证明不等式常用的方法(5篇)

第页共页证明不等式常用的方法(5篇)证明不等式常用的方法篇一北京二十五中冯睿教学目的1．理解，掌握比拟法证明不等式．2．培养浸透转化、分类讨论等数学思想，进步分析^p、解决问题才能．3．锻炼学生的思维品质〔思维的严谨性、灵敏性、深化性〕．教学重点与难点求差比拟法证明不等式是本节课的教学重点；求差后，如何对“差式”进展适当变形，并判断符号是本节课教学难点．教学过程设计〔一〕不等式证明的含义师：前面我们已经学习了不等式性质．今天我们要以这些性质作为根据研究不等式证明．什么是不等式证明呢？〔板书〕1．什么是不等式证明我们通过详细题说明．例1求证：〔2x+1〕〔3x-2〕＞〔5x＋9〕〔x-2〕．这道题含量是什么？〔学生迟疑，老师给以启发〕师：同学们可以想一想恒等式证明的含义．生：这道题含义是对任意实数x，这个不等式都成立．〔二〕引入比拟法证明不等式，理解、认识比拟法师：很好，那么如何证明这个不等式呢？〔让学生稍作考虑〕生：求差．〔学生口述，老师板书〕证明：由于〔2x＋1〕〔3x-2〕-〔5x+9〕〔x-2〕＝〔6x2-x-2〕-〔5x2-x-18〕＝x2+16≥16＞0，那么〔2x-1〕〔3x-2〕＞〔5x+9〕〔x-2〕．师：怎么想到“求差”的呢？生：以前比拟两个实数大小时曾经用过这种方法．〔学生答复虽较为浅薄，但老师仍应鼓励并进一步引导学生考虑〕师：在这里用“求差”有什么好处？〔学生考虑片刻答复〕生：直接证这个不等式有困难，转化为一个一般式子与0比大小比拟容易证明．师：是的，在这里，通过“求差”将不等问题转化为恒等问题；将二个一般式子大小比拟转化为一个一般式子与0的大小比拟，使问题简化．这种证明的根据又是什么呢？生：根据是a-b＞0a＞b，所以要证a＞b，只要证a-b＞0．师：这种证明的理论根据是a-b＞0a＞b，由a-b＞0来推a＞b是证明不等式常用方种中的一种，叫比拟法，这种比拟法不妨称作求差比拟法．〔板书〕2．不等式证明的常用方法〔1〕比拟法〔求差比拟法〕〔三〕在求差比拟法中，求差后对“差式”适当变形并判断符号的方法师：下面我们将通过例题来归纳、总结求差比拟法证明不等式时，如何对差式变形并判断差式符号．例2求证：x2＋3＞3x．〔学生口述解题过程，老师板书〕师：求差后，进展等价变形时用的什么方法？生：配方法．师：为什么用配方法？生：因为求差后，式子中-3x的符号不确定，所以不容易判断符号，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，这种差式的符号可以判断．师：也就是说变形的目的在于能判断差式的符号，这道题用的是配方法．例3：a，b∈r＋．求证：a5＋b5≥a____2＋a2b3．师：这道题含义是什么？生：对于a，b属于任意正实数，不等式都成立．师：请同学们考虑如何用比拟法证明．〔学生口述，老师板书〕证明：a5＋b5-a____2-a2b3=〔a5-a____2〕-〔a2b3-b5〕=a3〔a2-b2〕-b3〔a2-b2〕=〔a2-b2〕〔a3-b3〕=〔a＋b〕〔a-b〕2〔a2+ab+b2〕由于a，b∈r＋，那么a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，〔a-b〕2≥0，所以〔a＋b〕〔a-b〕2〔a2＋ab＋b2〕≥0，即〔a5＋b5〕〔a____2＋a2b3〕≥0．因此a5＋b5≥a____2＋a2b3．师：这道题是用什么方法对差式进展等价变形．生：对差式进展因式分解．师：这样变形的目的是什么？生：将差式因式分解变形为几个因式积的形式，对每个因式进展分析^p，判断符号，从而使因式积的符号可以判断，差式符号即可判断．师：说得很好，变形的目的是能判断差式符号，这道题采用的是因式分解的方法，在判断符号时要注意表述严谨、周密，正确判断a，b∈r+范围内每个因式符号．师：这道题含义是什么？生：对任意实数x，不等式都成立．〔此时有的学生有异议〕生：我觉得应该考虑左式分式有意义的条件．师：左式分式有意义的条件是什么？生：x∈r．师：对．这道题无视分式有意义的条件是不对的．只不过在这道题中条件就是x∈r，所以这道题的是对任意实数x，不等式都成立．请证明这道题．〔学生口述，老师板书〕师：这道题又是如何变形的呢？生：这道题求差后，先通分，然后将分子配方，最后判断符号．师：通过以上例题，用比拟法证明不等式可以归纳为哪些步骤．生：有三步：〔1〕求差；〔2〕变形；〔3〕判断符号．师：在这些步骤中哪一步最重要．生：我认为变形最重要．师：为什么？生：因为变形适当才能判断差式符号．师：怎么就叫“变形适当”？生：通过变形将差式化为容易判断符号的式子．师：对．求差后，把所得差式进展合理变形，化为容易判断符号的式子是求差比拟证明不等式的关键．在变形中，有哪些详细方法呢？生：变形时可以用配方法、因式分解、通分．师：当然，除了这些主要的方法，在今后学习中还要不断积累方法．〔学生审题，考虑片刻〕师：这道题问的是两个式子大小关系，如何判断？生：可以利用求差比拟法证明不等式的方法．先求差，再变形，转化为能与0比大小的式子，就可以判断这两个式子的大小关系．〔学生口述，老师板书〕师：先通分，再对分子进展因式分解，如今如何判断符号呢？〔让学生先讨论，再答复〕生：需要分类讨论？师：为什么要分类讨论？生：因为分子中国式a-b的符号随着a，b大小关系的不同而有不同的符号．师：如何分类？生：分为a＞b，a=b，a＜b三类讨论．〔学生口述，老师板书〕由于a，b＜0，那么a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，进而2ab＞0，a2＋b2＞0，那么〔a2＋b2〕〔a＋b〕＜0．师：这道题在判断符号时用分类讨论，分类讨论是重要的数学思想，要知道为什么分类？怎么分类？分类时要不重不漏．〔四〕小结在理解不等式证明的含义的根底上，今天主要学习了不等式证明常用方法之一，比拟法〔或称求差比拟法〕证明不等式，它是不等式证明中最根本、最重要的证明方法．要明确求差比拟法证明不等式的根据，理解转化，使问题简化是求差比拟法证明不等式中所蕴含的重要数学思想，掌握求差后对差式变形以及判断符号的重要方法，并在今后学习中继续积累方法．比拟法证明不等式除了求差比拟法，还有没有其他方式呢？请同学们课下考虑研究．〔五〕布置作业用比拟法证明以下不等式：〔左式-右式=〔q＋1〕〔q-1〕2〔q2＋1〕〔q2＋q＋1〕〕4．a，b∈r＋，求证：aabb≥abba．〔此题可用求商比拟法证明〕课堂教学设计说明1．本节课是不等式证明的第一节课，因此需要理解不等式证明的含义，在这里是通过详细例题说明的并不需要研究不等式证明的一般定义．2．例1是一道很简单的题，学生会很自然地使用求差．这时老师引导学生深化考虑这种方法正确性的根据以及这种方法中所蕴含的数学思想方法，进步学生对求差比拟法的认识，同时使学生感受到粗浅、平淡知识中仍有一些值得思索和注意的地方，逐渐培养学生良好思维品质，有利于学生才能进步．3．例2，例3，例4三道题主要目的在于让学生归纳、总结，求差后对差式变形，并判断符号的方法，以及求差比拟法的步骤．在这里如何对差式变形是难点，应着重解决．首先让学生明确变形目的，减少变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的打破．例5带有一些综合性，加强学生对求差比拟法认识和掌握，并考察对分类讨论思想的认识，例题设计目的在于突出重点，打破难点．4．本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，表达学生主体地位，学生获取知识必须通过学生自己一系列思维活动完成，老师通过设疑、暗示，课堂讨论等多种教学形式和方法，启发诱导学生深化考虑问题，培养学生思维灵敏、严谨、深化等良好思维品质．证明不等式常用的方法篇二比拟法证明不等式1.比拟法比拟法是证明不等式的最根本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比拟法可分为差值比拟法(简称为求差法)和商值比拟法(简称为求商法)。(1)差值比拟法的理论根据是不等式的根本性质：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进展变形，或变形为一个常数，或变形为假设干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段;③判断：根据条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比拟法。(2)商值比拟法的理论根据是：“假设a，b∈r+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③判断商与1的大小关系，就是断定商大于1或小于1。应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比拟法。2.综合法利用事实(条件、重要不等式或已证明的不等式)作为根底，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：ab1b2b3…bnb，即从a逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论b。a》b》0,求证：aabb》(ab)a+b/2因aa*bb=(ab)ab,又ab》a+b/2故aa*bb》(ab)a+b/2:a,b,c属于(-2,2).求证：ab+bc+ca》-4.用极限法取2或-2，结果大于等于-4，因属于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，结果就只能大于-4下面这个方法算不算“比拟法”啊?作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4构造函数m=f(c)=(a+b)c+ab+4这是关于c的一次函数(或常函数)，在坐标系内，其图象是直线，而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)》0(因为a<2,b<2)f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)》0(因为a》-2,b》-2)所以函数f(c)在c∈(-2,2)上总有f(c)》0即m》0即ab+bc+ca+4》0所以ab+bc+ca》-4设x,y∈r,求证x2+4y2+2≥2x+4y(x-1)²≥0(2y-1)²≥0x²-2x+1≥04y²-4x+1≥0x²-2x+1+4y²-4x+1≥0x²+4y²+2≥2x+4x除了比拟法还有：求出中间函数的值域：y=(x2-1)/(x2+1)=1-2/(x2+1)x为r，y=2/(x2+1)在x=0有最小值是2，没有最大值，趋于无穷校所以有：-1<=y=1-2/(x2+1)<1原题得到证明比拟法：①作差比拟，要点是：作差——变形——判断。这种比拟法是普遍适用的，是无条件的。根据a-b》0a》b，欲证a》b只需证a-b》0;②作商比拟，要点是：作商——变形——判断。这种比拟法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。当b》0时，a》b》1。比拟法是证明不等式的根本方法，也是最重要的方法，有时根据题设可转化为等价问题的比拟(如幂、方根等)综合法是从数量与数量的关系入手，逐步分析^p数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法。证明不等式常用的方法篇三§4不等式的证明4．1比拟法证明不等式1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，那么以下t与s的大小关系中正确的选项是a．t》sb．t≥sc．t2解析：选d.∵s－t＝(a＋b＋1)－(a＋2b)＝(b－1)2≥0，∴s≥t.12．p＝q＝a2－a＋1，那么p、q的大小关系是a＋a＋1a．p》qb．pc．p≥qd．p≤qq解析：选d.＝(a2－a＋1)·(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋2a2＋1－a2＝a4＋a2＋1≥1.p13a－2》0，又∵q＝a2－a＋1＝2411p＝》0，a＋a＋123a＋1＋4∴p≤q.113．a》b》－1，那么a＋1b＋11111a.b.1111c.d.≤a＋1b＋1a＋1b＋1b－a11解析：选b.∵a》b》－1，∴a＋1》0，b＋1》0，a－b》0，那么＝<0，a＋1b＋1a＋1b＋111∴a＋1b＋1an4．数列{an}的通项公式an＝，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是bn＋1a．an》an＋1b．anc．an＝an＋1d．与n的取值有关an＋1an解析：＋1－an＝－bn＋1＋1bn＋1a＝，bn＋b＋1bn＋1∵a》0，b》0，n》0，n∈n＋，∴an＋1－an》0，an＋1》an.5．设x2，y73，z＝6－2，那么x，y，z的大小关系是a．x》y》zb．z》x》yc．y》z》xd．x》z》y44解析：选d.y73，z6－2＝，7＋362∵7＋3》6＋2》0，∴z》y.3＋2－43－24又x－z＝2－》0，6＋6＋262∴x》z，∴x》z》y.6．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1》0，a3＝b3》0，a1≠a3，那么a5与b5的大小关系是证明不等式常用的方法篇四g3.1038不等式的证明—比拟法一、根本知识1、求差法：a＞ba－b＞0a2、求商法：a＞b＞01并且b0b3、用到的一些特殊结论：同向不等式可以相加〔正数可以相乘〕；异向不等式可以相减；4、分析^p法——执果索因；形式：“欲证„，只需证„”；5、综合法——由因导果；形式：根据不等式性质等，演绎推理6、分析^p法”证题的理论根据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。我们可以利用分析^p法寻找证题的途径，然后用“综合法”进展表达.二、根本训练1、以下不等式:(1)x232x(xr)(2)a5b5a____2a2b3(a,br)(3)a2b22(ab1)其中正确的个数为„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(a)0(b)1(c)2(d)32、1＞a＞b＞0，那么„„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔〕abab(a)a＞＞ab＞b(b)b＞＞ab＞a22abab(c)a＞＞b＞ab(d)＞ab＞a＞b223、假如－＜b＜a＜，那么b－a的取值范围是„„„„„„„„„〔〕22(a)－＜b－a＜0(b)－＜b－a＜(c)－＜b－a＜0(d)－＜b－a＜2224a4、a2,那么〔填“》”或者“<”〕4a2a5、假设a1，0b1，那么logbalogb的范围是_____________6、假设abc1，那么a2b2c2的最小值为_____________三、例题分析^p：例1、求证：假设a、b》0,n》1,那么anbnan1babn1例2、：a、b例3、a、b、c、d、m、n全是正数，比拟p=abcdq=manc例4、比拟aabb与baab(0ab)的大小。变题：求证：ab(ab)例5、a∈r，函数f(x)a2x21abab2bd(a0,b0)(1)判断此函数的单调性。n2(2)f(n)=,当函数f(x)ax为奇函数时，比拟f(n),f(n)的大小.n121例6、设二次函数f(x)ax2bxc(a0)，方程f(x)x0的两个根x1、x2满足0x1x21。a〔1〕当x(0,x1)时，证明：xf(x)x1〔2〕设函数f(x)的图象关于直线xx0对称，证明：x0四、同步练习：g3.1038不等式的证明—比拟法1、不等式：⑴x3＋3》2x；⑵a5＋b5(a)⑴、⑵(b)⑴、⑶(c)⑶、⑷(d)⑴、⑵、⑶、⑷2、对xr都成立的不等式是„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„(a)lg(x21)lg2x(b)x212x(c)3、0＜a＜1，f=2a，g=1a，h=12(d)x44x12x11，那么f、g、h中最小的是„„„〔〕1a(a)f(b)g(c)h(d)不能确定4、a》b》0，那么以下不等式恒成立的是„„„„„„„„„„„„„„„„„„〔〕b21b22abb11(a)2(c)ab(d)aa》bb(b)2a2baaba1a5、x》100，那么lg2x,lgx2,lglgx从大到小的顺序为.7(2x2y)6、假设x、y满足yx2，那么式log2的符