第四节　数列求和

重难点——逐一精研(补欠缺)方法(一)分组转化法求和

1．分组转化求和：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n项和的数列求和．2．分组转化法求和的常见类型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，则可采用分组求和法求{an}的前n项和．[典例]

(2021·北京二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*,从条件①：a1＝－3；条件②：an＋1－an＝2；条件③：S2＝－4中选择两个作为已知，并完成解答．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设等比数列{bn}满足b2＝a4，b3＝a7，求数列{an＋bn}的前n项和Tn.[解]

(1)(不能选择①③作为已知条件)若选择①②作为已知条件．因为a1＝－3，an＋1－an＝2，所以数列{an}是以a1＝－3为首项，d＝2为公差的等差数列．所以an＝2n－5.若选择②③作为已知条件．因为an＋1－an＝2，所以数列{an}是以a1为首项，d＝2为公差的等差数列．因为S2＝－4，所以a1＋a2＝－4.所以2a1＋d＝－4，解得a1＝－3.所以an＝2n－5.[方法技巧]利用分组转化法求和的3个关键点会“列方程”即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量会“用公式”会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式会“分组求和”观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列方法(二)裂项相消法求和

裂项相消法求和的实质和解题关键裂项相消法求和的实质是先将数列中的通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，其解题的关键就是准确裂项和消项．(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．[典例]

(2021·淄博二模)在①S5＝50，②S1，S2，S4成等比数列，③S6＝3(a6＋2)这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，前n项和为Sn，且满足________．(1)求an；[方法技巧]常见数列的裂项方法[提醒]利用裂项相消法求和时，要注意检验裂项前后是否等价，还要注意求和时正负相消后消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项．方法(三)错位相减法求和

1．适用条件若{an}是公差为d(d≠0)的等差数列，{bn}是公比为q(q≠1)的等比数列，求数列{an·bn}的前n项和Sn.2．注意事项(1)在写出Sn与qSn的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出Sn－qSn；(2)作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号．[方法技巧]错位相减法求和的基本步骤非等差(比)数列的奇偶项求和问题——————————————————————————————————[典例]已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(1)解决奇偶项问题的难点在于搞清数列奇数项和偶数项的首项、项数、公差(比)等．在解决问题中，感悟分类讨论等思想在解题中的有效运用．(2)在讨论的时候特别注意分清楚n为奇数、n为偶数时最后一项到底加到哪里停止．二、融会贯通应用创新题4．(创新考查方式)在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2,4；第三次取3个连续奇数5,7,9；第四次取4个连续偶数10,12,14,16；第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25，按此规律取下去，得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…，则在这个子数列中第2022个数是