2023学年完整公开课版反比例复习

勿自暴，勿自弃，圣与贤，可驯致。知识要点反比例函数1.概念y=k/x(k≠0x≠0)xy=k(k≠0x≠0)y=kx-1(k≠0x≠0)2.图象与性质K>0在每个分支，y随x增大而减小K<0在每个分支，y随x增大而增大S=|k|反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点xy012y=—kxy=xy=-x1.下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数?

①②③④

⑤⑥⑦⑧

y=2x+1y=8x2y=x3y=x4y=-xy=73xy=15xy=x12.若函数是反比例函数，求m的取值范围。反比例函数中k的要求：xm2y3-=xky=)0(¹k反比例函数的一般式：1-=kxykxy=xky=)0(¹k3.若函数是反比例函数，求m的值。2)1(--=mxmy(乘积不变性)函数正比例函数反比例函数表达式图象及象限性质

在每一个象限内:当k>0时，y随x的增大而减小;当k<0时，y随x的增大而增大.y=kx(k≠0)(特殊的一次函数)当k>0时，y随x的增大而增大;当k<0时，y随x的增大而减小.k<0xyoxyok>0k<0yx0y0k>0x正比例函数与反比例函数的比较二.反比例函数的图象及性质k>0一、三象限k<0二、四象限4.若函数过第四象限，那么反比例函数的图象在()A二、四象限B一、三象限C二、三象限D一、四象限bxy+=xby=反比例函数的图象：xky=)0(¹kA5.函数的图象位于第

象限,

在每一象限内,y的值随x的增大而

,

当x＞0时,y

0,这部分图象位于第

象限.一、三减小＞一6.函数的图象位于第

象限,

在每一象限内,y的值随x的增大而

,

当x＞0时,y

0,这部分图象位于第

象限.二、四增大＜四7.若双曲线在第一、三象限，求c的取值范围。1)2(-+=xcy8.已知反比例函数(k≠0)

当x＜0时，y随x的增大而减小，则一次函数y=kx-k的图象不经过第

象限.xyok＞0k＞0,-k＜0二9.已知点A(-3,y1)，B(-1,y2)，C(2,y3)在反比例函数的图象上，则()xy2-=ABCD321yyy<<123yyy<<213yyy<<312yyy<<三.比较数值的大小12.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)是反比例函数图象上的三点，且X1<x2<0<x3则()xy2=CD10.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数的图象上,则y1与y2的大小关系(从大到小)为

，

当-4≤x≤-1时，y的最大值与最小值分别是

、

.

探索方法y1＞y2yxo-1-4x1y3x2y2x3y1y2＞y1＞y3利用增减性前提在同一象限分类思想别忘了！A,B两点在同一象限；A,B两点在不同象限

变式2：若点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数的图象上,则x1,x2满足

时,y1

＞y2.探索方法函数值大小比较方法：代入求值法；图象性质法；图象观察法；特殊值法.3.已知点A(2,y1)，B(5,y2)都在正比例函数y=4x的图象上,则y1与y2的大小关系为

.4.已知点A(-2,y1)，B(-1,y2)都在反比例函数(k＜0)的图象上,则y1与y2的大小关系为

.y2＞

y1y2＞

y15.已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)都在反比例函数的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为

.y3＞y1＞y2yxo-1y1y2AB-24Cy35.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)C(4,y3)都在反比例函数的图象上,则y1、y2

与y3

的大小关系(从大到小)

为____________.yxo-1y1y2AB-24Cy3y3＞y1＞y2探究无止境14.面积为2的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，写出y与x之间的函数关系式并画出图像的草图()xyoxyoxyoxyo44ACBD22四.实际问题中反比例函数的图象c15.反比例函数与正比例函数xyoxyoxyoxyoACBD

在同一平面直角坐标系的图象不可能是()xky2-=kxy2=C待定系数法：(1)设出反比例函数一般式；(2)代入变量值，求出系数；(3)写出函数解析式。17.已知y–2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x的函数关系式为

。18.已知A(-3,4)和B(m+3,2)都是反比例函数的图象上的点，求m.法一：待定系数法法二：反比例函数的乘积不变性六.反比例函数中k值的意义19.在反比例函数图象上任取一xyoPMN点P，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，那么四边形ONPM的面积为

。矩形面积=xy6-=k直角三角形面积=k26PDoyx20.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为

.(m,n)121.在反比例函数图象上任取一点P，过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若四边形ONPM的面积为4，则函数解析式为

。xyoPMN=矩形面积kk2╳=直角三角形面积P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质（一）P(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）P(m,n)AoyxP/面积性质（三）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?P(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质.掌握好这些性质,对解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象限为例).做一做(一)1.已知△ABC的面积为12,则△ABC的高h与它的底边a的函数关系式为

.22.一次函数与反比例函数的交点坐标A(-1,4)、B(2,-3)。求使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围。七.一次函数反比例函数的大小关系xyoA(-1,4)B(2,-3)图象的观察23.一次函数与反比例函数的交点坐标A(3,2)、B(-2,-4)。求使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围。xyoA(3,2)B(-2,-4)知能迁移1

(2011·聊城)如图，已知一次函数y＝kx＋b的图象交反比例函数y＝(x>0)图象于点A、B，交x轴于点C.(1)求m的取值范围；

(2)若点A的坐标是(2,－4)，且＝，求m的值和一次函数的解析式．解：(1)因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m＜0，解得m＞2.(2)∵点A(2,－4)在反比例函数图象上，∴－4＝，解得m＝6，得y＝.

过点A、B分别作AM⊥OC于点M，BN⊥OC于点N，所以∠BNC＝∠AMC＝90°.

又因为∠BCN＝∠ACM，所以△BCN∽△ACM，所以＝.

因为＝，所以＝，即＝.

因为AM＝4，所以BN＝1，所以点B的纵坐标为－1，因为点B在反比例函数的图象上，所以当y＝－1时，x＝8，所以点B的坐标为(8,－1)，因为一次函数y＝kx＋b的图象过点A(2,－4)，B(8,－1)，所以解得所以一次函数的解析式为y＝x－5.2k＋b＝－4,8k＋b＝－1,b＝－5,k＝,题型二待定系数法确定反比例函数解析式【例2】(2011·济宁)如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1.(1)求反比例函数的解析式；

(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合)，且B

点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA＋PB最小.解：(1)设A点的坐标为(a，b)，则b＝，∴ab＝k.∵ab＝1，∴k＝1，∴k＝2.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)由得∴A为(2,1)．∵B点横坐标为1，∴B(1,2)．设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为(2,－1)．令直线BC的解析式为y＝mx＋n.∵B为(1,2)，∴∴∴BC的解析式为y＝－3x＋5.

当y＝0时，x＝.∴P点为(,0)．y＝，y＝x，x＝2,y＝1,m＋n＝2,2m＋n＝－1,m＝－3,n＝5.知能迁移2已知：如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(3,2).(1)试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

(2)根据图象回答，在第一象限内，当x取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

(3)M是反比例函数图象上的一动点，其中0<m<3，过点M作直线MB∥x轴，交y轴于点B；过点A

作直线AC∥y轴交x轴于点C，交直线MB于点D.当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．解：(1)∵直线y＝ax过点A(3,2)，∴2＝3a，a＝，y＝x.

又∵双曲线y＝过点A(3,2)，∴2＝，k＝6，y＝.(2)当0<x<3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．

(3)BM＝DM.理由如下：∵S△OMB＝S△OAC＝×|k|＝3，∴S矩形OBDC＝S四边形OADM＋2S△OAC＝3＋3＋6＝12.

即OC·OB＝12.∵OC＝3，∴OB＝4，即n＝4，∴m＝＝，∴MB＝，MD＝3－＝，∴MB＝MD.题型三实际背景下的反比例函数的图象【例3】为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题：

(1)写出从药物释放开始，y与x

之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解：(1)当0≤x<12时，设y＝k1x.∵x＝12，y＝9，∴9＝12k1，k1＝，y＝x.

当x>12时，设y＝，∴k2＝xy＝12×9＝108，y＝.(2)当y＝0.45，得0.45＝，x＝＝240(分钟)＝4(小时)．答：至少需要经过4小时后，学生才能进入教室．题型四反比例函数与几何图形的结合【例4】(2011·广州)已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C(1,3)在反比例函数y＝的图象上，且sin∠BAC＝.(1)求k的值和边AC的长；

(2)求点B的坐标．

解题示范——规范步骤，该得的分，一分不丢！

解：(1)把C(1,3)代入y＝得k＝3.[2分]

设斜边AB上的高为CD，则

sin∠BAC＝＝.∵C(1,3)，∴CD＝3，∴AC＝5.[4分](2)分两种情况讨论，当点B在点A右侧时，如图1，有：AD＝＝4，AO＝4－1＝3.∵△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD·AB，∴AB＝＝，∴OB＝AB－AO＝－3＝.此时B点坐标为(,0)．[7分]当点B在点A左侧时，如图2，此时AO＝4＋1＝5，OB＝AB－AO＝－5＝，此时B点坐标为(－,0)．[10分]综上，点B的坐标为(,0)或(－,0)．[12分]知能迁移4如图，已知A(－4,n)，B(2,－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y＝的图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

(3)求方程kx＋b－＝0的解(请直接写出答案)；

(4)求不等式kx＋b－<0的解集(请直接写出答案)．解：(1)∵B(2,－4)在函数y＝的图象上，∴m＝－8.∴反比例函数的解析式为y＝.∵点A(－4,n)在函数y＝的图象上，∴n＝2，A(－4,2)．∵直线y＝kx＋b经过点A(－4,2)，B(2,－4)，∴解之，得∴一次函数的解析式为：y＝－x－2.－4k＋b＝2,2k＋b＝－4,k＝－1,b＝－2,(2)∵C是直线AB与x轴的交点，∴当y＝0时，x＝－2.∴点C(－2,0)，∴OC＝2，∴S△ABO＝S△ACO＋S△BCO＝×2×2＋×2×4＝6.(3)x1＝－4，x2＝2.(4)－4<x<0或x>2.小结1.反比例函数的定义及形式2.反比例函数的图象及性质4.实际问题中反比例函数的图象5.待定系数法6.反比例函数中k值的意义7.一次函数反比例函数的大小关系3.比较数值的大小函数反比例函数解析式图象形状k>0位置增减性k<0位置增减性

双曲线双曲线两支分别在第一、第三象限在每个象限内y随x的增大而增大双曲线两支分别在第二、第四象限在每个象限内y随x的增大而减小；附:反比例函数的图象和性质方法与技巧牢固掌握本节知识点，树立函数思想，运用数形结合思想，注意与其他学科的结合．

1.注意反比例函数中“xy＝k”的几何意义(图象上任意一点作x轴、y轴所形成矩形面积)和实际意义．

2.比例系数k决定反比例函数y＝图象的分布情况(具体见前面的要点梳理)，要重视这些基础知识．

3.关注与反比例函数有关的综合题，掌握其基本方法，如求交点坐标的方法等．

4.解一次函数与反比例函数综合性问题时，要注意运用“把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系”的策略．思想方法感悟提高失误与防范

1．反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x>0与x<0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k<0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限上的两个点比较函数值的大小时，不能按这个规律．当k>0时，第一象限点的纵坐标值为正，而第三象限点纵坐标值都为负；当k<0时，第二象限上的点的纵坐标值都为正，第四象限上的点的纵坐标值都为负．

2．在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求.知识要点3反比例函数1.概念y=k/x(k≠0x≠0)xy=k(k≠0x≠0)y=kx-1(k≠0x≠0)2.图象与性质K>0在每个分支，y随x增大而减小K<0在每个分支，y随x增大而增大S=|k|3.应用xyo4.∠A=900,∠B=600,AB=1,斜边BC