金融工程学第六章久期与凸度

第6章久期和凸度教师：于小宸久期凸度6.16.2久期1.久期概念久期〔Duration〕，也叫持续期。它反映债券的平均到期期限，它也是债券所有现金流量发生时间的加权平均值。久期衡量债券持有者收到现金付款之前平均需要等待多长时间。2.久期表达式一般意义上的最根本的久期是指麦考莱久期，由美国人F.R.Macaulay于1938年提出来的，下面是对麦考莱久期表达式的一个推导过程。一、久期概述〔1〕债券价格的计算运用现金流贴现方法，可以得出债券价格的计算公式，债券价格是债券到期之前所有现金流量的现值总和。如果我们假设债券每年付息一次，则：一、久期概述〔2〕权重的概念久期计算需要用每期的现金流量现值做权重。权重Wt表示某一时刻现金流量的现值与债券价格〔所有现金流量现值总和〕之比。一、久期概述〔3〕久期的一般表达式由上所述，可得久期的一般表达式为：一、久期概述〔4〕久期概念的用途：久期可用来表示不可提前赎回债券面临的利率风险。它考察债券价格对利率变动的敏感性的衡量指标，具体说，久期是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。一、久期概述3.修正〔Modified〕久期这是实际应用中经常使用的一种久期形式。它是由麦考莱久期衍生出来的，修正久期的定义为：一、久期概述4.久期与债券价格变化的关系〔1〕债券收益率的变动引起债券价格的变化，而且收益率与价格的变动方向相反，即收益率上升，债券的价格下降；反之，收益率下降，债券的价格上升。〔2〕债券价格的变动率与麦考莱久期或修正久期成正比，即麦考莱久期和修正久期对价格相对于收益率的变化具有杠杆作用。也就是说，不同的债券，在收益率变动相同的情况下，久期大的债券，其价格的变化率越大。〔3〕债券的价格和修正久期的乘积是价格－收益率曲线切线的斜率，因此在收益率变动大小确定的情况下，债券价格变化大小与债券的价格和修正久期的乘积成正比。一、久期概述1.零息债券那么显而易见，D=n。于是有如下结论：〔1〕零息债券的麦考莱久期等于债券的期限；〔2〕零息债券的麦考莱久期和修正久期都与债券的到期收益率无关。2.附息债券3.等额分期归还债券等额分期归还债券的麦考莱久期和修正久期与每年归还的金额无关，只与债券的期限、到期收益率有关。4.永久债券

可以看出，永久债券的久期只与到期收益率有关二、几种常见债券的久期1.列表法，这便是上文所有计算久期的方法。2.封闭式久期计算法3.有效久期计算法计算公式三、久期值的计算方法1.久期的性质久期的性质或特点有如下几条：〔1〕久期值与债券期限长度成正比。具体又有：①债券期限越长，麦考莱久期和修正久期就越长；②附息债券的麦考莱久期和修正久期均小于其到期时间，三者的关系是：D修＜D麦＜n③零息债券的麦考莱久期等于债券本身的期限，修正久期小于债券期限。四、久期的性质及应用〔2〕久期值与息票额成反比，即票面利率越低，麦考莱久期和修正久期就越长。〔3〕久期值与到期收益率成反比，即到期收益率越高，麦考莱久期和修正久期就越短。〔4〕每年付息次数越多，久期值就越短。四、久期的性质及应用2.久期的应用〔1〕久期是考察债券价格对利率变动敏感性的指标，是债券价格变化与债券到期收益率变化的比例系数。〔2〕预测利率下跌，买入较长久期的债券，因为较长久期的债券比较短久期的债券上涨幅度大〔原因是期限越长的债券对利率变动越敏感，期限越短，炒作空间越小，到期价格向价值回归〕。四、久期的性质及应用〔3〕预测利率上涨，买入久期较短息票利率较高的债券，因为债券价格下跌较少〔因为快要到期时，价格向价值回归，没有下跌空间〕。〔4〕一个债券组合的久期为组合中各个债券久期的加权平均值，具体含义看下一个内容。四、久期的性质及应用1.一个资产组合的久期的标准定义是：资产组合的久期等于组成资产组合的各个资产的久期的加权平均〔这里的久期是指修正久期〕，权重是各个资产的现值。与资产组合久期的定义相对应的是资产组合的收益率，资产组合的收益率定义为：资产组合的收益率是资产组合的现金流的到期收益率。2.公式五、资产组合的久期凸度凸度用于描述久期的变化率或价格——收益率曲线的弯曲程度。在数学上，凸度是价格对收益率的二阶导数除以债券的价格。仍假设一个债券，剩余期限为n年，到期收益率为r，面值为F，票面利息为C，则：一、凸度〔convexity〕的定义一、凸度〔convexity〕的定义二、凸度的性质和久期一样，凸度与收益率、票面利率以及期限有一定的关系。〔1〕凸度大于零。因此债券价格随收益率的变化并不是线性的，而是收益率向下浮动一定数量引起债券价格上升的幅度要大于收益率向上浮动相同数量引起债券价格下降的幅度。这一点对投资者是有用并且有利的。〔2〕凸度和收益率是反方向变动的，即随着收益率的上升，债券的凸度减小。因此，债券在较低收益率处的凸度大于在较高收益率处的凸度。〔3〕凸度与期限成正向变动关系。即票面利率、付息次数以及收益率相同的债券，期限越长，其凸度越大。〔4〕凸度与票面利率也成反方向变动关系，即随着票面利率的上升，债券的凸度减小。三、凸度的应用从这个式子，可以看出收益率对债券价格的影响有两局部，第一局部为用修正久期计算的债券价格变化值，第二局部为用凸度计算的债券价格变化值三、凸度的应用一般地，假设A、B两个债券，同样的到期收益率、同样的久期值，但A债券的凸度小于B债券，那么，当市场收益率提高时，B债券下跌幅度小于A债券；当市场收益率下降时，B债券上升幅度大于A债券。结论：凸度大的债券投资价值高于凸度小的债券。三、凸度的应用投资策略：〔1〕投资者预测未来市场利率波动较小时，①买入A债券〔A债券凸度小，价格廉价〕；②卖出B债券〔B债券凸度大，价格偏高〕。〔2〕投资者预测未来市场利率波动较大时，①买入B债券〔如果利率提高，债券下跌幅度小，可防范风险；如果利率下跌，债券涨幅大，有资本利差〕；②卖出A债券〔如果利率提高，债券跌幅较大；如果利率下跌，债券涨幅小〕。四、资产组合的凸度在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计算资产组合的凸度，资产组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的加权平均，权重是各个证券的价值。有时还用到资产的价值凸度，价值凸度的定义为：价值凸度=价格×凸度资产组合的价值凸度定义为：资产组合的价值凸度=资产组合的价格×资产组合的凸度四、资产组合的凸度在利用凸度进行风险管理时，首先遇到的是计算资产组合的凸度，资产组合的凸度定义为：资产组合的凸度等于资产组合中的各个证券凸度的加权