第七节　抛物线

1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的

的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的

，直线l叫做抛物线的

．2．抛物线的标准方程和几何性质距离相等焦点准线续表1．抛物线的焦半径与焦点弦抛物线上任意一点P(x0，y0)到焦点F的距离称为焦半径．过抛物线焦点的直线与抛物线相交所形成的线段称为抛物线的焦点弦．设两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：1．(北师大版选择性必修第一册P69·T1改编)若抛物线的焦点坐标为(0，－3)，则抛物线的标准方程是

(

)A．y2＝－6x

B．y2＝－12xC．x2＝－6y

D．x2＝－12y答案：D2．(人教A版选择性必修第一册P135思考改编)过点P(－2，3)的抛物线的标准方程为

(

)3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝

(

)A．9 B．8C．7 D．6答案：B4．(人教A版选择性必修第一册P133·T3改编)抛物线y2＝12x上与焦点的距离等于6的点的坐标是_________．答案：(3，±6)[方法技巧]利用抛物线的定义可解决的常见问题轨迹问题用抛物线的定义可以确定与定点、定直线距离有关的动点轨迹是否为抛物线距离问题灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线中与距离有关的问题的有效途径[提醒]一定要验证定点是否在定直线上．[针对训练]1．设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l，P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q.则线段FQ的垂直平分线

(

)A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP解析：连接PF(图略)，由题意及抛物线的定义可知|PQ|＝|FP|，则△QPF为等腰三角形，故线段FQ的垂直平分线经过点P.故选B.答案：B

重难点(二)抛物线的标准方程

[典例]

(1)(2022·北京朝阳区一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A是抛物线C上一点，AD⊥l，交l于D.若|AF|＝4，∠DAF＝60°，则抛物线C的方程为

(

)A．y2＝8x B．y2＝4xC．y2＝2x D．y2＝x(2)若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为__________．[方法技巧]求抛物线标准方程的方法定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择待定系数法若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论[针对训练]1．已知抛物线y2＝2px(p>0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是

(

)A．y2＝4x B．y2＝－4xC．y2＝8x D．y2＝－8x2．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，若△FPM为边长是4的等边三角形，则此抛物线的方程为____________．[方法技巧]抛物线的性质及应用要点(1)由抛物线的方程可以确定抛物线的开口方向、焦点位置、焦点到准线的距离，从而进一步确定抛物线的焦点坐标及准线方程．(2)与抛物线有关的最值问题的两个转化策略①将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决．②将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.

不会利用抛物线焦点弦的结论在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质(见P386)，这些性质常常是高考命题的切入点．——————————————————————————————————(1)抛物线中的焦点弦问题很多都可以转化为一个直角梯形(过焦点的弦的端点和它们在准线上的射影围成的梯形)中的问题，在解决这类问题时注意对这个梯形的运用．(2)万变不离其宗，解决这类问题的根源仍然是抛物线的定义．

细微点——优化完善(扫盲点)一、全面清查易错易误点1．(忽视抛物线的开口方向)以x轴为对称轴，通径长为8，顶点为坐标原点的抛物线方程是

(

)A．x2＝8y或x2＝－8y B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．y2＝8x解析：依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.答案：C

3．(忽视焦点的位置致误)若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4,0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.答案：y2＝16x或x2＝－8y4．(忽视抛物线定义的应用)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为________．解析：过点M作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2)．答案：(2,2)6．(链接生产生活)苏州市“东方之门”是由南北两栋建筑组成的双塔连体建筑(门顶厚度忽略不计)，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图所示，现测得门的内侧地面上两塔之间的距离