解得：x＝7，∴5x＝5×7＝35，7x＝7×7＝49．答：甲车的速度是35千米/时，乙车的速度是49千米/时【变式2-2】（2022秋•莘县期末）甲、乙两人从A，B两地同时出发，沿同一条路线相向匀速行驶，已知出发后经3小时两人相遇，相遇时乙比甲多行驶了60千米，相遇后再经1小时乙到达A地．（1）甲，乙两人的速度分别是多少？（2）两人从A，B两地同时出发后，经过多少时间后两人相距20千米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+20）千米/时，4（x+20）＝3（x+x+20）解得，x＝10，∴x+20＝30即甲的速度为10千米/时，乙的速度为30千米/时；（2）设经过y小时后两人相距20千米，4×30﹣20＝y（10+30）或4×30+20＝y（10+30）解得，y＝2.5或y＝3.5，即经过2.5小时或3.5小时后两人相距20千米【题型3工程问题】【典例3】（2023春•沙坪坝区校级期末）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．（1）问甲、乙两人每天各加工多少个零件？（2）现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．【答案】（1）甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；（2）两人合作的天数为15天．【解答】解：（1）设甲每天加工x个零件，则乙每天加工（x﹣5）个零件，由题意得：x+x﹣5＝35，解得：x＝20，∴x﹣5＝15，答：甲每天加工20个零件，乙每天加工15个零件；（2）设甲、乙两人合作的天数为y天，由题意得：20y+15×20＝600，解得：y＝15，答：两人合作的天数为15天．【变式3-1】（2023•大庆一模）现需加工一批物件，甲单独做4天完成，乙单独做6天完成．现由乙先做1天，再两人合作，完成后共得报酬500元，如果按每人工作量分配报酬，那么该如何分配？【答案】甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬．【解答】解：设两人合作用了x天，根据题意得：，去分母得：2（x+1）+3x＝12，去括号得：2x+2+3x＝12，移项合并得：5x＝10，解得：x＝2，可得，，即两人的工作量相同，则甲与乙各分一半，即（元）．答：甲与乙各分一半，即每人获得250元报酬．【变式3-2】（2022秋•梁山县期末）一项工程，甲队单独完成需要40天，乙队单独完成需要50天，现甲队单独做4天后两队合作．（1）求甲、乙两队合作多少天才能完成该工程．（2）在（1）的条件下，甲队每天的施工费为3000元，乙队每天的施工费为3500元，求完成此项工程需付给甲乙两队共多少元．【答案】（1）20天；（2）142000元．【解答】解：（1）设甲、乙两队合作x天才能完成该工程，根据题意得：×4+（+）x＝1，解得：x＝20．答：甲、乙两队合作20天才能完成该工程；（2）甲队的费用为3000×（20+4）＝72000（元），乙队的费用为3500×20＝70000（元），72000+70000＝142000（元）．答：完成此项工程需付给甲乙两队共142000元．【题型4顺水逆水问题】【典例4】（2023春•秀英区校级月考）某船在静水中的速度是每小时8千米，水速是每小时2千米，这船从甲地到乙地，再从乙地回到甲地，共用8小时，求甲乙两地的距离．【答案】30千米．【解答】解：设这条船从甲地到乙地是逆水而行，用了x小时，则（8﹣2）x＝（8+2）（8﹣x），∴6x＝10（8﹣x），∴6x＝80﹣10x，解得x＝5，（8﹣2）×5＝6×5＝30（千米）．答：甲乙两地的距离是30千米．【变式4-1】（2022秋•南岗区期末）一艘船从甲码头顺流而行，用了2h到乙码头，从乙码头返回甲码头逆流而行，用了2.5h．已知水流速度是3km/h，则船在静水中的平均速度是27km/h．【答案】见试题解答内容【解答】解：设船在静水中的平均速度为xkm/h，根据往返路程相等，列得2（x+3）＝2.5（x﹣3），解得x＝27．答：在静水中的速度为27km/h．故答案为27．【变式4-2】（2022秋•甘井子区校级期末）在风速为24km/h的条件下，一架飞机顺风从A机场飞到B机场要用2.8h，它逆风飞行同样的航线要用3h．求无风时这架飞机在这一航线的平均航速及两机场之间的航程．【答案】无风时飞机的航速是696千米/时，两机场之间的航程是2016千米．【解答】解：设无风时飞机的航速是x千米/时，依题意得：2.8×（x+24）＝3×（x﹣24），解得：x＝696．∴无风时飞机的航速是696千米/时．∵无风时飞机的航速是696千米/时，则3×（696﹣24）＝2016（千米）．答：两机场之间的航程是2016千米．【变式4-3】（2022秋•永川区期末）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度．【答案】见试题解答内容【解答】解：设船在静水中的平均速度为x千米/时，则顺流速度为（x+3）千米/时，逆流速度为（x﹣3）千米/时，列方程得：2（x+3）＝2.5（x﹣3），解得：x＝27．答：船在静水中的平均速度为27千米/时．【题型5商品利润问题】【典例5】（2023春•长宁区期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【答案】900．【解答】解：设每块手表的标价为x元，根据题意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每块手表的标价为900元．【变式5-1】（2023春•长宁区期末）一台手机进价是2800元，按照标价3400元的九折出售；一块电子手表进价是600元，按照标价的八折出售，结果每台手机的利润比每块手表的利润多140元，问手表的标价是多少元？【答案】900．【解答】解：设每块手表的标价为x元，根据题意得：3400×90%﹣2800﹣（80%x﹣600）＝140，0.8x＝720，解得：x＝900，答：每块手表的标价为900元．【变式5-2】（2022秋•长汀县期末）阳光水果店花费615元从市场购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量是乙种苹果重量的2倍还多15千克，甲、乙两种苹果的进价和售价如下表：甲乙进价（元/千克）58售价（元/千克）1015（1）水果店购进两种苹果各多少千克？（2）水果店第二次又购进甲、乙两种苹果，其中甲种苹果的重量不变，乙种苹果的重量是第一次的3倍；甲种苹果售价不变，乙种苹果打折销售．第二次购进的两种苹果都售完后获得的利润为735元，求第二次乙种苹果按原价打几折销售？【答案】（1）水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．（2）第二次乙种苹果按原价打8折销售．【解答】解：（1）设阳光水果店第一次购进乙种苹果x千克，则购进甲种苹果（2x+15）千克，依题意，得：5（2x+15）+8x＝615，解得：x＝30，∴2x+15＝75．答：水果店第一次购进甲种苹果75千克，乙种苹果30千克．（2）设第二次乙种苹果按原价打y折销售，依题意，得：（10﹣5）×75+（15×﹣8）×30×3＝735，解得：y＝8．答：第二次乙种苹果按原价打8折销售．【题型6分配问题】【典例6】（2023春•宜阳县月考）“遥知兄弟登高处，遍插茱萸少一人．”每年农历九月九日是重阳节，又称老人节，志愿者服务小组在老人节这天购买了一些中老年奶粉到敬老院慰问老人，如果送给每位老人3袋，那么剩余12袋；如果送给每位老人4袋，那么还差24袋，敬老院一共有多少位老人？【答案】敬老院一共有36位老人．【解答】解：设敬老院一共有x位老人，因为奶粉的袋数不变，所以4x﹣24＝3x+12，解得x＝36，答：敬老院一共有36位老人．【变式6-1】（2022秋•天津期末）某班手工兴趣小组的同学们计划制作一批中国结送给敬老院作为新年礼物．如果每人制作9个，那么就比计划少做17个；如果每人制作12个，那么就比计划多做4个．这个手工兴趣小组共有多少人？计划要做的这批中国结有多少个？【答案】这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个．【解答】解：设这个手工兴趣小组共有x人，由题意可得：9x+17＝12x﹣4，解得：x＝7，∴9x+17＝80，答：这个手工兴趣小组共有7人，计划要做的这批中国结有80个．【变式6-2】（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．【变式6-3】（2022秋•柳州期末）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，其设计将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了追求卓越、引领时代，以及面向未来的无限可能．某学校购进了一批冰墩墩吉祥物分配给七年级各班，若每班分6个，则剩余5个；若每班分8个，则还缺15个，则该学校七年级共有多少个班？【答案】该学校七年级有10个班．【解答】解：设七年级有x个班级，6x+5＝8x﹣15，解得：x＝10，答：该学校七年级有10个班．【题型7配套问题】【典例7】（2023春•武威期末）用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身25个，或制盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套．现在有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底，可使盒身与盒底正好配套？【答案】见试题解答内容【解答】解：设用x张制盒身，则（36﹣x）张制盒底，根据题意，得到方程：2×25x＝40（36﹣x），解得：x＝16，36﹣x＝36﹣16＝20．答：用16张制盒身，20张制盒底，可使盒身与盒底正好配套．【变式7-1】（2022秋•洪山区校级期末）某车间有58名工人，每人每天可以生产8个甲种部件或5个乙种部件．1个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的甲种部件和乙种部件刚好配套，应安排生产甲种部件和乙种部件的工人各多少名？【答案】安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件．【解答】解：设安排x名工人生产甲种部件，则安排（58﹣x）名工人生产乙种部件，由题意可得：8x×3＝5（58﹣x），解得x＝10，∴58﹣x＝48，答：安排10名工人生产甲种部件，安排48名工人生产乙种部件．【变式7-2】（2022秋•栾城区期末）工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产螺丝和螺母，该车间有工人44人，其中女生人数比男生人数的2倍少10人，每个工人平均每天可以生产螺丝50个或者螺母120个．（1）该车间有男生、女生各多少人？（2）已知一个螺丝与两个螺母配套，为了使每天生产的螺丝螺母恰好配套，应该分配多少工人负责生产螺丝，多少工人负责生产螺母？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）设该车间有男生x人，则女生人数是（2x﹣10）人，则x+（2x﹣10）＝44．解得x＝18则2x﹣10＝26．答：该车间有男生18人，则女生人数是26人．（2）设应分配y名工人生产螺丝，（44﹣y）名工人生产螺母，由题意得：120（44﹣y）＝50y×2解得：y＝24，44﹣y＝20答：分配24名工人生产螺丝，20名工人生产螺母．【变式7-3】（2022秋•高碑店市期末）用相同规格的正方形硬纸板做成如图1的直三棱柱盒子，每个盒子由3个相同的长方形做侧面和2个相同的正三角形做底面组成，硬纸板按如图2的两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）．方法A：剪出6个侧面；方法B：剪出4个侧面和5个底面．现有19张这种规格的正方形硬纸板，裁剪时x张用方法A，其余用方法B．（1）用含x的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数；（2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，则能做多少个盒子？【答案】（1）裁剪出（2x+76）个侧面，（95﹣5x）个底面；（2）能做30个盒子．【解答】解：（1）∵共有19张这种规格的正方形硬纸板，且裁剪时x张用方法A，∴裁剪时（19﹣x）张用方法B，∴裁剪出6x+4（19﹣x）＝（2x+76）个侧面，5（19﹣x）＝（95﹣5x）个底面．∴裁剪出（2x+76）个侧面，（95﹣5x）个底面；（2）根据题意得：＝，解得：x＝7，∴＝＝30．答：能做30个盒子．【题型8数字与日历问题】【典例8】（2022秋•南岗区校级期中）一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，若将它的个位数字与十位数字对调，则所得的新数比原两位数大9，求原来的两位数是多少？【答案】45．【解答】解：设原数的个位数字是x，则十位数字是y．根据题意得：，解得．故原来两位数为45．【变式8-1】（2022秋•成都期末）如图是2023年一月份的日历：（1）若将“H”形框上下左右移动，可框住另外七个数，若设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，请求出“H”形框中的七个数的和（用含x的代数式表示）；（2）请问“H”形框能否框到七个数，使这七个数之和等于168．若能，请写出这七个数；若不能，请说明理由；（3）用这样的“H”形框在2023年二月份的日历中能框出的七个数的和的最大值是140．【答案】（1）7x；（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由见解答过程；（3）140．【解答】解：（1）设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，则其它六个数是x﹣8，x﹣6，x﹣1，x+1，x+6，x+8，∴七个数的和是x﹣8+x﹣6+x﹣1++x+x+1+x+6+x+8＝7x；（2）“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168，理由如下：设“H”形框中的七个数中最中间一个数是x，根据题意得：7x＝168，解得x＝24，此时最大的数是x+8＝24+8＝32，而日历中没有32，∴“H”形框不能框到七个数，使这七个数之和等于168；（3）∵2023年二月份的日历中最大的数是28，且它在第3列，∴当x+8＝28，即x＝20时，框出的七个数的和的最大，最大为7x＝7×20＝140，故答案为：140．【变式8-2】（2022秋•东丽区期末）观察某月日历，回答下列问题：（1）观察图中的阴影部分9个数，你知道它们之间有什么关系吗？写出你认为正确的2个结论．（2）小敏外出了5天，这5天的日期之和是65，小敏是几号外出的？【答案】（1）横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；竖着看，下一个数字比上一个数字大7；（答案不唯一）；（2）小敏是11号外出的．【解答】解：（1）结论正确即可，如：横着看，后一天的数字比前一天数字大1；9个数字的和是中间数字的9倍；竖着看，下一个数字比上一个数字大7等（2）设小敏是x号外出的，根据题意列方程得：x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）＝655x+10＝655x＝55x＝11，答：小敏是11号外出的．【题型9方案选择问题】【典例9】（2023春•宜阳县月考）《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》发布后引起热议，新课标明确了体育依旧为第三主科．学校可根据实际情况设计课程内容．某中学依据本地特色开设滑冰课程，需要购买12套队服和x套护具（x＞12），现从甲、乙两商场了解到同一品牌的队服报价每套均为200元，护具报价每套均为50元．甲、乙两商场的优惠方案如下表：商场甲乙优惠方案购买一套队服赠送一套护具队服和护具均按报价打八五折（1）用含x的式子表示分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需要的费用；（2）当购买多少套护具时，分别在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同？（3）如要购买30套护具，请设计出最省钱的购买方案．【答案】（1）在甲商场购买队服和护具所需要的费用为（50x+1800）元，在乙商场购买队服和护具所需要的费用为（42.5x+2040）元；（2）当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同；（3）最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．【解答】解：（1）在甲商场购买队服和护具所需要的费用为：200×12+（x﹣12）×50＝（50x+1800）元，在乙商场购买队服和护具所需要的费用为（200×12+50x）×0.85＝（42.5x+2040）元；（2）根据题意得：42.5x+2040＝50x+1800，解得x＝32，答：当购买32套护具时，在甲、乙两商场购买队服和护具所需的费用相同；（3）当12套队服和30套护具都在甲商场购买时，所需费用为50×30+1800＝3300（元）；当12套队服和30套护具都在乙商场购买时，所需费用为42.5×30+2040＝3315（元）；一部分在甲商场购买，一部分在乙商场购买时，若在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买最省钱，所需费用为12×200+18×50×0.85＝3165（元），∵3165＜3300＜3315，∴最省钱的购买方案为在乙商场购买18套护具，其余在甲商场购买．【变式9-1】（2023春•白云区期末）在暑假期间某景点为吸引更多的游客，推出集体购票优惠票价活动，其门票价目表如下：购票人数不超过30人30人以上但不超过50人50人以上每人门票价20元15元10元有同一旅行社的甲、乙两个旅行团共60人（甲团人数少于乙团）准备去该景点旅游，如果甲、乙两团各自购票，那么一共要支付1020元．（1）如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约多少钱？（2）甲、乙两团各有多少人？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）1020﹣60×10＝420（元）．答：如果两团联合起来购票，那么比各自购票要节约420元；（2）设甲团有x人，则乙团有（60﹣x）人（x＜30）．由题意得：20x+15（60﹣x）＝1020，或20x+10（60﹣x）＝1020，解得：x＝24，或x＝42．因x＜30，故x＝42不合题意，舍去．所以x＝24，60﹣x＝36．答：甲团24人，乙团36人．【变式9-2】（2022秋•光明区期末）天虹超市销售东北大米，每包10kg，定价为100元．元旦期间进行促销活动，为满足大宗采购需求，超市制定了两种销售方案以供选择：方案一：六折优惠并且免费送货上门；方案二：买一送一，但需另付200元运费．（1）假设某食堂需要财买8包东北大米，且需送货上门．采用方案一购买，需要480元；采用方案二购买，需要600元．（2）假设某食堂需要购买x包东北大米（x是偶数），且需送货上门．①采用方案一购买x包东北大米需要60x元；采用方案二购买x包东北大米需要（50x+200）元．②某次进货时，食堂的采购员小王发现两种采购方案相差100元．请你算一算小王这次采购多少包东北大米？【答案】（1）480；600；（2）①60x；（50x+200）；②小王这次采购10或30包东北大米．【解答】解：（1）根据题意得：采用方案一购买所需费用为100×0.6×8＝480（元）；采用方案二购买所需费用为100×+200＝600（元）．故答案为：480；600；（2）①根据题意得：采用方案一购买x包东北大米需要100×0.6x＝60x（元）；采用方案二购买x包东北大米需要100×+200＝（50x+200）元．故答案为：60x；（50x+200）；②根据题意得：60x﹣（50x+200）＝100或50x+200﹣60x＝100，解得：x＝30或x＝10．答：小王这次采购10或30包东北大米．【变式9-3】（2023春•绿园区期末）为更好地开展阳光体育活动，学校准备到某体育用品店购进一批A型篮球和B型篮球．已知A型篮球的标价比B型篮球的标价每个贵30元，购买8个A型篮球和10个B型篮球共需1320元．（1）A型篮球和B型篮球的标价各是多少？（2）该体育用品店推出了以下优惠方案：方案一：所有商品按标价的九折销售；方案二：所有商品按标价购买，总费用超过2000元时，超过部分按七折收费．学校计划在该店购买20个A型篮球和30个B型篮球，选择哪种方案更合算？请说明理由．【答案】（1）每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元；（2）选择方案二更合算，理由见解答．【解答】解：（1）设每个A型篮球的标价为x元，则每个B型篮球的标价为（x﹣30）元，根据题意得8x+10（x﹣30）＝1320，解得x＝90，所以x﹣30＝90﹣30＝60，答：每个A型篮球的标价为90元，每个B型篮球的标价为60元．（2）选择方案二更合算，理由如下：90×20+60×30＝3600（元），所以，按标价购买20个A型篮球和30个B型篮球的总费用为3600元，选择方案一，总费用为：×3600＝3240（元），选择方案二，总费用为：2000+×（3600﹣2000）＝3120（元），因为3120元＜3240元，所以选择方案二更合算．【题型10分段计费问题】【典例10】（2022秋•定南县期末）“水是生命之源”，某市自来水公司为了鼓励居民节约用水，规定按以下标准收取水费：用水量/月单价（元/m3）不超过20m32.8超过20m3的部分3.8另：每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费（1）根据上表，用水量每月不超过20m3，实际每立方米收水费3元；如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费57元；（2）某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少m3？（3）若该用户水表3月份出了故障，只有70%的用水量记入水表中，这样该用户在3月份只缴纳了58.8元水费，问该用户3月份实际应该缴纳水费多少元？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）因为每立方米用水加收0.2元的城市污水处理费，则不超过20m3的水费为3元/m3，超过20m3的部分水费为4元/m3．如果1月份某用户用水量为19m3，那么该用户1月份应该缴纳水费3×19＝57（元），故答案为：3、57；（2）设该用户2月份用水xm3，根据题意，得：20×3+（x﹣20）×4＝80，解得：x＝25，答：该用户2月份用水25m3．（3）设该用户3月份实际用水ym3，因为58.8＜20×3，所以该用户上交水费的单价为3元/m3，由题意：70%y×3＝58.8，解得y＝28，所以该用户3月份实际应缴纳水费：20×3+4×（28﹣20）＝92元，答：该用户3月份实际应该缴水费92元．【变式10-1】（2023•霍邱县一模）为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：每户每月用电量不超过210度超过210度（超出部分的收费）收费标准每度0.5元每度0.8元（1）小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：90元；（2）小林家6月份用电x（x＞210）度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：（0.8x﹣63）元；（3）小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．【答案】（1）90元；（2）（0.8x﹣63）元；（3）305度．【解答】解：（1）0.5×180＝90（元）．故答案为：90元．（2）依题意得：小林家6月份应付的电费为0.5×210+0.8（x﹣210）＝（0.8x﹣63）（元）．故答案为：（0.8x﹣63）元．（3）设小林家11月份的用电量为y度．∵0.5×210＝105（元），105＜181，∴y＞210．依题意得：0.8y﹣63＝181，解得：y＝305．答：小林家11月份的用电量为305度．【变式10-2】（2022秋•公安县期末）某省的居民用电阶梯电价方案如下：第一档电量第二档电量第三档电量月用电量180度以下，每度价格0.55元月用电量180度至300度的部分，每度比第一档提价a元月用电量300度以上的部分，每度比第一档提价0.30元例：若某户月用电量350度，则需交电费为180×0.55+（300﹣180）×（0.55+a）+（350﹣300）×（0.55+0.30）＝（207.5+120a）元．（1）若小华家10月份用电量为280度，缴纳电费为164元，求出a的值；（2）在（1）的条件下，若小华家11月份的电费为262元，求出小华家11月份的用电量．【答案】（1）0.1；（2）400度．【解答】解：（1）根据题意得180×0.55+（280﹣180）×（0.55+a）＝164，解得a＝0.1，答：a的值为0.1；（2）因为180×0.55+（300﹣180）×（0.55+0.1）＝177＜262，所以小华家11月份用电量在300度以上，设小华家11月份用电量为x度，根据题意得，180×0.55+（300﹣180）×（0.55+0.1）+（x﹣300）×（0.55+0.3）＝262，解得x＝400，答：小华家11月份用电量为400度．【变式10-3】（2023•怀远县二模）现需运送一批货物，有甲、乙两种型号货车可供选择．两种型号货车出租价格如表：起步价/元限定里程/km超限定里程（元/km）甲108803乙1801002租用甲种型号货车在限定里程80km内，只需付起步价108元，超过限定里程的部分按3元/km收费．租用乙种型号货车在限定里程100km内，只需支付起步价180元，超过限定里程的部分按2元/km收费．设里程为x千米．（1）当x＞100时，用x分别表示租用甲、乙两种型号货车的费用．（2）当里程为多少千米时，租用两种型号的货车费用相等？【答案】（1）租用甲、乙两种型号货车的费用分别为（3x﹣132）元、（2x﹣20）元；（2）当里程为112km时，租用两种型的货车费用相等．【解答】解：（1）根据题意得108+3（x﹣80）＝（3x﹣132）元，180+2（x﹣100）＝（2x﹣20）元，答：租用甲、乙两种型号货车的费用分别为（3x﹣132）元、（2x﹣20）元．（2）当x≤80时，甲、乙两种型号货车的租金分别为108元和180元，∴租用两种型号的货车费用不相等；当80＜x≤100时，若租用两种型号的货车费用相等，则108+3（x﹣80）＝180，解得x＝104，不符合题意，舍去．当x＞100时，根据题意得3x﹣132＝2x﹣20，解得x＝112，答：当里程为112km时，租用两种型的货车费用相等．【题型11隧道或过桥问题】【典例11】（2022秋•大连期末）列方程解应用题．一列火车匀速通过一座1200米长的桥，从火车上桥到火车完全离开桥经历50秒，整列火车在桥上的时间为30秒，求火车的长度．【答案】火车的长度为300米．【解答】解：设火车的长度为x米，根据题意得：＝，解得：x＝300．答：火车的长度为300米．【变式11-1】（2022秋•包河区期末）已知某铁路桥长1500米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒．则这列火车长为（）A．100m B．200m C．300m D．400m【答案】C【解答】解：设这列火车长为x米，由题意可得：＝，解得：x＝300，∴这列火车长300米，故选：C．【变式11-2】（2022秋•碑林区校级期末）新一代标准动车组“复兴号”是中国自主研发、具有完全知识产权的新一代高速列车，是中国科技创新的又一重大成果．一列“复兴号”动车正在匀速行驶中，经过某长度为1200m的大桥用时18s，桥头一监测仪监测到该动车通过检测仪正前方所用时间为3.6s．（1）求该动车的长度；（2）该动车通过大桥的速度是多少千米/时？【答案】（1）该动车的长度为300m；（2）该动车通过大桥的速度是300千米/时．【解答】解：（1）该动车通过监测仪正前方所用时间为t＝3.6s，设动车的长度为S车，则动车的速度v＝＝①，该动车经过某长度为1200m的大桥用时18s，则动车速度v＝＝②，由①②得＝，解得S车＝300；答：该动车的长度为300m；（2）把S车＝300m代入v＝得，v＝＝＝（m/s）＝×3.6（km/h）＝300（km/h）．答：该动车通过大桥的速度是300千米/时．【变式11-3】（2022秋•广水市期末）一列火车匀速行驶，经过一条长800米的隧道，从车头开始进入隧道到车尾离开隧道一共需要50秒的时间：在隧道中央的顶部有一盏灯，垂直向下发光照在火车上的时间是18秒，求该火车的长度为多少米？【答案】该火车的长度为450米．【解答】解：设该火车的长度为x米，由题意得：，解得x＝450，答：该火车的长度为450米．【题型12几何图形问题】【典例12】（2023•山阳县模拟）一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少2cm，宽增加3cm，就可以变成一个正方形，求这个长方形的长．【答案】10cm．【解答】解：设长方形的长为xcm，则长方形的宽为（30÷2﹣x）cm，长减少2cm为（x﹣2）cm，宽增加3cm为30÷2﹣x+3＝（18﹣x）cm，依题意有x﹣2＝18﹣x，解得：x＝10．故这个长方形的长10cm．【变式12-1】（2023•碑林区校级三模）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m，15m．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．若扩充后的矩形绿地的长是宽的2倍，求新的矩形绿地的长与宽．【答案】40m，20m．【解答】解：设绿地的长、宽增加的长度为xm，由题意得，35+x＝2（15+x），解得x＝5，∴35+x＝40，15+x＝20，∴新的矩形绿地的长与宽分别为40m，20m．【变式13-2】（2023春•秀英区校级月考）用一根长50cm的铁丝围成一个长方形．（1）如果长方形的长比宽的2倍少2cm，求这个长方形的面积；（2）如果长方形的长与宽之比为3：2，求这个长方形的面积．【答案】（1）144cm2；（2）150cm2．【解答】解：（1）设这个长方形的宽为xcm，则长为（2x﹣2）cm，由题意可得：（x+2x﹣2）×2＝50，解得x＝9，∴2x﹣2＝16，∴这个长方形的面积是：16×9＝144（cm2），即这个长方形的面积是144cm2；（2）设长为3acm，则宽为2acm，由题意可得：（3a+2a）×2＝50，解得a＝5，∴3a＝15，2a＝10，∴这个长方形的面积是：15×10＝150（cm2），即这个长方形的面积是150cm2．1．（2023•连云港）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马，由题意得（）A．＝ B．＝﹣12 C．240（x﹣12）＝150x D．240x＝150（x+12）【答案】D【解答】解：∵慢马先行12天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+12）天．根据题意得：240x＝150（x+12）．故选：D．2．（2023•南充）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（）A．（x+4.5）＝x﹣1 B．（x+4.5）＝x+1 C．（x﹣4.5）＝x+1 D．（x﹣4.5）＝x﹣1【答案】A【解答】解：设长木长为x尺，∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，∴绳子长为（x+4.5）尺，∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，得方程为：（x+4.5）＝x﹣1．故选：A．3．（2023•台湾）有一东西向的直线吊桥横跨溪谷，小维、阿良分别从西桥头、东桥头同时开始往吊桥的另一头笔直地走过去，如图所示，已知小维从西桥头走了84步，阿良从东桥头走了60步时，两人在吊桥上的某点交会，且交会之后阿良再走70步恰好走到西桥头，若小维每步的距离相等，阿良每步的距离相等，则交会之后小维再走多少步会恰好走到东桥头（）A．46 B．50 C．60 D．72【答案】D【解答】解：设交会之后小维再走x步会恰好走到东桥头，由题意得，，∴x＝72，故选：D．4．（2022•西宁）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3 C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50【答案】A【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．故选：A．5．（2023•德阳）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m＝39．【答案】39．【解答】解：设九宫格中最中间的数为x，∵第1列中间数与第2行的最左侧的数重合，∴16+4＝7+x，∴x＝13，根据九宫格每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和等于最中间数的三倍，∴m＝3x＝39，故答案为：39．6．（2023•吉林）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？为解决此问题，设合伙人数为x人，可列方程为5x+45＝7x+3．【答案】5x+45＝7x+3．【解答】解：设合伙人数为x人，依题意，得：5x+45＝7x+3．故答案为：5x+45＝7x+3．7．（2022•牡丹江）某商品的进价为每件10元，若按标价打八折售出后，每件可获利2元，则该商品的标价为每件15元．【答案】15．【解答】解：设该商品的标价为每件x元，由题意得：80%x﹣10＝2，解得：x＝15．答：该商品的标价为每件15元．故答案为：15．8．（2023•北京）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）【答案】边的宽为4cm，天头长为24cm．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．9．（2023•河北）某惯性飞镖游戏的靶盘如图．珍珍玩了两局，每局投10次飞镖，若投到边界则不计入次数，需重新投．计分规则如下：投中位置A区B区脱靶一次计分（分）31﹣2在某一局中，珍珍投中A区4次，B区2次．脱靶4次．（1）求珍珍第一局的得分；（2）第二局，珍珍投中A区k次，B区3次，其余全部脱靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．【答案】（1）6分；（2）k＝6．【解答】解：（1）由题意可得：4×3+2×1+4×（﹣2）＝6（分），答：珍珍第一局的得分为6分；（2）由题意可得：3k+3×1+（10﹣k﹣3）×（﹣2）＝6+13，解得：k＝6．10．（2023•临沂）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金．当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？【答案】（1）这台M型平板电脑价值2100元；（2）若工作m天，她应获得的报酬为120m元．【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：（x+1500）＝x+300，解得：x＝2100，∴这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）知，一台M型平板电脑价值2100元，∴工作一个月，她应获得的报酬为2100+1500＝3600（元），∴若工作m天，她应获得的报酬为＝120m（元）．11．（2023•自贡）某校组织七年级学生到江姐故里研学旅行，租用同型号客车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位．求该客车的载客量．【答案】该客车的载客量为40人．【解答】解：设该客车的载客量为x人，根据题意得：4x+30＝5x﹣10，解得：x＝40．答：该客车的载客量为40人．1．（2023秋•肇源县期中）一件商品售价480元，打折后优惠了20%，该商品打了（）出售．A．二折 B．三折 C．八折 D．九折【答案】C【解答】解：设该商品打了x折出售，根据题意得：480×＝480﹣480×20%，解得x＝8．∴该商品打了8折出售，故选：C．2．（2022秋•榆次区校级期末）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，则可列方程为（）A．8x+3＝7x﹣4 B．8x﹣3＝7x+4 C．＝ D．【答案】B【解答】解：设共有x人，由题意，得8x﹣3＝7x+4．故选：B．3．（2023秋•宣恩县期中）如图，表中给出的是某月的日历，任意选取“U”型框中的7个数（如阴影部分所示），请你运用所学的数学知识来研究，发现此月这7个数的和可能的是（）A．106 B．98 C．84 D．78【答案】C【解答】解：设7个数中最小的数为x，则另外6个数分别为x+2，x+7，x+9，x+14，x+15，x+16，由题意得x+x+2+x+7+x+9+x+14+x+15+x+16＝7x+63，当7x+63＝106时，解得，故选项A不合题意；当7x+63＝98时，解得x＝5，故选项B不合题意；当7x+63＝84时，解得x＝3，故选项C符合题意；当7x+63＝78时，解得，故选项D不合题意；故选：C．4．（2023秋•黄冈期中）某同学在计算﹣32÷a时，误将“÷”看成“+”结果是﹣28，则﹣32÷a的正确结果是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【答案】D【解答】解：根据题意，﹣32+a＝﹣28，得a＝4，∴﹣32÷a＝﹣32÷4＝﹣8；故选：D．5．（2023秋•江阴市期中）按下面的程序计算：若输n＝100，输出结果是501；若输入n＝25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】C【解答】解：由题意可知：5n+1＝656，n＝131，5n+1＝131，n＝26，5n+1＝26，n＝5，5n+1＝5，n＝0.8，∵n值为正整数，∴n＝0.8不符合题意．n的值可取131，26，5，共3个．故选：C．6．（2022秋•微山县期末）某同学今年12岁，他爸爸今年39岁，当爸爸年龄是这位同学年龄的2倍时，则经过的年数是（）A．10 B．12 C．14 D．15【答案】D【解答】解：设x年后爸爸的年龄是这位同学年龄的2倍，根据题意得，39+x＝2（12+x），解得x＝15．故选：D．7．（2023秋•鼓楼区期中）《孙子算经》中有个问题：若三人共车，余两车空；若两人共车，剩九人步．问人与车各几何？意思是：若三个人乘一辆车，则空余两辆车；若两个人乘一辆车，则剩余9人需要步行．试问人和车辆各有多少？设有x辆车，则根据题意可列出方程为（）A．3（x+2）＝2x﹣9 B．3（x+2）＝2x+9 C．3（x﹣2）＝2x﹣9 D．3（x﹣2）＝2x+9【答案】D【解答】解：设有x辆车，则可列方程：3（x﹣2）＝2x+9．故选：D．8．（2023秋•江岸区期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方．则图中m的值为（）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【解答】解：设正中间的数为x，则5+x＝3+8，解得x＝6，∴m+6＝5+3，解得m＝2，故选：B．9．（2023秋•南通期中）如图，正方形ABCD的边长为1，电子蚂蚁P从点A以1个单位/秒的速度沿正方形的边顺时针运动，同时电子蚂蚁Q从点A以3个单位/秒的速度沿正方形的边逆时针运动，则电子蚂蚁P和Q第423次相遇在（）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】B【解答】解：由题意可得，第一次相遇在点D，第二次相遇在点C，第三次相遇在点B，第四次相遇在点A，第五次相遇在点D，......．每四次一个循环，∵105×4+3＝423．第423次相遇在点B，故选：B．10．（2023秋•和平区期中）一个两位数，十位上的数是1，个位上的数是x．把1与x对调，新两位数比原两位数大18．根据题意列出的方程为（）A．10x+1﹣10+x＝18 B．10x+1﹣（10+x）＝18 C．10+x﹣10x+1＝18 D．10+x﹣（10x+1）＝18【答案】B【解答】解：由题意，可得原数为10+x，新数为10x+1，根据题意，得10x+1﹣（10+x）＝18．故选：B．11．（2022秋•青山区期末）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则a的值为（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．4【答案】B【解答】解：设右下边为x，由满足6条边上四个数之和都相等，他们的和为x﹣1，如图所示：观察图形还有﹣4，﹣3，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知﹣a+3与﹣a﹣3相差6，只有﹣3，3或0，6满足，则﹣a﹣3＝﹣3或﹣a﹣3＝0，解得a＝0或a＝﹣3，当a＝0时，x﹣（x+a﹣4）＝4，x或x+a﹣4又有1个为0（不合题意舍去），当a＝﹣3时，符合题意．故选：B．12．（2023秋•五华区校级期中）某车间有68名工人，每人每天能生产8个甲种部件或5个乙种部件，2个甲种部件和3个乙种部件配成一套，为使每天生产的两种部件刚好配套，设有x名工人生产甲种配件，列方程正确的是（）A．8x＝5×（68﹣x） B．5x＝8×（68﹣x） C．3×8x＝2×5×（68﹣x） D．2×8x＝3×5×（68﹣x）【答案】C【解答】解：设有x名工人生产甲种配件，则有（68﹣x）名工人生产乙种配件，则3×8x＝2×5×（68﹣x），故选：C．13．（2022秋•罗湖区期末）小王看到两个商场的促销信息如图所示．（1）当一次性购物标价总额是200元时，在甲、乙商场实际付款分别是多少元？（2）当标价总额是多少元时，在甲、乙商场购物实际付款一样多？（3）小王两次到乙商场分别购买标价98元和150元的商品，如果他想只去一次该商场购买这些商品，你能帮他计算可以节省多少元吗？【答案】（1）当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元；（2）当标价总额是240时，甲、乙超市实付款一样；（3）可以节省18.1元．【解答】解：（1）由题意可得，当一次性购物标价总额是200元时，在甲超市需付款：200×0.9＝180（元），在乙超市需付款：200×0.95＝190（元），答：当一次性购物标价总额是200元时，甲超市付款180元，乙超市付款190元；（2）由图中的信息可知，只有当购物标价总额超过200元时，两家超市才可能付款总金额相等，设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样，由题意可得：0.9x＝200×0.92+（x﹣200）×0.8，解得x＝240，答：当标