高二上学期数学周测5

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页肇庆市第一中学2023-2024学年高二数学周测5+答案一、单选题1．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于()A．120°B．30° C．60° D．60°或30°2．若点，点，且，则点的坐标为（

）A．B．C． D．3．已知，，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．已知平面的法向量，且点，，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．5．如图，四棱锥的底面是矩形，设，，，是的中点，则（

）A． B．C． D．6．在矩形ABCD中，，，平面ABCD，，则PC与平面ABCD所成的角为（

）A．30° B．45° C．60° D．120°7．在直三棱柱中,所有的棱长都相等,为的中点,为的中点,则与所成角的余弦值为()A． B． C． D．8．如图所示，在正方体中，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与BD所成角的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．在正方体中，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面10．已知，，，则下列结论正确的是（

）A． B．C．为钝角 D．在方向上的投影向量为11．在正三棱柱中，所有棱长为1，又与交于点，则（

）A．= B．C．三棱锥的体积为 D．与平面BB′C′C所成的角为12．在正方体中，，E，F，M分别为，CD，的中点，则下列正确的是（

）A．B．C．若点P是正方体表面上一动点且满足，则点P的轨迹长度为D．已知平面过点C且，若，且，则Q点的轨迹长度为三、填空题13．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为14．已知，，则的最小值为．15．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE，DF．若，则x+y+z＝．16．如图，在棱长为2的正四面体中，平面，垂足为，为校的中点，则．

四、解答题17．已知向量，，.（Ⅰ）当时，若向量与垂直，求实数和的值；（Ⅱ）若向量与向量，共面，求实数的值.18．如图，在平行六面体中，．求：(1)；(2)的长；19．如图，在平行六面体中，，且，(1)试用表示向量.(2)若，，，求的长.20．已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，，.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.21．如图，在直三棱柱中，，D，E，F分别是棱，BC，AC的中点，．(1)证明：平面平面；(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．22．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线.(1)求证：平面；(2)若，求二面角的大小.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页答案1．解：设直线与平面所成的角为，则，故选B．2．解：设，则，因为，所以，解得.故点的坐标为.故选:A.3．解：因为，所以，即，解得.故选：A.4．解：由题意得，点到平面的距离为.故选：B5．解：因为四棱锥的底面是矩形，，，，是的中点，所以故选：B6．解：以点A为坐标原点，AD，AB，AP所在的直线分别为x轴,y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，平面ABCD的一个法向量为，所以．又因为，所以，所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在的直线所成的角为60°，所以斜线PC与平面ABCD所成的角为30°．故选：A7．解：因为直三棱柱，所以面，以为原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设直三棱柱中,所有的棱长都为2,则，，设与所成角为，则，故选：B.8．解：过A作平面平面，点P是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，，则四边形是平行四边形，，平面，同理可证平面，平面平面，则平面即为，点在线段上，以D为坐标原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，则，，，设，，，，，，，设与BD所成角为，则，当时，取得最小值为0，当或1时，取得最大值为，，则.故选：C.9．解：以点为坐标原点，以，，方向为，，轴为正方向，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，，，，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，则，则平面，故A正确；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不平行，故B错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故C错误；，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，则与平面不垂直，故D错误；故选：BCD.10．解：因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上的投影向量，D对，故选：BD.11．解：由题意，画出正三棱柱如图所示，向量，故选项A正确；在中，，，，，所以和不垂直，故选项B错误；在三棱锥中，，点到平面的距离即中边上的高，所以，所以，故选项C正确；设中点为，所以，又三棱柱是正三棱柱，所以平面，所以即与平面BB′C′C所成的角，，所以，故选项D错误.故选：AC12．解：在正方体中，以点D为原点，DA，DC，为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，对于A：棱DC中点，棱中点，则，，则，则，即，故A正确；对于B：平面，，，，设平面的一个法向量，则，令，得，则点E到平面的距离为：，而，，，，故B正确；对于C：连接BM，取的中点G，取的中点H，连接GH，平面，平面，，由平面几何知识可得，，平面，，同理可得，，平面，点P是正方体表面上一动点且满足，的轨迹是CG，CH，HG，易得，，的轨迹长度为，故C错误；对于D：设，，，，，，的轨迹是以为球心，2为半径的球面，由选项C知是平面的一个法向量，又，球心O到平面的距离，平面截球面的截面圆的半径为，点的轨迹长度为，故D正确；故选：ABD.13．解：设平面的法向量，平面的法向量，因为，所以，所以存在实数，使得，所以有，解得.14．解：，，∴，，当且仅当时等号成立，即的最小值为15．解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，BE，DF，所以．由，所以x＝﹣1，y＝1，z，x+y+z＝﹣1+1．16．解：如图所示，连接，因为，所以．因为四面体为棱长为的正四面体，可得，且，所以．

17．解：(Ⅰ)因为,所以.且.因为向量与垂直,所以.即.所以实数和的值分别为和.(Ⅱ)因为向量与向量，共面,所以设（）.因为,所以所以实数的值为.18．（1）解：由向量的数量积的概念，可得.（2）解：因为，所以，即的长为.19．解：（1）（2）即，∴.20．解：（1）连BD，设，连.由ABCD为菱形知，又，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所以；（2）由（1）知可如图建系（其中轴在平面内），得各点坐标为，，，并设，由，，得，，从而解得，，即，所以，，，设平面的法向量为，则由，即，令，则得，又，所以与平面所成角的正弦值.21．解：（1）在中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以．平面，平面，则平面，因为，则，又，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，则平面，又因为，且平面，所以平面平面．（2）因为，，，由余弦定理可得，所以，从而．以B为坐标原点，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz．故，，，．从而，，．设平面ABD的法向量为，由，得，取，则为平面ABD的一个法向量，所以，所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值