中考数学几何模型重点突破讲练：专题32 几何变换之旋转模型（教师版）

专题32几何变换之旋转模型【理论基础】1.旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.2.旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.3.旋转的性质(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.4.旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.具体步骤如下：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求(顺/逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的对应点.5.旋转中的全等变换.(1)等腰直角三角形中的半角模型(2)正方形中的半角模型6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.(1)60º自旋转模型(2)90º自旋转模型(3)等腰旋转模型(4)中点旋转模型(倍长中线模型)7.共旋转模型(1)等边三角形共顶点旋转模型(2)正方形共顶点旋转模型8.旋转相似【例1】如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，D，E是斜边BC上两点，且∠DAE＝45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°，③BE+DC＝DE；④∠ADC+∠AFE＝180°．其中结论正确的序号为（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根据旋转的性质可得，∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，从而证明△FAE≌△DAE，∠FBE＝90°，进而可得EF＝DE，然后在Rt△BFE中，利用勾股定理，进行计算即可判断①②④正确．【解析】解：由旋转得：∠FAD＝90°，AF＝AD，BF＝DC，∠ABF＝∠C，∵∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠FAD﹣∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE，∵AE＝AE，∴△FAE≌△DAE（SAS），∴EF＝DE，∠AFE＝∠ADE，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ADC+∠AFE＝180°，∴上列结论，一定正确的是：①②④，故选：C．【例2】如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝_____．【答案】17【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形AEHF为正方形，再根据勾股定理求出EH的长，就可得到DH．【解析】解：∵将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，∠AEB＝90°，∴AF＝AE，BE=DF，∠DFA＝∠E＝∠AFH＝90°，∠EAF＝90°，∴四边形AEHF为正方形，∴AF＝EH，设EH＝x，BH＝7，BE＝7+x，AF＝EF＝x，在正方形ABCD中，AD＝BC＝13，在Rt△AFD中，根据勾股定理，得，解得＝﹣12（舍去），＝5，∴DH＝17．故答案为：17．【例3】如图，由绕点A按逆时针方向旋转90°得到，且点B的对应点D恰好落在BC的延长线上，AD，EC相交于点P．(1)求∠BDE的度数；(2)F是EC延长线上的点，且．①判断和的数量关系，并证明；②求证：．【答案】(1)(2)①，理由见详解；②证明见详解【分析】（1）由旋转的性质得出，，，得出，可求出的度数；（2）①由旋转的性质得出，，证得，由三角形外角的性质可得出结论；②过点作交于点，得出，，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．【解析】（1）解：由绕点按逆时针方向旋转得到，，，，在中，，，．（2）①．证明：由旋转的性质可知，，，在中，，∵，∴，，∵，∴．②证明：过点作交于点，，，，，，又，，，又，，（ASA），，，又，．一、单选题1．如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题．【解析】解：如图，连接PQ．∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ＝PA＝2，∵PB＝4，∴，∴∠PQB＝90°，∴，故选：B．2．如图，在中，，若M是边上任意一点，将绕点A逆时针旋转得到，点M的对应点为点N，连接，则下列结论不一定成立的是（

）A． B．C．平分 D．【答案】D【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可．【解析】解：∵将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，∴AB=AC，∠ACN=∠B，AM=AN，故选项A不符合题意；∴，故选项B不符合题意；∵，∴∠B=∠ACB，∵∠ACN=∠B，∴∠ACN=∠ACB，∴平分，故选项C不符合题意；∵CN与CM不一定相等，∴不一成立，故故选项D符合题意；故选：D．3．如图，在平面直角坐标系中，△ABC中点A的坐标是(3，4)，把△ABC绕原点O逆时针旋转得到，则点A′的坐标为（

）A．(4，－3) B．(－4，3) C．(－3，4) D．(－3，－4)【答案】B【分析】连接，，过点A作AE⊥x轴于E，过点作轴于，根据旋转的性质可得，利用同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明△AOE和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后写出点的坐标即可．【解析】解：如图，连接，，过点A作AE⊥x轴于E，过点作轴于，则，∵点A的坐标是(3，4)，∴．∵OA绕坐标原点O逆时针旋转至，∴，，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∴点的坐标为（−4，3）．故选：B4．如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（

）A．60° B．90° C．120° D．150°【答案】D【分析】连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°．【解析】解：如图，连接OA、OB、OC、．∵O是等边三角形△ABC是中心，∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，∵∠BA＝∠AC＝α，∴∠OA＝∠OC，在△OA和△OC中，，∴△OA≌△OC（SAS），∴∠AO＝∠CO，O＝O，∴∠O＝∠AOC＝120°，同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O，则有△O≌△O≌△O，∴＝＝，∴△是等边三角形，在△O中，∵∠O＝120°，O＝O，∴当O最长时，最长，∵O≤OC+C，∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝•（+1）＝1+，α＝150°，∴△的周长的最大值为3+3．故选：D5．如图，正方形ABCD的边长为4，，点E是直线CM上一个动点，连接BE，线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，连接DF，则线段DF长度的最小值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作于点H．利用正方形的性质、勾股定理得出，利用旋转的性质得出，，再证明，得出，可知点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，进而求出DH的值即可．【解析】解：如图，连接BD，在BD上截取BG＝BC，连接FG，过点D作于点H．∵四边形ABCD是正方形，边长为4，∴，，，∴，，∴，∵线段BE绕点B顺时针旋转45°得到BF，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴点F在直线GF上运动，点F与点H重合时，DF的值最小，∵，，∴，∴DF的最小值为．故选B．6．如图，在中，，，，，O为AC的中点，M为BC边上一动点，将绕点A逆时针旋转角得到，点M的对应点为，连接，在旋转过程中，线段的长度的最小值是（

）A．1 B．1.5 C．2 D．3【答案】B【分析】如图：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与垂直时，的长度最小；旋转的性质可得，再根据直角三角形的性质可求得，由中点的定义可求得OA,最后计算即可．【解析】解：由题意知当旋转到点在AC的延长线上且AC与垂直时，的长度最小；∵将绕点A逆时针旋转角∴∵AC⊥，∴∵O为AC的中点∴AO==3.5∴．故选B．7．如图，矩形ABCD中，，BC＝3，P为矩形内一点，连接PA，PB，PC，则PA＋PB＋PC的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．【解析】解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC=PF，∵PB=EF，∴PA+PB+PC=PA+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，PA+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴，∴AC=2AB，∴∠ACB=30°，，∵∠BCE=60°，∴∠ACE=90°，∴，故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为（1，0），每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，…，以此类推，则点A2022的坐标是（

）A．(22022，22022) B．(-22021，22021) C．(22021，-22021) D．(-22022，-22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得，同理，依次类推可求得，，，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．【解析】∵是等腰直角三角形，点B的坐标为（1，0），∴，∴A点坐标为(1，1)．将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，依此规律，∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，即，，，．∵，∴点与同在一个象限内．∵，，，∴点．故选：D．二、填空题9．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE=EF；②∠CDF=45°；③若正方形的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是____．【答案】①②③【分析】延长交的延长线于点，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，可判断①；由四边形内角和定理可求，可得，可判断②；连接，过点作于，由，知点在上运动，即得当时，有最小值为的长度，而，即有最小值为，可判断③正确．【解析】解：如图，延长交的延长线于点，点是的中点，，，，，，，又，，绕点顺时针旋转得到，，，，故①正确；，，，，，，，故②正确；如图，连接，过点作于，，点在上运动，当时，有最小值为的长度，，，，即有最小值为，故③正确，故答案为：①②③．10．如图，四边形ABCD，AB＝3，AC＝2，把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，此时发现点A、C、E恰好在一条直线上，则AD的长为__________.【答案】5【分析】根据旋转的性质得∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E=60°，则可判断△ADE为等边三角形，再利用点A、C、E在一条直线上得到AE=AC+CE，接着根据△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD得到CE=AB，所以AE=AC+AB=5．【解析】解：∵点A、C、E在一条直线上，而△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴∠ADE=60°，DA=DE，∠BAD=∠E，∴△ADE为等边三角形，∵点A、C、E在一条直线上，∴AE=AC+CE，∵△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，∴CE=AB，∴AE=AC+AB=2+3=5，∴AD=AE=5．故答案为：511．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，把△ABC绕点C旋转，使点B落在射线BA上的点E处（点E不与点A，B重合），此时点A落在点F，联结FA，若△AEF是直角三角形，且AF＝4，则BC＝_____．【答案】或【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求AE的长，通过证明△AHC∽△CHB，可求CH的长，由勾股定理可求解．【解析】解：如图，当点E在线段AB上时，过点C作CH⊥AB于H，由旋转可知：BC=CE，AB=EF=5，∵∠EAF=90°，∴

∴BE=2，∵BC=CE，CH⊥AB，∴EH=BH=1，∴AH=4，∵∴∠B+∠BAC=90°=∠B+∠BCH，∴∠BCH=∠BAC，又∵∠AHC=∠BHC=90°，∴△AHC∽△CHB，∴，∴

∴CH=2（负值舍去）∴；当点E在线段BA的延长线上时，过点C作CH⊥AB于H，同理可求，∴，综上所述：或．故答案为：或．12．如图，在四边形中，，，且，连接，若，，则的长为______．【答案】【分析】将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，可得到△DBE为等边三角形，从而得到DB=BE，再由，，可得∠ECB=90°，然后可得，即可求解．【解析】解：如图，将△ADB以D为旋转中心，逆时针旋转60°，使A与C点重合，B与E点重合，连接BE，∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，又∵∠ADC=60°，∴∠BDE=60°，∴△DBE为等边三角形，∴DB=BE，∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=90°，∴△ECB为直角三角形，∴，∴，∴，故答案为：13．已知，⊙O的直径BC＝2，点A为⊙O上一动点，AD、BD分别平分△ABC的外角，AD与⊙O交于点E．若将AO绕O点逆时针旋转270°，则点D所经历的路径长为_____．（提示：在半径为R的圆中，n°圆心角所对弧长为）【答案】【分析】如图，设∠ACB＝α，由BC是⊙O的直径，可得：∠BAC＝90°，根据角平分线定义可得：∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，进而可得出：∠EDB＝∠EBD＝90°﹣α，得出：EB＝ED，再由等弧所对的圆周角相等，可得：∠ECB＝∠EAB＝45°，进而推出EB＝EC＝ED，可得点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，再利用弧长公式即可得出答案．【解析】解：如图，连接CE，设∠ACB＝α，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠DEB＝α，∠ABC＝90°-α，∵AD、BD分别平分△ABC的外角，∴∠DAB＝45°，∠ABD＝45°+α，∴∠EDB＝180°-∠DAB-∠ABD＝180°-45°-（45°+α）＝90°-α，∴∠EBD＝180°-∠DEB-∠EDB＝180°-α-（90°-α）＝90°-α，∴∠EDB＝∠EBD，∴EB＝ED，∵，∴∠ECB＝∠EAB＝45°，∵∠CEB＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴EB＝EC，∴EB＝EC＝ED，∴点D在半径为2的⊙E上逆时针旋转135°，∴点D所经历的路径长为：＝，故答案为：．14．如图，在正方形中，，分别是，的中点，是线段上的一点，的延长线交于点，连接，，将绕点顺时针旋转得，则下列结论：，；垂直平分；若，点在边上运动，则，两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有______．【答案】【分析】延长交于点，连接，，，由已知可得为，的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得，由四边形内角和定理通过计算可得；利用平行线的性质可得，则，可说明的结论正确；通过证明点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得，得到，，三点共线，得到为等腰直角三角形，则的结论正确；由题意点在对角线上运动，当时，的值最小，连接，解直角三角形的知识可得的结论不正确．【解析】解：延长交于点，连接，，，如图，正方形中，，分别是，的中点，是线段，的垂直平分线．，．是绕点顺时针旋转得到，≌，．．的结论正确；，．，．．，．，．≌，．，．，．，．即．，．．．的结论正确；，，，，，．．．，．点，，，在以点为圆心，为半径的同一个圆上．．点在对角线上，．，为等腰直角三角形．平分，垂直平分．的结论正确；由以上可知：点在正方形的对角线上运动，当时，的值最小．此时点与点重合，．的结论不正确．综上，结论正确的序号有：，故答案为：．15．已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2．M为圆上一动点，以AM为边作等腰△AMN，AM＝MN，∠AMN＝108°，ON的最大值为_____________．【答案】【分析】将线段OA绕点O顺时针旋转108°得到线段OT，连接AT，NT，OM．延长AO到K，使得AK＝AT，根据旋转的性质有AO＝OT＝2，先证明△KOT∽△KTA，再证明△AOT∽△AMN，接着证明△OAM∽△TAN，利用相似三角形的性质求出NT，再根据三角形的三边关系解决问题即可．【解析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转108°得到线段OT，连接AT，NT，OM．延长AO到K，使得AK＝AT，即OM=4，根据旋转的性质有AO＝OT＝2，∠AOT＝108°，∴∠OAT＝∠OTA＝(180°-∠AOT)＝36°，∴∠KOT＝∠OAT＋∠ATO＝72°，∵AK=AT，∴∠K＝∠ATK＝(180°−∠KAT)＝72°，∴∠K＝∠KOT，∴KT＝OT＝2，∵∠KOT＝∠KTA＝72°，∠K＝∠K，∴△KOT∽△KTA，∴，即，即，∴，（负值舍去），∴AT＝AK＝AO＋OK＝2＋＝，∵△AOT，△AMN都是顶角为108°的等腰三角形，∴∠OAT＝∠MAN＝36°，∠AOT＝∠AMN＝108°，∴△AOT∽△AMN，∴，∵∠OAT＋∠TAM＝∠OAM，∠MAN＋∠TAM＝∠TAN，∴∠OAM＝∠TAN，∴结合，可得△OAM∽△TAN，∴，即，∴，∵ON≤OT＋NT，∴，∴ON的最大值为，故答案为：．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，B′C与AD交于点E，AD的延长线与A′D′交于点F．当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，则EF＝_____．【答案】【分析】根据矩形的性质得，根据勾股定理得，再证明得，证明得，分别计算DF和DE的长即可得解．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A′B′CD′，∴，，，在中，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴DF，同理可得，∴，∴，∴ED，∴EF＝ED+DF，故答案为：．三、解答题17．如图，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，2），请解答下列问题：(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标；(2)画出和△A1B1C1关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并写出点A2的坐标；(3)在（1）的条件下，求BC在旋转过程中扫过的面积．【答案】(1)，图见解析；(2)，图见解析；(3)．【分析】（1）根据旋转的性质作图，由图可得答案．（2）根据中心对称的性质作图，由图可得答案．（3）利用勾股定理求出BC的长，再结合扇形的面积公式求解即可．【解析】（1）解：如图所示，由图可知：．（2）解：如图所示，由图可知：．（3）解：∵BC，∴BC扫过的面积为．18．如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．(1)求证：EF＝BC；(2)若，，求∠FGC的度数．【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AF，利用SAS证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出EF＝BC；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠BAE＝180°﹣63°×2＝54°，那么∠FAG＝54°．由△ABC≌△AEF，得出∠AFE＝∠ACB＝25°，再根据三角形外角的性质即可求出∠FGC＝∠FAG+∠AFG＝79°．【解析】（1）证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF．∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF．在△ABC与△AEF中，，∴（SAS），∴EF＝BC；（2）解：∵AB＝AE，，∴∠AEB＝∠ABC，∴，∴．∵，∴，∴．19．如图，正方形ABCD中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交BC、DC（或它们的延长线）于点M、N．(1)如图1，求证：；(2)当，时，求的面积；(3)当绕点A旋转到如图2位置时，线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明．【答案】(1)见解析(2)6(3)，证明见解析【分析】（1）将绕点逆时针旋转得到，证明，即可得证；（2）利用全等得出，用正方形的面积减去即可求出的面积；（3）将绕点逆时针旋转得到，证明，即可得证．【解析】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转得到，则：，∴∵四边形为正方形，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴；（2）解：∵四边形为正方形，∴，，∵∴，∴，∵∴，∴；（3）解：，理由如下：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，则：，，∴∵，∴，∴，又∵，∴（SAS），∴，∴．20．阅读下面材料：小岩遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝1，，PC＝2，求∠APB的度数；小岩是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造，连接，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．(1)请你回答：图1中∠APB的度数等于____；（直接写答案）参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：(2)如图3，在正方形ABCD内有一点P，且，，．求∠APB的度数；(3)如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，若∠APB＝，直接写出PA，PB和PF的数量关系．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得证出是等边三角形，由等边三角形的性质求出，再由勾股定理逆定理求出，求出，即为∠APB的度数；（2）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质可得，证出是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出，，再利用勾股定理逆定理求出，然后求出，即为∠APB的度数；（3）把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质，，可得，过点A作于M，设与AF相交于N，证明再利用勾股定理可得答案．【解析】（1）解：如图2，把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质，∴是等边三角形，∴∵∴

∴故；故答案为：．（2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质，∴是等腰直角三角形，∴∵∴，∴，故．（3）如图4，∵正六边形的内角为，∴把△APB绕点A逆时针旋转得到，由旋转的性质，，∴，过点A作于M，设与AF相交于N，设则∴∴由旋转的性质可得：

∴∴∴21．在中，，，点是延长线上一点（），连接，将线段绕点顺时针旋转60°，得到线段，连接．(1)依题意，补全图形；(2)若，求的长．(3)延长交于，用等式表示线段之间的数量关系，并证明．【答案】(1)答案见解析(2)2(3)，理由见解析【分析】（1）按照题意进行画图即可；（2）根据已知条件得到，，然后得到≌，从而求出；（3）作关于所在直线的对称图形,并作点关于所在直线的对称点为点,连接,,由题意可证得、是等边三角形，利用等边三角形的性质以及等量代换可证得≌、≌，最后得到．【解析】（1）解：如图所示，（2）解：如图所示，在中,∵,∴,∵,∴,∵,∴,在和中,,∴≌,则．（3）解：，理由如下，如图所示，作关于所在直线的对称图形,并作点关于所在直线的对称点为点,连接,,∵,∴是等边三角形,,，∵，，∴是等边三角形，，∵，∴,在和中，,∴≌，∴,,∵,∴,在和中，,∴≌，∴,∵,∴．22．在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°至的位置．(1)如图1，连接与AB交于点M，则_____，_____；(2)如图2，连接，延长交于点D，求CD的长．【答案】(1)2，；(2)【分析】（1）由旋转的性质易得出，，即证明为等边三角形，从而得出；连接，延长交于点E．由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出．又易证为等边三角形，即得出，．由“SSS”可证，得出，即得出，，．最后根据，即可求出，最后由即可求解；（2）过点B作于点F．由等边三角形的性质可知．又易证，即得出为等腰直角三角形，从而得出．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可求出，，最后由求解即可．【解析】（1）解：由旋转的性质可知，，∴为