2023年高考数学文科模拟卷02（解析版全国通用）

2023年高考模拟卷(二)

文科数学

(考试时间：120分钟试卷满分：150分)

注意事项：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第I[卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的)

1.若集合4={小<4},8=卜、2"，贝IJAC仅8)=()

A.(^),1]B.(0,1]C.(-=o,0)O(0,l]D.(—,()]u(1,4)

【答案】D

【详解】由上1之1得r」-140,

XX

则2丁40,解得0<E,

所以8=(0,1],则0B=(y,0]51,+e),

所以Ac他

故选：D.

2.己知复数z满足土W=i，则|z|=()

z+2

A.2B.2夜C.4D.V2

【答案】B

【详解】由—=1,得z-2i=i(z+2),

z+2'7

z-2i=iz+2i，

4i4i(I+i)4i-4

z=El)°+旷亍7+21,

|z|=25/2.

故选：B.

3.设xeR,则“1呜》<1"是"d+x-6<0"的(

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由logzxvl,解得：0<x<2：x2+x-6<0解得一3Vx<2,

由(0,2)(-3,2),回"1呜》<1"是"产+-6<0"的的充分不必要条件.

故选：A

4.甲、乙、丙三人玩传球游戏，每个人都等可能地把球传给另一人，由甲开始传球，作为

第一次传球，经过3次传球后，球回到甲手中的概率为()

A.—B.—C.-D.；

81642

【答案】C

【详解】设甲、乙、丙三人用","c,

由题意可知：传球的方式有以下形式，

(a,b,a,b),(a,b,a,c),(a,6,c,a),(a,b,c,b),(a,c,a,b),(a,c,a,c),(a,c,b,a),(a,c,b,c),

所求概率为：2=1

84

故选：C

5.如图所示，已知点G是助8C的重心，过点G作直线分别与力8,ZC两边交于“，N两

点，设XAB=AM，yAC=AN,则一+1的值为()

xy

【答案】A

【详解】由题意AG=2AM+(1—2)AN110W/W1,而XAB=AA/»yAC~AN>

所以AG=x/lA8+y(l-㈤AC,

-21____1___

又G是B48c的重心，故AG=-X5(A8+AC)=§(A8+AC),

xA=­[]

3

所以I,可得丁+丁=1，即，+—=3.

y(T)=g3x3〉xy

故选：A

6.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为()

A./(x)=tanxB./(x)=--^

C./(x)=x-cosxD../'(x)=et-e~x

【答案】D

【详解】对于A,7(x)=tanx为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，

不符合题意；

对于BJ(x)=-f定义域为(-8,0)50,+8),/(-司=-"x)，所以“X)为奇函数，但在

定义域内不单调，不符合题意；

对于C,/(X)=X-CO&X,/(-X)=-X-COS(-X)=-X-COSX*-/(%),

故函数f(x)=x-cosx不是奇函数，不符合题意；

对于D,f(x)=e'+er>0，是增函数，〃—司=b一6'=—/(x),是奇函数，满足题意；

故选：D.

7.函数〃x)=(f-2x)e，的图像大致是()

【答案】B

【详解】由/(x)=0得，x=0或x=2,选项A,C不满足，即可排除A,C

由〃x)=(%2—2x)e'求导得尸(x)=(炉一2)e',

当x<-夜或x>也时,第x)>0,

当-应<x<0时，/'(x)<0.

于是得“X）在卜8,一夜）和（直上都单调递增，在卜0,夜）上单调递减，

所以/（X）在》=-近处取极大值，在x=&处取极小值，D不满足，B满足.

故选：B

8.已知。是坐标原点，尸是双曲线£：：3-3=1（4>0,6>0）的左焦点，平面内一点〃满

足,OMF是等边三角形，线段与双曲线E交于点N,且|MN|=|NF|,则双曲线后的离心

率为（）

AV13+1RV13-1r2后+2n2V15+1

3277

【答案】A

【详解】设双曲线E的右焦点为尸2,连接N%,

因为。例下是等边三角形，所以|〃F|=|OF|=c,

Z(?FM=60\又|MN|=|NF],所以阴=|,

132

在△/='可心中，=|NF『+|桃『-2］可朗・|项|COSNNF*了。，

4V13+1

则加用=浮c,则2a=朋|-|阴=1c,则（=

丹-x/13-l-3

9.已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长AB=2g,其外接球的表面积为20兀，。是8c的

中点，点尸是线段4。上的动点，过8c且与ZP垂直的截面a与NP交于点E,则三棱锥

A-BCE的体积的最大值为（）

A.空B.3C.0D.-

222

【答案】A

【详解】外接球的表面积为20兀，可得外接球半径为右.

因为正三棱柱ABC-的底面边长48=2石，

所以A。=4A4=4A8=3,所以△ABC的外接圆半径为r=IA。=2,

设三棱柱的侧棱长为〃，则有(?)+产=5=a=2,即侧棱e=〃=2,

设8c的中点为F,作出截面如图所示，

因为APLc,EPua,所以AEJ.EF,所以点E在以/尸为直径的圆上，

当点E在4尸的中点时，此时点E到底面45c距离的最大，且最大值为

因为DR<AF，所以此时点P在线段上，符合条件，

：

所以三棱锥A—8CE的体积的最大值为g*；AFxSABC=^X|X^X(2^]=手・

10.高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有"数学王子"的称号，用其名字

命名的"高斯函数"为：设xeR,用印表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为"高斯函数”，

例如：[-2.5]=-3,[2.7]=2.已知数列｛4｝满足q=l,4=3,«„+2+2a„=3«„+1,若

a=[log2aM，5”为数列;的前〃项和，则82023=()

122+1,

、2022202420232025

A.-------B.-------C.———D.--------

2023202320242024

【详解】山«„+2+2”“=3””+|,得an+2-a„+i=2(a„+,-a,,).又生-4=2,所以数列构

成以2为首项，2为公比的等比数列，

所以4*1-《=2".

乂“2—4=2,%—%=2,...»a”—=2,

叠加可得(%—4)+(%—小)"1--1■(“"一。"-1)=2,+2-H----F2"'(/7>2),

即““一q=2'+2?+…+2"-’,

1-2"-'X2

所以a“=20+2'+22+…+2”'=2"-l(n>2).

1-2

又因为4=1满足上式，所以a,,=2"-l（〃eN）

所以〃向=2旬7.

因为2"<2nt,-l<2"+'.所以log?2"<log,（2"+,-1）<log,2H+,,

,,+1n+l

即“<log2（2-l）</z+l,所以勿=[log,an+l]=[log?（2-l）]=rt.

故TT-=-；~=-----~7

b也向〃・（〃+l）n〃+l

__1_2023

+…+=1

20232024一~2024~2024

故选：C.

11.已知函数/（x）=sin（s-胃®>0）,若函数/（x）在区间（0㈤上有且只有两个零点,

则。的取值范围为（）.

（113、（713-

A，KNB.公，"

[66/<66_

（511A（51T

C・D・

\ooyo

【答案】B

【详解】解：因为x«0,兀）,。>0,

所以6y工-？€（一/加1），

666

又因为当*=也,2£2时，>'=sinx=0,

因为函数“X）在区间（0,兀）上有且只有两个零点，

TT

当x>-Z时，y=sinx的零点只能是0,兀，

6

71

所以兀<6971——<2?T,

解得:713

66

（713'

所以外的取值范围为是-

166

故选：B.

12.已知y=/（x+Q-%（A>0）是R上的偶函数，且当X34时，f（x）=smx-8sx+2若

则（）

A.Xj+x2>2kB.x[+x2<2k

c.归-%|<上一川D.归-4>卜-4

【答案】C

【详解】由y=/(x+外一女是R上的偶函数，^f(-x+k)-k=f(x+k)-k,

即f(-x+%)=/(*+%),所以/(X)的图象关于直线》=出对称.

当x34时，/⑴=sin>c;sx+2,由八©=2(cos：-l)«。，仅在一=2E水人z时取等号,

ee*x

得fW在区间上”)上为减函数，则在区间(Y0,灯上为增函数，

根据图象的对称性，由/(%)>/仁)得|西—用<%—M,

则C正确、D错误.

当％-A:,%异号时，，贝ljX1-A<-%+%或一占+”<X2-Z,即％+吃<2k或X]+%>24,

即选项A,B的结果不能确定，

故选：C.

第II卷

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知〃x)=2产+2sin葭，则曲线y=f(x)在点(1J⑴)处的切线方程为

【答案】3x-y-l=O

【详解】因为/%)=也+2副F，则:(x)=3。*+兀3巴,

x2x2

所以，"1)=2,,/''⑴=3,

故所求切线方程为y-2=3(x-l),Bp3x-y-l=O.

故答案为：3x-y-l=0.

y<x

14.若实数xy满足约束条件「+ywi,则目标函数z=x+2)，的最大值为.

y>-1

3

【答案】j##1.5

【详解】作出可行域如下图,

13

最大值为ZM=]+1=2，

3

故答案为：y.

15.已知抛物线GV=2/7x(p>0)的焦点为此准线为/,点48在抛物线C上，且满

足ZR38尸.设线段Z8的中点到准线的距离为4,则邛的最小值为_____.

d

【答案】V2

【详解】如图示：设的中点为M分别过点作准线/的垂线，垂足为C,D,N,

MTV为梯形/CDS的中位线，则d=|MN|=(

山4^8凡可得k耳=夜2+片,故网=冬生正，

da+b

因为片+n噌当且仅当a斗时取等号,

故旦岖三以”以&,

da+ba+b

故答案为：y/2•

|x+4|-l,x<0

16.已知函数〃x)=(J1丫，,、，关于x的方程/2(X)+(2/7)〃X)+1T=0有6个不

旧一心。

等实数根，则实数f的取值范围是

【答案】0省U肆)

【详解】由已知当xV-O寸，f(x)=-x-5,

当-4<x40时，f(x)=x+3,

当x>0时，〃x)=46j-1,

画出函数/(x)的图象如图所示.

且了卜)=，有3个实数根时T<c<3,

所以尸(X)+(〃-1)/(X)+1T=0有6个不等实数根等价于一元二次方程

/+(2-1)》+1-/=0在(-1,3)上有两个不同的实数根，

（2/-1）2-4（1-/）>0,

2/_1.f—r-

—一2~,解得-Lx-3或正<x<l.

所以《

l-（2r-l）+l-/>0,522

9+3（2r-l）+l-z>0,

故答案为:

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知公差为正数的等差数列｛%｝中，％,%+12构成等比数列，S”是其前〃项和，

满足S3=5

⑴求数列｛%｝的通项公式及前〃项和S.；

⑵若,求数列｛〃,｝的前”项和I.

q1

在①2=」+24，②H=丁，③2=(%—l>2"T这三个条件中任选一个补充在第(2)问

n3〃

中，并求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【详解】(1)解：设等差数列的公差为或">0)，

依题意可得卜"%3+⑵,则啊+3"3+6"+12)

4+%+%=15[a]+d=5

解得4=3,d=2,

所以，数列｛4｝的通项公式为4,=3+2(〃-1)=2〃+1.

«(«,+«„)〃(3+2〃+1)2

S=----------=--------------=〃+2n

"n22

2

综上：。〃=2〃+1,Sn=n+2n；

(2)解：选①“=2+2册

n

由(1)可知：a„=2n+lS„=n2+2n

回"=2+2%=—+2-+22n+l=n+2+22-,+l

nn

团Zr=h\+%+4+,,,+%+bn

回T/(3+〃+2)।23(1-4”)

“-21-4-23

选②"=1

由(1)可知:S„=^+2n

｝

曲.，=丁1而用1二I木fl一捻\

J]

2〃+2

选③％=(a,,T>2"T

由(1)可知:a„=2n+l,0Z>„=(a„-l)-2"_|=n-2n

^Tn=bl+b2+bi+--+b„_l+bn

则7；=Ix2i+2x22+3*2,+…+(〃-1)X2"T+"*2"

于是得27；,=1X22+2X23+-+(〃-1)X2"+〃X2"+I

两式相减得=2+2?+23…+2"_〃,2"+i^2V~2-n-2"+i=(1-«)-2"+,-2>

所以7；,=(〃_1)-2向+2.

18.第32届夏季奥林匹克运动会在2021年7月23日至8月8日在日本东京举行，中国奥

运健儿获得38枚金牌，32枚银牌和18枚铜牌的好成绩，某大学为此举行了与奥运会有关

的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[30,40),[40,50),.[90,100],并整

理得到如下频率分布直方图：

⑴估计这100名学生测试分数的中位数；

⑵若分数在[30,40),[40,50),[50,60)内的频率分别为p“P2，P3,且2网+凸=。。5,估计100

名学生测试分数的平均数；

【详解】(1)设这100名学生测试分数的中位数为。，由前5组频率之和为0.4,前6组频

率之和为0.8,

可得80<a<90,所以0.4+(a-80)x0.04=0.5,解得a=82.5.

故这100名学生测试分数的中位数约为82.5分.

(2)因为2月+%=0.05,且R+P2+P3=O-1，所以这100名学生测试分数的平均数为

35/?,+45/7,+55(0.1-/?,-/?2)+65X0.1+75X0.2+85X0.4+95X0.2

=5.5-10(2p1+pJ+6.5+15+34+19=795

故100名学生测试分数的平均数约为79.5分.

19.在四棱锥。-/8C3中，底面是正方形，若A£>=2,QD=QA=^5,QC=3.

(1)证明：平面。4。团平面43C£)；

（2）求四棱锥Q-A8CD的体积与表面积.

【详解】（1）取4D的中点为。，连接0。，CO.

因为QA=Q£>,OA=OD,则QO_LAD,

而710=2,04=6,故QO=A/^T=2.

在IE方形/8C£）中，因为A£>=2,故。。=1,故CO=JC£>2+o£）2=石,

因为QC=3,故QC2=QC>2+OC2,

故，QOC为直角三角形且QO_LOC,

因为。CAD=0,0C,AOu平面ABC。，故QO0平面A8CD,

因为0Ou平面QAD,故平面团平面ABCD.

（2）取BC中点E,连接OE,QE,O3,OC,

由（1）可知Q。为四棱锥。-ABCZ）的高，且QO=2,

底面正方形ABCD的边长为2,

1Q

2

所以四棱锥。-A8C。的体积^.AfiCD=-x2x2=|,

由（1）可知平面04013平面N8C7）,

又因为AB_LAD,/8u平面/BCD,平面0/£>［平面ABC£>=AD,

所以/施平面QAD,

又因为力0u平面QOu平面

所以ABLQA,ABYQD,故COJ.。。

又OB=OC=jF+*=#>，QB=QC=^+5=3,

故0EI3BC,△048和A。。均为直角三角形，△0/。和AQC8均为等腰二角形,

其中QE=y]OQ2+OE2=2>/2,

Q

四边形ABC。的面积为2x2=4,三角形0AD的面积为gAOQO=；x2x2=2,

=角形QBC的面积为gBC-QE=gx2x2&=2夜，S=S叩=白2石=石，

所以棱锥Q-A8CZ）的表面积为$=4+2+2石+2&=6+2石+2灰.

20.已知椭圆：E:二+[=1（4＞匕＞0）的左、右顶点分别为A4,上、下顶点分别为综区，

a-b-

14闻=2,四边形A用&J的周长为4指.

⑴求椭圆我的方程；

（2）设斜率为左的直线/与x轴交于点P,与椭圆E交于不同的两点M,N,点M关于y轴的

对称点为M'、直线MN与y轴交于点0.若△◊产◊的面积为2,求左的值.

【详解】（1）由|4阂=2,得2b=2,即6=1,

由四边形AAAB2的周长为46，得^^/7下=4"，即〃=5,

2

所以椭圆的方程为工r+＞2=1.

5

（2）设直线/的方程为尸丘+/〃（攵。0,用工0）,,N%%），

则尸（一一,0）,

K

V2

联立方程组,5+',消去y得，（5/+1）/+10加优+5雨之一5=o,

y=kx+m

△=（1Qkm）2-4（5公+l）（5m2-5）＞0,得5〃＞疗一1,

lOfan5m2-5

%+“一折？中2=^TT

直线MN的方程为、一%二黄（5一々）,

0（0—,）+%=以5

令x=o,得y=

X1+%2工1+%2

—10A

又因为玉%+/X=%（京2+/及）+12（"1+加）=2kX\X2十机（玉+工2）=

5r+1

所以Q(0,1),△OPQ的面积4X-；上=2,得左=±L，经检验符合题意，

m2km4

所以发的值为士!.

4

21.已知函数“力=(以2+1忖_》.

⑴当时，讨论函数“X)在(0,+8)上的单调性；

⑵当x>0时，f(x)<l,求实数。的取值范围.

【详解】(1)解：当a=-g时，〃力=(1-；/卜-x,贝=(一:--"I卜J.

令g(x)=r(x)=(-；x2-x+l>,其中xe(O,+w),

贝|Jg'(x)=(--2*卜<。，则g(x)在(0,+<»)上单调递减.

故当x>()时，/'(x)=g(x)<g(0)=0,

所以f(x)在(0,+s)上单调递减.

(2)解：由(1)可知当x>0且当时，函数f(x)在(0,+s)上为减函数，

此时，/(x)</(O)=l,

则当时，/(x)=(ax2+l)eJ-x<^-1x2+lje^-x<l,满足题意；

I1

由〃X)<1，化简可得r皆—加一1>0，

令=■—底一1,其中x>。，则〃(x)=-j-2办=-x］：+2”.

当-g<a<0时，若则”(x)<0,力(力在0/n(—()］上是减函数，

(一(1)时，％(力<〃(°)=°，不符合题意.

所以当xe0,ln

当心0时,"(x)<0,则%(x)在(0,”)上是减函数，此时〃(切<秋0)=0,不符合题意.

综上所述，实数。的取值范围为卜吗-；.

请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做

的第