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文档简介

§5.3实数与向量的积(第一课时)由上图可知：记作记作从上图中我们可以直观的看出：（1）与方向____________，且（2）与方向____________，且如图，已知非零向量。求作向量及相反相同

一般地，实数与向量的积仍然是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：

2）方向：

①当时，与的方向_____②当时，与的方向_____

③当时，（可为任意方向）一）实数与向量的积的定义1）长度：

思考题：在实数与向量的积中，实数起的作用是什么？答：1）的绝对值决定着与向量的长度之间的倍数关系

2）的符号决定着与向量是同向还是反向（若，的方向是任意的）相同相反提示

1）这个运算律与代数运算中实数乘法的运算律很相似，只是以上两个分配律中，由于乘积因子不同，可分为第一分配律、第二分配律

2）我们可以应用这个运算律，对向量代数式进行化简,如：例题1二）实数与向量的积满足的运算律

设、是实数，根据实数与向量的积的定义，那么有m（第二分配律）3）1）（结合律）2）（第一分配律）典例精析与规律、方法、技巧总结

题型一关于实数与向量积的运算

例1计算：1）

2）解：1）原式【点评】实数与向量的积的运算法则类似于整式的加减法运算法则

化简向量代数式就像是计算多项式一样去“合并同类项”2）原式

对于向量、，如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知，与共线。定理

向量与非零向量共线的充要条件是有且只

有一个实数，使得

已知向量与共线。②当与反方向时，有那么①当与同方向时，有设向量的长度是向量的长度的倍，即三）向量共线的充要条件（也叫向量共线定理）充分性:必要性：提示：（1）要证明向量、共线，只须证明存在实数使得即可（2）如果，则实数仍然存在，但不唯一，它可以是任意实数（3）应用此定理，可以证明三点共线、两直线平行的问题注意：向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况。典例精析与规律、方法、技巧总结题型二有关向量共线问题

例2

已知两个非零向量和不共线，且，。求证：Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线分析：要证Ａ、Ｂ、Ｄ三点共线，只须证与共线，也就是需要求证所以，向量和共线例2

已知两个非零向量和不共线,且，。求证：

A、B、D三点共线证明又和有共同的起点A

A、B、D三点共线另外，本题也可以先计算然后与相比较例３已知非零向量和不共线，要使和共线。试确定实数的值。分析：若与共线，则一定存在，使得所以只能有解：与共线由于与不共线即存在实数使小结：以上两个例题分别从正反两个方面运用了向量共线的充要条件：与共线存在使知识结构图实数与向量的积

定义：1)大小；2)方向运算律（3条）向量共线充要条件1．掌握好实数与向量的积这一运算的关键在于明确这一运算的结果仍然是向量，要按大小和方向两个要素去理解及应用。

2．

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