第一节　平面向量的概念及线性运算

第五章

|平面向量及其应用、复数第一节平面向量的概念及线性运算1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.2.理解平面向量的几何表示和基本要素.3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.1．向量的有关概念2.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝

；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向

；当λ＜0时，λa的方向与a的方向

；当λ＝0时，λa＝___λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______|λ||a|相同相反0(λμ)aλa＋μ

aλa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得

.注意两向量共线包括同向或反向共线．b＝λa层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点平面向量的概念

[题点全训]3.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是

(

)[一“点”就过](1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)平面向量的线性运算

[方法技巧]向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

重难点(二)共线向量定理及其应用

[典例]设e1，e2是两个不共线的非零向量．[方法技巧]利用共线向量定理解题的策略[针对训练]1．已知a，b是不共线的非零向量，若(2a－kb)∥(a＋2b)，则实数k＝

(

)A．－4 B．1C．－1 D．2不能通过确定线段比来确定面积比利用向量的线性运算求三角形等平面图形的面积比问题要结合图形，利用化归的数学思想方法，把面积比问题转化为线段比来解决．——————————————————————————————————层级三/细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视零向量及参数为0致误)已知m，n是实数，a，b是向量，有下列命题：①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.其中正确命题的个数为

(

)A．1B．2C．3D．4解析：③错误，例如m＝0；④错误，例如a＝0；①②是数乘运算的分配律，正确．答案：B

4．(忽视向量共线的方向性)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋