弹性地基中高柔性抗震拼接头桩的临界载荷和稳定性分析

弹性地基中高柔性抗震拼接头桩的临界载荷和稳定性分析

在过去的地震中，尤其是1995年的神宫地震中，我们可以看到各种破坏模式，例如振动响应、液化和运动，这些模式也可以观察到。这些破坏模式往往是在地震中因液化导致的横向地面移动、惯性力的影响或者强烈地震运动过程中的横向地面移动造成的。但是人们发现,如果桩的柔韧性更好一些,则它们会抵抗更强的地震横向运动。从这种观点出发,最近几年Miyasaka、Miura等人研究了因地震液化导致的横向地面移动对桩基础及其动力学行为的影响。他们发展了一种用于桩基础中抵抗因地震运动引起的最终破坏的能量耗散装置,即高柔韧性抗震接头桩——HighDuctilityAseismaticJointsplicedPile(HDAJ拼接头桩)。HDAJ接头桩的结构形状示于图1中。这种接头结构由三个主要部分组成,即桩的上端和下端均能适应的圆槽,一个沿环向分开为几块的圆柱形内环和一个圆柱形外环。从分析和设计桩基础的概念和方法为出发点,一个实用的简化设想是HDAJ接头桩基础被埋置在弹性土中或者其他适当的岩土中,且桩周土对桩基础的作用可用分布式的弹性弹簧表示或者具有粘性的弹簧表示。基于这种想法,本文给出了一个分析HDAJ接头桩基础稳定性的非线性数学模型,然后对该模型进行了线性化,并求得了无量纲化参数表示的临界载荷,并由此讨论了HDAJ接头桩在临界载荷处的稳定性,得到了一些有用的结论。研究结果表明HDAJ接头桩在临界载荷处必发生分叉,(即,平衡构形必然发生改变),且分叉解是唯一的,稳定的,并给出了分叉解的渐近表达式。同时考察了土的液化对临界载荷的影响,说明液化的影响是非常明显的。1改造桩基非线性稳定性控制方程为了便于分析和计算,我们采用弧坐标。假定HDAJ接头桩只有一个接头,其位置在s*∈(0,l)处,并假定HDAJ接头桩没有初始位移。这样可以认为桩基在初始时刻,即未承受附加的轴向载荷P前,所占区域Γ0可表示为Γ0:{(x,y)|x=s,y=0,0≤s≤l}式中s∈[0,l]是桩基沿轴向的坐标,l是桩的长度(图2)。设q(s)是土的反作用力,并假设桩基在s=l处受到轴向外力P的作用。这样桩基在初始构形Γ0中的任意一点C(s,0)将移动到点C′(s+ui(s),wi(s))处,即变形后桩基所占的区域为式中ui(s)和wi(s)分别为x-和y-轴方向的位移。假定土对桩基的反作用力q服从Winkler模型,即q(s)=kwi(s)式中k是弹簧系数且有k=kHD,kH是土反作用系数,D是桩的直径。为了便于分析,假定桩的两端都是简单支承,这样HDAJ接头桩基非线性稳定性分析的数学模型给定如下。其中,控制方程为EIθue0871+Pw″1+kw1=0,u′1=cosθ1-1,w′1=sinθ10≤s≤s*(1)EIθue0872+Pw″2+kw2=0,u′2=cosθ2-1,w′2=sinθ2s*≤s≤l(2)边界条件为u1(0)=w1(0)=0,θ′1(0)=0,w2(l)=0,θ′2(l)=0(3)接头处的条件为u1(s*)=u2(s*),w1(s*)=w2(s*),θ´1(s*)=θ´2(s*),θ˝1(s*)=θ˝2(s*)θ1(s*)=θ2(s*)+δθ´1(s*)(4)式中,θi(s)是C′点处切线和x-轴的夹角,EI是桩的弯曲刚度,δ>0是接头处的弹簧刚度系数,()′表示对弧坐标s的导数。引入无量纲参数和变换t=sl,Wi=wil,Ui=uil,θi=θi,λ=Ρl2EΙ,α=kl4EΙ(5)将(5)代入方程和条件(1)-(4),则无量纲形式的非线性数学模型可表示为U′1=cosθ1-1,W′1=sinθ1,θue0871+λW″1+αW1=0,0≤t≤t*(6)θue0871+λW″1+αW1=0,W′2=sinθ2,θue0872+λW″2+αW2=0,t*≤t≤1(7)U1(0)=W1(0)=0,θ′1(0)=0,W2(1)=0,θ′2(1)=0(8)U1(t*)=U2(t*),W1(t*)=W2(t*),θ′1(t*)=θ′2(t*),θ″1(t*)=θ″2(t*),θ1(t*)=θ2(t*)+δθ′1(t*)(9)式中,(⋅)′=d(⋅)dt。下面,我们将根据非线性边值问题(6)-(9)来讨论HDAJ接头桩的稳定性。2接头处的条件注意到对任意的λ,问题(6)-(9)有平凡解Uit=Wit=θit=0,它表示HDAJ接头桩的未变形状态。根据文献和,为了分析HDAJ接头桩的稳定性,首先需要计算问题(6)-(9)在平凡解Uit=Wit=θit=0处的线性化问题的特征值。将非线性问题(6)-(9)在平凡解Uit=Wit=θit=0处线性化,得到如下的线性边值问题:u′11=0,w′11=θ11,θue08711+λw″11+αw11=0,0≤t≤t*(10)u′21=0,w′21=θ21,θue08721+λw″21+αw21=0,t*≤t≤1(11)u11(0)=w11(0)=0,θ′11(0)=0,w21(1)=0,θ′21(1)=0(12)u11(t*)=u21(t*),w11(t*)=w21(t*),θ′11(t*)=θ′21(t*),θ″11(t*)=θ″21(t*),θ11(t*)=θ21(t*)+δθ′11(t*)(13)根据方程(10)a和(11)a,边界条件u11(0)=0和接头处的条件u11(t*)=u21(t*),不难看到u11=0及u21=0。将(10)b和(11)b分别代入方程(10)c和(11)c以及(12)和(13),得到如下的边值问题:w(4)11+λw″11+αw11=00≤t≤t*(14)w(4)21+λw″21+αw21=0t*≤t≤1(15)w11(0)=w″11(0)=w21(1)=w″21(1)=0(16)w11(t*)=w21(t*),w˝11(t*)=w˝21(t*)w´11(t*)=w´21(t*)+δw˝11(t*),w‴11(t*)=w‴21(t*)(17)为了使得问题(14)-(17)的解在物理上有意义,不失一般性,我们假定λ2>4α,并且设ξ1=(λ+√λ2-4α)/2,ξ2=(λ-√λ2-4α)/2‚(ξ1>0,ξ2>0,ξ1≠ξ2)。这样我们得到线性边值问题(14)-(17)的通解w11(t)=C1cos√ξ1t+C2cos√ξ2t+C3sin√ξ1t+C4sin√ξ2t(18)w21(t)=C5cos√ξ1(1-t)+C6cos√ξ2(1-t)+C7sin√ξ1(1-t)+C8sin√ξ2(1-t)(19)式中Ci是积分常数。将(18)和(19)代入边界条件(16)得到Ci=0,i=1,2,5,6,而由接头处的条件(17)得到Ci,i=3,4,7,8满足的齐次代数方程[A]{C}=[A11A12A13A14A21A22A23A24A31A32A33A34A41A42A43A44]{C3C4C7C8}={0000}(20)式中系数Aij容易根据接头处的连接条件(17)和通解(18)-(19)得到,为了节省篇幅,这里略去了它们的表达式。为使方程(20)存在非零解Ci≠0,当且仅当方程(20)的系数行列式等于零,即det|A|=0(21)称方程(21)为特征方程。根据方程(21)及ξ1,ξ2和λ的关系,容易得到线性化问题(10)-(13)的特征值λ*为λ*=ξim+αξim=λm(i=1,2,m=1,2,⋯)(22)式中ξim(i=1or2),(m=1,2,…)是方程(21)的根,并且它们是可排的ξi1≤ξi2≤ξi3≤…≤ξim≤…令其中的最小者为λcr=min{λm}(23)则λcr称为桩基的临界载荷,并有关系liml→∞Ρcr(l)=2√EΙk(24)该式表明HDAJ接头桩的临界载荷随其长度的增加趋于一个常数2√EΙΚ,同时表明,当没有土的作用时(即k=0)‚liml→∞Ρcr(l)=0。因此如果λ*是线性化问题(10)-(13)的特征值,则线性化问题(10)-(13)至少有一组不为零的解,即相应的特征向量u11=0,w11=sinξt,θ11=βcosξt(25)u21=0,w21=asinξ(1-t),θ21=-aξcosξ(1-t)(26)式中,a={-sinξ(1-t*)/sinξt*ξ≠rncosξ(1-t*)/cosξt*ξ=rnξ=(λ+√λ2-4α2)12(27)rn=qπt*,qπ(1-t*),q=1,2,⋯关于HDAJ接头桩的临界载荷及其与各种参数的关系已经在中进行了详细的研究,这里着重讨论HDAJ接头桩的非线性稳定性。3非线性边值问题下面我们讨论处非线性边值问题(6)-(9)的非平凡解。假设非平凡解有如下形式Ui=εui2,Wi=εwi1+εwi2,θi=εθi1+εθi2λ=λ*+λ2(ε)(28)式中wi1和θi1由方程(25)(26)给出,ε是小参数,定义为ε=(∫t*0W1w11dt+∫1t*W2w21dt)/(∫t*0w211dt+∫1t*w221dt)(29)因此有∫t*0w12w11dt+∫1t*w22w21dt=0(30)将(28)代入非线性边值问题(6)-(9)中,得到关于ui2(t),wi2(t),θi2(t)和λ2的边值问题u´12=-ε(θ11+θ12)22+o(ε3),w´12=θ12-ε2(θ11+θ12)36+o(ε3),θue08712+λ*w″12+αw12+λ2[w″11+w″12]=00≤t≤t*(31)u´22=-ε(θ21+θ22)22+o(ε3),w´22=θ22-ε2(θ21+θ22)36+o(ε3),θue08722+λ*w″22+αw22+λ2[w″21+w″22]=0t*≤t≤1(32)u12(0)=w12(0)=0,θ′12(0)=0,w22(1)=0,θ′22(1)=0(33)u12(t*)=u22(t*),w12(t*)=w22(t*),θ′12(t*)=θ′22(t*),θ″12(t*)=θ″22(t*),θ12(t*)=θ22(t*)+δθ′12(t*)(34)对任意的ε,如能得到满足如下关系limε→0ui2(t;ε)=limε→0wi2(t;ε)=0,limε→0θi2(t;ε)=limε→0λ2(ε)=0(35)的唯一解ui2(t),wi2(t),θi2(t)和λ2,则(28)即为非线性边值问题(6)-(9)在λ=λ*的非平凡解。实际上,容易看到当ε=0时,边值问题(31)-(34)有平凡解ui2=wi2=θi2=λ2=0。因此,根据常微分方程的理论,要证明边值问题(31)-(34)有满足条件(35)的唯一解,只要证明ε=0不是边值问题(31)-(34)在平凡解ui2=wi2=θi2=λ2=0处线性化问题的特征值就可以了,即要证明以下线性化问题只有零解u′13=0,w′13=θ13,θue08713+λ*w″13+αw13+λ3w″13=00≤t≤t*(36)u′23=0,w′23=θ23,θue08723+λ*w″23+αw23+λ3w″23=0t*≤t≤1(37)u13(0)=w13(0)=0,θ′13(0)=0,w23(1)=0,θ′23(1)=0(38)u13(t*)=u23(t*),w13(t*)=w23(t*),θ′13(t*)=θ′23(t*),θ″13(t*)=θ″23(t*),θ13(t*)=θ23(t*)+δθ′13(t*)(39)假定ui3,wi3,θi3和λ3是线性化问题(36)-(39)的解,则显然ui3≡0。在方程(36)和(37)c的两边乘以wi1,并对t积分,得到∫t*0{w(4)13+λ*w″13+αw13}w11dt+λ3∫t*0w″11w11dt+∫1t*{w(4)23+λ*w″23+αw23}w21dt+λ3∫1t*w″21w21dt=0注意到∫t*0{w(4)13+λ*w″13+αw13}w11dt+∫1t*{w(4)23+λ*w″23+αw23}w21dt=∫t*0{w(4)11+λ*w″11+αw11}w13dt+∫1t*{w(4)21+λ*w″21+αw21}w23dt=0和∫t*0w″11w11dt+∫1t*w″21w21dt≠0可得到λ3=0。这样wi3也是线性化问题(10)-(13)的解,即wi3=0,θi3=0。这样,我们证明了边值问题(31)-(34)有满足条件(35)唯一解,即证明了非线性边值问题(6)-(9)在λ=λ*有非平凡解。因此,如果λ*是线性化问题(10)-(13)的特征值,则非线性边值问题(6)-(9)的平凡解在λ=λ*处必发生分支,且分支解是唯一的,具有形式(28)。物理上,这表示HDAJ接头桩在λ=λ*的平衡构形必然发生改变。现在,我们寻求分支解的渐近表达式。设ui2=εui21+ε2ui22+o(ε3),wi2=εwi21+ε2wi22+o(ε3),θi2=εθi21+ε2θi22+o(ε3),λ2=ελ21+ε2λ22+o(ε3)(40)将(40)代入边值问题(31)-(34)中,并比较ε同次幂的系数,容易得到ui21,ui22,wi22,wi21,ui21,ui22,wi21,θi21,θi22和λ21λ22满足的微分方程、边界条件、连接条件以及约束条件。并且也不难证明λ21=wi21=θi21=ui22=0,λ22>0(41)因此,渐近表达式(40)中,非零的量为wi22,θi22,ui21,它们可以通过数值方法得到相应的数值解。由上所述,我们得到了非线性边值问题(6)-(9)在λ=λ*处的分支解的渐近表达式Ui=ε2ui21+o(ε4),Wi=εwi1+ε