极正交各向异性环形板的屈曲分析

极正交各向异性环形板的屈曲分析

在现代工业技术中，极正交各向异性环板的弯曲分析已成为一个重要课题。计算和实践表明,即使在轴对称的载荷和轴对称的几何约束条件下,环形板也可能发生非轴对称的屈曲.本文采用vonKármán型方程作为问题的控制方程,它是一组变系数的四阶非线性偏微分方程,并含有多个几何和材料参数,对这种问题的求解是很困难的.本文利用打靶法讨论了内外边界固支且受面内径向边界压力作用的环形板的非轴对称屈曲和过屈曲问题,计算了特征值,讨论了分支解的存在性,分析了后屈曲性态,得到了分支解的渐近表达式.1.极校正各向异性的控制方程根据,在所论情况下存在单值的应力函数(x,θ).容易得到无量纲化的未屈曲状态的应力函数式中c=a/b为环形板的内外半径之比,为材料常数之比.β=1表示环形板是各向同性的,表示环形板是极正交各向异性的.为载荷参数,pb为环形板外边界所受的径向压力,h为厚度。若令F0(x,θ),则所论问题的无量纲形式的控制方程为其中,和分别为线性和非线性微分算子,定义为这里,α,δ均为与材料常数和几何常数有关的量。边界条件为位移单值性条件为其中,Σi(F)和Λi(W)分别为F和W的线性和非线性算子,定义为为使F(x,θ)完全被确定,还应添加某种法化条件,例如因此,问题归结为在条件(1.2)—(1.5)下求满足方程(1.1)的W和F,我们称此问题为基本问题,记为(EP)。2.环向波型数a及b显然,对一切的λ,基本问题(EP)有平凡解W(x,θ;λ)=F(x,θ;λ)=0,它相应于板的未屈曲状态.(1.1)—(1.5)在平凡解处线性化得到微分方程边界条件与法化条件仍与(1.2)、(1.3)和(1.5)类同,位移单值性条件(1.4)化为由(2.1)b及(1.3)、(1.5)、(2.2),不难得到为了求解(2.1)a及(1.2),可设,其中n为屈曲时的环向波型数,当n=0时环形板的屈曲状态是轴对称的,当时为非轴对称的。将代入(2.1)a及(1.2),得到满足的微分方程和边界条件利用打靶法可求解边值问题(2.3),为此构造如下的初值问题:αi为待定常数.显然,(2.4)的解为下面两个初值问题的解的线性组合,这两个初值问题是因为对任意的λ,这两个初值问题存在唯一解ψi(xjλ),因而(2.4)的解可表为为使(2.5)成为(2.3)的解,必须适当选择αi使x=c边的条件得到满足.因而,(2.3)有非零解的充分必要条件是λ必须满足下面的特征方程表1中给出了不同参数c,β及vθ=0.3时的特征值,即临界载荷.由表1可见在所论情况下,环形板的屈曲状态总是非轴对称的.为了下面的讨论方便起见,我们作如下基本假设基本假设:不存在λ,同时是下面四个问题的特征值.定理1:若λ=λ*是(2.6)的根,并且基本假设成立,则边界值问题(2.3)有且仅有一个非零解(2.5).3.c对#型的非轴对称屈曲状态的影响为了进一步分析环形板的过屈曲性态,设在λ=λ*时,屈曲板的环向波型数n=N.我们寻求如下形式的解其中,已令.ε为小参数,定义为解(3.1)中的和λN必须满足条件把(3.1)代入(1.1)—(1.5),可得到满足的方程和条件.利用微分方程的理论,我们不难证明,当未屈曲状态为压应力状态时,即时(这一点总成立),有唯一解和λN.定理2:设λ=λ*是特征值,且基本假设成立.若环形板的未屈曲状态为压力,则基本问题(EP)的平凡解在λ=λ*处必定发生分叉,且分叉解是唯一的并具有形式(3.1).这说明在所论情况下,环形板在特征值λ*处可以从轴对称的未屈曲状态分叉出非轴对称的屈曲状态.作者未见到过有这方面的讨论文章.为了求和λN,可将它们展成ε的幂级数将它们代入(1.1)—(1.5),可以得到一系列关于WNm,FNm和λNm的线性偏微分方程的边界值问题,求解这些问题可得到其中(x)和φi(x)是一些常微分方程边值问题的解.因而在λ=λ*附近,我们有非轴对称的过屈曲状态的渐近表达式:易证λN2>0,因而非轴对